Перегляд вихідного коду сторінки Похідна

{{Числення|expanded=Диференціальне}}
[[Файл:Tangent to a curve.svg‎|thumb|Крива і дотична|250px|right|Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення [[тангенс]]а кута нахилу дотичної є значенням похідної у вказаній точці.]]
'''Похідна́''' (заст. '''витвірна́'''<ref>{{Cite web|url=https://www.myslenedrevo.com.ua/uk/Sci/Linguistics/rejestr/A-G.html|title=Реєстр репресованих слів|last=|first=|date=|website=|publisher=|language=|accessdate=}}</ref>)&nbsp;— основне поняття [[Диференціальне числення|диференціального числення]], що характеризує швидкість змінювання [[Функція (математика)|функції]]. Визначається як [[границя]] відношення приросту функції до приросту її [[Аргумент функції|аргументу]], коли приріст аргументу [[Границя (математика)|прямує]] до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають [[Диференційовна функція|диференційовною]].

Процес знаходження похідної функції називається '''диференціюва́нням'''. Зворотним до диференціювання є [[інтегрування]]&nbsp;— процес знаходження [[Первісна|первісної]].

== Означення похідної ==
Нехай в деякому [[окіл|околі]] точки {{math|''x''<sub>0</sub>}} визначена [[Функція (математика)|функція]] {{math|''ƒ''}}. Якщо ми візьмемо довільне число {{math|''x''}} в цьому околі, то приріст аргументу (позначається {{math|Δ''x''}}) в цьому випадку визначається, як {{math|''x'' − ''x''<sub>0</sub>}}, а приріст функції ({{math|Δ''y''}})&nbsp;— як {{math|''ƒ''(''x'') − ''ƒ''(''x''<sub>0</sub>)}}. Тоді, якщо існує границя <math>\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math>, то вона називається '''похідною функції {{math|''ƒ'' }} в точці {{math|''x''<sub>0</sub>}}'''.

Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці [[Область визначення|області визначення]] дорівнює похідній даної функції в цій точці.

== Диференціювання та похідна ==
[[Файл:Graph of sliding derivative line.gif|left|thumb|400px|(Натисніть для більшого зображення). В кожній точці, похідна функції <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2</math> дорівнює [[нахил]]у [[Пряма|лінії]], яка [[дотична]] до [[Крива|кривої]]. Коли похідна [[Додатне число|додатня]]&nbsp;— дотична зелена, коли [[Від'ємне число|від'ємна]]&nbsp;— дотична червона, а коли дорівнює [[0 (число)|нулю]]&nbsp;— чорна.]]
Диференціювання&nbsp;— це метод обчислення співвідношення приросту залежної змінної {{math|''y''}} по відношенню до приросту незалежної змінної {{math|''x''}}. Це співвідношення приростів називається '''похідною''' функції {{math|''y''}} по змінній {{math|''x''}}. Якщо говорити більш точно, залежність {{math|''y''}} від {{math|''x''}} означає, що {{math|''y''}} [[Функція (математика)|функція]] від {{math|''x''}}. Ця функціональна залежність часто позначається {{math|''y'' {{=}} ''ƒ''(''x'')}}, де {{math|''ƒ''}} позначає функцію. Якщо {{math|''x''}} та {{math|''y''}} [[дійсні числа]], і якщо [[графік функції]] {{math|''y''}} зображено відносно {{math|''x''}}, похідна дорівнює [[нахил]]у дотичної до цього графіка в кожній точці.

Найпростіший випадок коли {{math|''y''}}&nbsp;— [[лінійна функція]] від {{math|''x''}}, це означає що графік функції {{math|''y''}} відносно {{math|''x''}} пряма лінія. В такому випадку, {{math|''y'' {{=}} ''ƒ''(''x'') {{=}} ''mx'' + ''b''}}, для дійсних чисел {{math|''m''}} та {{math|''b''}}, і нахил {{math|''m''}} визначається так
: <math>m = {\Delta y \over{\Delta x}}</math>

де символ {{math|Δ}} (грецька літера у верхньому регістрі [[Дельта (літера)|дельта]])&nbsp;— це є скорочення для «зміни в». Ця формула справедлива тому, що
: {{math|''y'' + Δ''y'' {{=}} ''ƒ''(''x'' + Δ''x'') {{=}} ''m''(''x'' + Δ''x'') + ''b'' {{=}} ''mx'' + ''b'' + ''m''Δ''x'' {{=}} ''y'' + ''m''Δ''x''}}.
З цього випливає, що {{math|Δ''y'' {{=}} ''m''Δ''x''}}.

Отримали точне значення нахилу прямої лінії. Якщо функція {{math|''ƒ''}} не лінійна (тобто графік функції не пряма лінія), тоді приріст {{math|''y''}} поділений на приріст {{math|''x''}} змінюється: диференціювання це спосіб обчислення точного значення відношення приростів для будь-якого значення {{math|''x''}}.

{{multiple image
 | align     = right
 | direction = vertical
 | header    = Співвідношення приростів як гранична величина
 | width     = 250
 | image1    = Tangent-calculus.svg
 | caption1  = '''Малюнок 1.''' [[Дотична]] в точці ({{math|''x''}}, {{math|''ƒ''(''x'')}})
 | image2    = Secant-calculus.svg
 | caption2  = '''Малюнок 2.''' [[Січна]] лінія до кривої {{math|''y'' {{=}} ''ƒ''(''x'')}} задається точками {{math|(''x'', ''ƒ''(''x''))}} і {{math|(''x'' + ''h'', ''ƒ''(''x'' + ''h''))}}
 | image3  = Lim-secant.svg
 | caption3  = '''Малюнок 3.''' Дотична як границя січних ліній
}}

Ідея полягає в тому (див. малюнки 1—3), щоб обчислити відношення приростів як [[Границя функції в точці|граничну величину]] {{math|Δ''y'' / Δ''x''}} коли {{math|Δ''x''}} стає нескінченно малим.

Якщо використати позначення [[Лейбніц]]а, тоді [[Нескінченно мала величина|нескінченно малий]] приріст {{math|''x''}} позначається як {{math|''dx''}}, а похідна функції {{math|''y''}} по змінній {{math|''x''}} записується:
: <math> \frac{dy}{dx} \,\!</math>
виглядає як відношення двох нескінченно малих величин. (Цей вираз читається так: «похідна функції {{math|''y''}} по змінній {{math|''x''}}» або «де ігрек по де ікс».)

=== Пояснення визначення ===
Нехай {{math|''ƒ''}}&nbsp;— функція дійсних чисел. В класичній геометрії, дотична до графіка функції {{math|''ƒ''}} для дійсного числа {{math|''a''}} була єдина лінія через точку {{math|(''a'', ''ƒ''(''a''))}}, що не перетинається з графіком функції {{math|''ƒ''}} [[трансверсальність|трансверсально]], це означає що ця лінія не проходить крізь графік. Похідна функції {{math|''y''}} по змінній {{math|''x''}} в точці {{math|''a''}}, з геометричної точки зору, це нахил дотичної лінії до графіка функції {{math|''ƒ''}} в точці {{math|''a''}}. Нахил дотичної дуже близький до нахилу лінії, що проходить крізь точку {{math|(''a'', ''ƒ''(''a''))}} та іншу близьку точку на графіку, наприклад {{math|(''a'' + ''h'', ''ƒ''(''a'' + ''h''))}}. Такі лінії називаються [[Січна|січними]]. Значення {{math|''h''}} близьке до нуля дає добре наближення для нахилу дотичної, а чим менше значення {{math|''h''}}, в загальному випадку, тим краще буде [[Апроксимація|наближення]]. Нахил {{math|''m''}} січної лінії дорівнює різниці значень {{math|''y''}} для цих точок поділити на різницю значень {{math|''x''}}, тобто

: <math>m = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.</math>

Цей вираз&nbsp;— це відношення приростів [[Ісаак Ньютон|Ісаака Ньютона]]. Похідна&nbsp;— це значення відношення приростів у випадку коли січні лінії наближаються до дотичної. Щиро кажучи, '''похідна''' функції {{math|''ƒ''}} в точці {{math|''a''}} це [[Границя функції в точці|границя]]:

: <math>f'(a)=\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a)\over h}</math>

відношення приростів коли {{math|''h''}} наближається до нуля, якщо така границя існує. Якщо границя існує тоді {{math|''ƒ''}}&nbsp;— [[Диференційовна функція|диференційовна]] в точці {{math|''a''}}. Тут {{math|''ƒ''′(''a'')}} одне з кількох можливих позначень похідної ([[Похідна#Позначення|див. нижче]])

Запишемо еквівалентний вираз, для похідної справедлива рівність
: <math>\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a) - f'(a)\cdot h\over h} = 0,</math>
що також піддається інтуїтивному розумінню (див. рис.&nbsp;1), де дотична лінія {{math|''ƒ''}} в точці {{math|''a''}} дає найкраще лінійне наближення
: <math>f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h</math>
для {{math|''ƒ''}} біля точки {{math|''a''}} (наприклад, для малих {{math|''h''}}).
Якщо підставити {{math|0}} замість {{math|''h''}} у відношення приростів то отримаємо [[ділення на нуль]], отже нахил дотичної лінії не можна обчислити таким способом. Натомість запишемо {{math|''Q''(''h'')}}, відношення приростів як функцію від {{math|''h''}}:

: <math>Q(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.</math>

{{math|''Q''(''h'')}}&nbsp;— це нахил січної лінії між точками {{math|(''a'', ''ƒ''(''a''))}} та {{math|(''a'' + ''h'', ''ƒ''(''a'' + ''h''))}}. Якщо {{math|''ƒ''}}&nbsp;— [[неперервна функція]], тобто якщо графік функції не має розривів, тоді {{math|''Q''}} також неперервна функція починаючи з точки {{math|''h'' {{=}} 0}}. Якщо існує границя <math>\textstyle\lim_{h\to 0} Q(h)</math>, тобто якщо існує спосіб обчислити значення для {{math|''Q''(0)}}, це означає що графік функції {{math|''Q''}} неперервний, тоді функція {{math|''ƒ''}} диференційовна в точці {{math|''a''}}, і її похідна в точці {{math|''a''}} дорівнює {{math|''Q''(0)}}.

На практиці, існування неперервного продовження відношення приростів {{math|''Q''(''h'')}} в точці {{math|''h'' {{=}} 0}} показують по-іншому: міняють чисельник таким чином щоб скоротити {{math|''h''}} у знаменнику. Цей процес може бути довгим та нудним для складних функцій, тож в таких випадках використовують багато спрощень.

=== Приклад ===
Квадратна функція {{math|''ƒ''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}}&nbsp;— диференційовна в точці {{math|''x'' {{=}} 3}} і її похідна в цій точці дорівнює {{math|6}}. Цього результату можна досягнути, якщо обчислити границю відношення приростів {{math|''ƒ''(3)}} при {{math|''h''}} прямує до нуля:

: <math>f'(3)= \lim_{h\to 0}{f(3+h)-f(3)\over h} = \lim_{h\to 0}{(3+h)^2 - 9\over{h}} = \lim_{h\to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} = \lim_{h\to 0}{6h + h^2\over{h}} = \lim_{h\to 0}{6 + h}. </math>

Тепер можемо обчислити границю, якщо підставимо замість {{math|''h''}} нуль:

: <math> \lim_{h\to 0}{6 + h} = 6 + 0 = 6. </math>

Отже, нахил графіку квадратної функції в точці {{math|(3, 9)}} дорівнює {{math|6}}, а її похідна в точці {{math|''x'' {{=}} 3}} дорівнює {{math|<var>ƒ</var>'(3) {{=}} 6}}. Узагальнюючи, якщо провести схожі обчислення то отримаємо, що квадратна функція в точці {{math|''x'' {{=}} ''a''}} дорівнює {{math|<var>ƒ</var>'(''a'') {{=}} 2''a''}}.

=== Неперервність і диференційованість ===
[[Файл:Right-continuous.svg|thumb|right|Ця функція не має похідної у вказаній точці, оскільки функція не є неперервна в цій точці.]]
Якщо {{math|''y'' {{=}} ''ƒ''(''x'')}}&nbsp;— [[Диференційовна функція|диференційовна]] в точці {{math|''a''}}, тоді {{math|''ƒ''}} також має бути [[Неперервна функція|неперервна]] в точці {{math|''a''}}. Для прикладу, виберемо точку {{math|''a''}} і нехай {{math|''ƒ''}} буде кроковою функцією, що дорівнює {{math|1}}, для всіх {{math|''x''}} менших ніж {{math|''a''}} і дорівнює іншому значенню, скажімо {{math|10}}, для всіх {{math|''x''}}, які більші або дорівнюють {{math|''a''}}. {{math|''ƒ''}} не має похідної в точці {{math|''a''}}. Якщо {{math|''h''}}&nbsp;— від'ємне, тоді {{math|''a'' + ''h''}} знаходиться на нижній сходинці функції, тоді січна лінія від {{math|''a''}} до {{math|''a'' + ''h''}} дуже круто піднімається вгору і якщо {{math|''h''}} прямує до нуля тоді нахил лінії прямує до нескінченності. Якщо {{math|''h''}} додатне, тоді {{math|''a'' + ''h''}} на верхній сходинці і січна лінія від {{math|''a''}} до {{math|''a'' + ''h''}} має нахил, що дорівнює нулю. Відповідно січні лінії не утворюють єдиний нахил, отже границя від відношення приростів не існує.

[[Файл:Absolute value.svg|right|thumb|Функція абсолютної величини є неперервна, але від неї не можна отримати похідну в точці {{math|''x'' {{=}} 0}}, оскільки нахил дотичної наближується до різних значень з різних боків від даної точки.]]
Проте якщо функція неперервна в точці, тоді вона не обов'язково диференційовна в цій точці. Наприклад, функція [[Абсолютна величина|абсолютної величини]] {{math|''y'' {{=}} {{!}}''x''{{!}}}} є неперервною в точці {{math|''x'' {{=}} 0}}, але не є диференційовною в цій точці. Якщо {{math|''h''}} додатне, тоді нахил січної лінії від {{math|0}} до {{math|''h''}} дорівнює одиниці, якщо {{math|''h''}} від'ємне, тоді нахил січної лінії від {{math|0}} до {{math|''h''}} дорівнює {{math|−1}}. На графіку цю точку видно як «зубець» в точці {{math|''x'' {{=}} 0}}. Навіть функції з графіком без «зубців» не є диференційовані в точці де дотична лінія є вертикальна: наприклад функція {{math|''y'' {{=}} {{radical|''x''|3}}}} не є диференційовною в точці {{math|''x'' {{=}} 0}}.

Підведемо підсумки: щоб отримати похідну від функції {{math|''ƒ''}} необхідна умова щоб функція {{math|''ƒ''}} була неперервною, але тільки цього не достатньо.

Більшість функцій, що зустрічаються на практиці мають похідні у всіх точках, або [[Майже скрізь|майже у всіх точках]]. Раніше на початку вивчення математичного аналізу, багато математиків припускали, що неперервна функція диференційовна в більшості точок. Для м'яких умов, наприклад якщо маємо [[Монотонна функція|монотонну функцію]] або [[Ліпшицеве відображення|Ліпшицеву функцію]] це формулювання справедливе. Проте в 1872 [[Карл Вейєрштрасс|Веєрштрас]] знайшов перший [[Функція Веєрштраса|приклад функції]], яка неперервна усюди, але не є диференційованою в жодній точці. Ця функція відома як [[функція Веєрштраса]]. В 1931 році [[Стефан Банах]] довів, що множина функцій, які мають похідну хоча б в якійсь точці, є [[множина першої категорії|множиною першої категорії]] в [[Простір неперервних функцій|просторі всіх неперервних функцій]].<ref>{{Citation|author=Banach, S.|title=Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen|journal=Studia. Math.|issue=3|year=1931|pages=174–179|postscript=.}}. Cited by {{Citation|author=Hewitt, E and Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|nopp=true}}</ref>

== Позначення ==
{{main|Нотація диференціювання}}
Похідна позначається як <math>f^\prime (x)</math>, що вимовляється «еф-штрих від ікс».

Функція, що має скінченну похідну в точці {{math|''x''}}, зветься [[Диференційовна функція|диференційованою]] в точці {{math|''x''}}.

Похідна також позначається, як відношення [[Диференціал (математика)|диференціал]]ів <math> \frac{df}{dx} </math>. У фізиці для позначення похідних по часу використовують крапку над змінною, наприклад <math> \dot{q} = \frac{dq}{dt} </math>.

=== Позначення Лейбніца ===
Позначення похідної запропоноване [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніцом]] було одним з найперших. Воно широко використовується дотепер. Якщо вираз {{math|''y'' {{=}} ''ƒ''(''x'')}} розглядається як функціональна залежність між залежною і незалежною змінними. Тоді перша похідна позначається як:

: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x)</math>, або <math>\frac{d}{dx}f(x),</math>

похідні вищого порядку позначаються таким чином

<!-- In the following formula, the function is a lower-case f, not an upper case F.  Please do not change it.-->
: <math>\frac{d^ny}{dx^n},
\quad\frac{d^n f}{dx^n}(x)</math>, або <math>\frac{d^n}{dx^n}f(x)</math>

для похідної {{math|''n''}}-го порядку {{math|''y'' {{=}} ''ƒ''(''x'')}} (по змінній {{math|''x''}}). Це є скорочення для багаторазового застосування оператора похідної. Наприклад,
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>

Через позначення Лейбніца ми можемо записати похідну функції {{math|''y''}} в точці {{math|''x'' {{=}} ''a''}} двома різними способами:

: <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).</math>

Позначення Лейбніца дає змогу вказувати змінну диференціювання (в знаменнику). Це особливо важливо для [[Часткова похідна|часткового диференціювання]]. В такому позначенні також легше запам'ятати [[Диференціювання складної функції|ланцюгове правило]]:

: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>

=== Позначення Лагранжа ===
Позначення Лагранжа одне з найпоширеніших сучасних позначень для диференціювання, що вперше використав [[Жозеф-Луї Лагранж]]. Для позначення похідної використовують знак [[Штрих (знак)|штрих]], таким чином похідна функції {{math|''ƒ''(''x'')}} позначається {{math|<var>ƒ</var>′(''x'')}} чи просто {{math|<var>ƒ</var>′}} подібним чином друга та третя похідна позначаються 
:<math>(f')'=f''\,</math>   and   <math>(f'')'=f'''\,.</math>
Починаючи звідси деякі автори застосовують римські цифри:
:<math>f^{\mathrm{IV}}\,</math>
для четвертої похідної, тоді як інші автори ставлять цифру порядку похідної в дужки:
:<math>f^{(4)}\,</math>
Останній запис узагальнює позначення {{math|''ƒ''<sup>(''n'')</sup>}} для похідної функції {{math|''ƒ''}} {{math|''n''}}-го порядку&nbsp;— таке позначення особливо зручне коли ми говоримо про похідну як про функцію, в цьому випадку застосування позначення Лейбніца може бути надто громіздким.

=== Позначення Ньютона ===
{{Main|Нотація Ньютона}}
[[Нотація Ньютона|Позначення Ньютона]] для диференціювання, також називається точкове позначення, ставлять крапку над назвою функції для позначення похідної. Якщо {{math|''y'' {{=}} ''ƒ''(''t'')}}, тоді
:<math>\dot{y}</math>   і   <math>\ddot{y}</math>
означає відповідно першу та другу похідну функції {{math|''y''}} по змінній {{math|''t''}}. Таке позначення застосовується майже виключно для похідних за часом, тобто незалежна змінна функції є [[час]]ом. Воно дуже поширене у [[фізика|фізиці]] і математичних дисциплінах пов'язаних з фізикою, наприклад [[диференціальні рівняння]]. Хоча таке позначення стає проблематичним у користуванні для похідних високого порядку, на практиці потрібні тільки кілька перших похідних.

== Обчислення похідної ==
Похідну функції можна, теоретично, обчислювати використовуючи границю відношення приростів. На практиці, достатньо знати похідні обмеженої кількості простих функцій, тоді можна обчислити складніші випадки за допомогою правил диференціювання.

=== Похідні простих функцій ===
{{Main|Таблиця похідних}}
В більшості випадків для того щоб обчислити похідну потрібно знати похідні певних поширених функцій. Нижче наведено неповний перелік з похідних деяких найуживаніших функцій однієї дійсної змінної.

* ''[[Степенева функція]]'': Якщо

:<math> f(x) = x^r\,</math>,

де {{math|''r''}}&nbsp;— будь-яке дійсне число, то

:<math> f'(x) = rx^{r-1}\,</math>,

для будь-яких випадків коли визначена функція.
Наприклад, якщо {{math|''r'' {{=}} 1/2}}, то

:<math> f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\tfrac12}\,</math>.

Тут функція визначена тільки для додатних {{math|''x''}}. Якщо {{math|''r'' {{=}} 0}}, це правило повторює правило константи.

<!--НЕ ДОДАВАЙТЕ НІЧОГО ДО ЦЬОГО СПИСКУ-->
* ''[[Показникова функція|Показникова]] та [[логарифм|логарифмічна функції]]'':
:<math> (e^x)' = e^x</math>
:<math> (a^x)' = a^x\ln a</math>
:<math> (\ln x)' = \frac{1}{x},\quad x > 0</math>
:<math> (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}</math>
<!--НЕ ДОДАВАЙТЕ НІЧОГО ДО ЦЬОГО СПИСКУ-->
* ''[[Тригонометричні функції]]'':
:<math> (\sin x)' = \cos x.</math>
:<math> (\cos x)' = -\sin x.</math>
:<math> (\operatorname{tg} x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.</math>
<!--НЕ ДОДАВАЙТЕ НІЧОГО ДО ЦЬОГО СПИСКУ-->
* ''[[Обернені тригонометричні функції]]'':
:<math> (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.</math>
:<math> (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.</math>
:<math> (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{{1+x^2}}.</math>
<!--НЕ ДОДАВАЙТЕ НІЧОГО ДО ЦЬОГО СПИСКУ-->

== Приклад знаходження похідної за визначенням ==
Нехай є функція {{math|''y'' {{=}} ''c''}}, де {{math|''c''}}&nbsp;— деяка [[константа]]. Тоді при будь-якому {{math|''x''<sub>0</sub>}} та при будь-якому {{math|Δ''x''}} зміна (приріст) функції дорівнюватиме нулю, отже і похідна такої функції дорівнюватиме нулю.

== Похідні вищих (старших) порядків ==
Поняття похідної довільного порядку задається рекурентно:
* похідна нульового порядку&nbsp;— сама функція
* похідна {{math|''n''}}-го порядку для натурального {{math|''n''}}, що більше {{math|0}},&nbsp;— похідна похідної {{math|(''n'' − 1)}}-го порядку

Іноді замість «похідна {{math|''n''}}-го порядку» говорять «{{math|''n''}}-а похідна».

Похідна {{math|''n''}}-го порядку функції {{math|''ƒ''}} зазвичай позначається як {{math|''ƒ''<sup>(''n'')</sup>(''x'')}}
* якщо {{math|''n''}} мале (1, 2, 3)&nbsp;— то використовується відповідна кількість рисок, {{math|<var>ƒ</var>′(''x'')}}, {{math|<var>ƒ</var>′′(''x'')}}, {{math|<var>ƒ</var>′′′(''x'')}}, вимовляється як «еф-штрих від ікс»; про другу&nbsp;— «еф-два-штрихи від ікс». 
* Можна зустріти історичне позначення похідної за допомогою [[Римська система цифр|римської системи числення]] (перша похідна: {{math|<var>ƒ</var>′(''x'')}}, друга: {{math|<var>ƒ</var><sup>II</sup>(''x'')}}, шістнадцята: {{math|<var>ƒ</var><sup>XVI</sup>(''x''))}}.
* В фізиці також зустрічається позначення похідної другого порядку по [[час]]у у вигляді двох крапок над змінною: <math> \ddot{q} </math>.

== Геометричний зміст похідної ==
Значення похідної <math>f'(x_0)</math> функції <math>f</math> у точці <math>x_0</math> дорівнює значенню кутового коефіцієнта [[дотична|дотичної]] до кривої <math>y=f(x)</math> у точці з абсцисою <math>x_0</math>.

Рівняння дотичної до кривої <math>y=f(x)</math> у точці <math>M(x_0, y_0)</math> має вигляд:
 
:<math>  y =f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0)\!.</math>
{{math|''y'' {{=}} <var>ƒ</var>'(''x'') {{=}} tg ''a''}}

== Фізичний зміст похідної ==
Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості руху [[Матеріальна точка|матеріальної точки]]. Похідна від миттєвої швидкості руху матеріальної точки дорівнює миттєвому прискоренню.

== Див. також  ==
* [[Первісна]]
* [[Диференційовна функція]]
* [[Розділена різниця]]
* [[Часткова похідна]]
* [[Формальне диференціювання]]

== Посилання ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Означення похідної|сторінки=238}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Похідні вищих порядків|сторінки=256}}
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/der FIZMA.neT - математика онлайн]

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Математичний аналіз}}
{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Диференціальне числення]]
[[Категорія:Лінійні оператори в численні]]
[[Категорія:Математична термінологія]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]