Перегляд вихідного коду сторінки Послідовність Маєра — Вієторіса

'''Послідовність Маєра&nbsp;— Вієторіса'''&nbsp;— [[Точна послідовність|довга точна послідовність]], яка пов'язує гомології чи когомології [[Топологічний простір|топологічного простору]] з гомологіями чи когомологіями двох [[Відкрита множина|відкритих множин]], що [[Відкрите покриття|його покривають]] і їх [[Перетин множин|перетину]].

Названа на честь двох [[Австрія|австрійських]] математиків, Вальтера Маєра і Леопольда Вієторіса.

Послідовність Маєра&nbsp;— Вієторіса є [[Натуральне перетворення|натуральною]].

Послідовність Маєра&nbsp;— Вієторіса можна написати для різних теорій (ко)[[Гомологія (математика)|гомологій]], зокрема [[Сингулярні гомології|сингулярних]] а також для всіх теорій, які задовольняють [[аксіоми Ейленберга — Стінрода]]. Вона також узагальнюється на випадок відносних (ко)гомологій.

Послідовність Маєра&nbsp;— Вієторіса є аналогом [[Теорема Зейферта — Ван Кампена|теореми Зейферта&nbsp;— Ван Кампена]] для [[Фундаментальна група|фундаментальної групи]].

== Формулювання ==
Припустимо, що [[топологічний простір]] X є рівним об'єднанню відкритих підмножин ''A'' і ''B''. Тоді отримується точна послідовність, що і називається послідовністю Маєра&nbsp;— Вієторіса:

<math> \begin {align}
\cdots \rightarrow H_ {n + 1} (X) \, & \xrightarrow {\partial_*} \, H_ {n} (A \cap B) \, \xrightarrow {(i_*, j_*)} \, H_{n} (A) \oplus H_{n} (B) \, \xrightarrow {k_* - l_*} \, H_ {n} (X) \xrightarrow {\partial_*} \\
& \quad \xrightarrow {\partial_*} \, H_{n-1} (A \cap B) \rightarrow \cdots \rightarrow H_0 (A) \oplus H_0 (B) \, \xrightarrow {k_* - l_* } \, H_0 (X) \rightarrow \, 0.
\end {align} </math>

Відображення <math>i\colon A\cap B\to A</math>, <math>j\colon A\cap B\to B</math>, <math>k\colon A\to X</math>, <math>l\colon B\to X</math> є відображеннями включення і <math> \oplus </math> позначає пряму суму абелевих груп.

=== Відображення границі ===
Відображення границі ∂<sub>*</sub> може бути задане в такий спосіб.<ref>Hatcher 2002 ст. 150</ref> Нехай елемент в ''H''<sub>n</sub> (''X'') представляється ''n''-циклом ''х'', який, при [[Симпліціальний комплекс#Підрозбиття симліціального комплекса|застосуванні барицентричного поділу]] наприклад, може бути записаний як сума двох n-ланцюгів ''u'' і ''v'' образи яких лежать повністю в ''A'' і ''B'', відповідно. Таким чином, ∂''х ''= ∂(''u'' + ''v'') = 0, так що ∂''u'' = -∂''v''. Це означає, що образи обох цих граничних (''n''-1)-циклів містяться в перетині ''A''∩''B''. Тоді ∂<sub>*</sub>([''X'']) це клас ∂''u'' в ''H''<sub>n-1</sub>(''A∩B''). При цьому вибір розкладу '' u + v '' не впливає на [∂u].

Відображення в послідовності залежать від вибору порядку для ''A'' і ''B''. Зокрема, границя змінює знак, якщо ''A'' і ''B'' міняються місцями.

=== Редуковані гомології ===
Для редукованих гомологій також задовольняють послідовності Маєра&nbsp;— Вієторіса, в припущенні, що ''A'' І ''B'' мають [[Порожня множина|непорожній]] перетин.<ref>Spanier 1966 ст. = 187</ref> Послідовність ідентична але закінчується, як:

<math> \cdots \rightarrow \tilde {H}_0 (A \cap B) \, \xrightarrow {(i_*, j_*)} \, \tilde {H}_0 (A) \oplus \tilde {H} _0 (B) \, \xrightarrow {k_ * - l_*} \, \tilde {H}_0 (X) \rightarrow \, 0. </math>

=== Відносні гомології ===
Для відносних гомологій послідовність Маєра&nbsp;— Вієторіса записується як:

: <math>\cdots\rightarrow H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_{n}(X,Y)\,\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\rightarrow\cdots</math>

== Приклади використання ==

=== Гомологія сфери ===
[[Файл: SphereCoverStriped.png|справа|міні|250x250пкс|розклад сфери]]
Щоб обчислити гомології [[Гіперсфера|''k''-вимірної сфери]] '' S<sup>k</sup> '', нехай A і ''B'' півсфери в ''X'' з перетином [[гомотопія|гомотопічно еквівалентним]] (''k''−1)-вимірній екваторіальній області. Оскільки ''k''-вимірні півкулі є [[Гомеоморфізм|гомеоморфними]] ''k''-вимірним кулям, групи гомологій '' A і B '' є [[Тривіальна група|тривіальними]]. Натомість їх перетин гомотопічно еквівалентний сфері розмірності (''k''−1).

Послідовність Маєра&nbsp;— Вієторіса має вигляд<br/> <math> \cdots \rightarrow 0 \rightarrow \tilde {H}_{n} \left (S^k \right) \xrightarrow {\partial_*} \, \tilde {H}_{n- 1} \left (S^{k-1} \right) \rightarrow 0 \rightarrow \cdots \! </math>

З точності послідовності випливає, що гомоморфізм ∂<sub>*</sub> є ізоморфізмом. Використовуючи редуковані гомології для [[Гіперсфера|0-сфери]] (двох точок) в якості [[Математична індукція|бази математичної індукції]], одержуємо<ref>Hatcher 2002 Example 2.46 ,ст. 150</ref><br/> <math> \tilde {H} _n \left (S^k \right) \cong \delta_ {kn} \, \mathbb {Z} = \left \{\begin {matrix}
\mathbb {Z} &  n = k \\
0 &  n \ne k \end {matrix} \right. </math><ref>Hatcher 2002 ст = 384</ref>

=== Пляшка Клейна ===
[[Файл: KleinBottle2D_covered_by_Möbius_strips.svg|справа|міні|200x200пкс|Розклад Пляшки Клейна на дві стрічки Мебіуса, червону і синю.]]
Для обчислення гомологій [[Пляшка Клейна|пляшки Клейна]], запишемо її, як об'єднання двох [[Стрічка Мебіуса|стрічок Мебіуса]] ''A'' і ''B'' [[фактор-простір|склеєних]] уздовж їх граничної кола . Тоді ''A, B'' і їх перетин ''A∩ B'' є [[гомотопія|гомотопно еквівалентними]] колу. Нетривіальна частина послідовності дає<ref>Hatcher 2002 ст. = 151</ref>

: <math>
0 \rightarrow H_{2}(X) \rightarrow 
\mathbb{Z}\ \xrightarrow{\overset{}{\alpha}} \ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} 
\rightarrow \, H_1(X) \rightarrow 0
</math>

а з інших елементів послідовності випливає рівність нулю гомологій розмірностей більше, ніж 2. Образом 1 при відображенні α є (2, −2) оскільки граничне коло стрічки Мебіуса двічі обертається навколо центрального кола. Зокрема α є [[Ін'єкція (математика)|ін'єктивним]] відображенням, тож гомологічна група розмірності 2 також є нульовою. Нарешті, вибираючи (1, 0) і (1, -1) як базис для '''Z'''<sup>2</sup>, отримуємо<br/> <math> \tilde {H} _n \left (X \right) \cong \delta_{1n} \, (\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}_2) = \left \{\begin {matrix}
\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}_2 &  n = 1 \\
0 &  n \ne1 \end {matrix} \right.
</math>

=== Тор ===
[[Файл: Mayer_Vietoris_sequence_boundary_map_on_torus.png|справа|міні|300x300пкс|Відображення границі ∂<sub>*</sub> на торі, де 1 цикл ''x = u + v''&nbsp;— сума двох 1-ланцюгів, границя якої лежить в перетині ''A'' і ''B''.]]Нехай <math>X = \mathbf{T}^n = S^1 \times S^1</math>— звичайний [[Тор (геометрія)|тор]]. Тоді ''X'' = ''A''∪''B,'' де ''A і B'' є [[Відкрита множина|відкритими підмножинами]] як зображено на малюнку.

Множини ''A і B'' є гомотопно еквівалентними колу і тому їх групи гомологій рівні групам гомологій кола. Натомість ''A''∩''B'' є гомотопно еквівалентним двом окремим колам і тому його групи гомологій є рівними [[Пряма сума|прямим сумам груп]] для двох кіл. Також <math>
\tilde H_{0}(X) \simeq \Z. 
</math>

Нетривіальна частина послідовності для редукований гомологій має вигляд

: <math>
0 \rightarrow \tilde H_{2}( X) \rightarrow 
\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\ \xrightarrow{\overset{}{\alpha}} \ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} 
\xrightarrow{\overset{}{\beta}} \, \tilde H_1( X) \xrightarrow{\overset{}{\partial^*}} \mathbb{Z} \rightarrow 0
</math>

а з інших елементів послідовності випливає рівність нулю гомологій розмірностей більше, ніж 2.

Відображенні α задане як <math>
\alpha(n,m) = (n+m, -n-m) 
</math>. Ядром цього відображення є [[підгрупа]] елементів виду (''n, -n''), яка є [[Ізоморфізм груп|ізоморфною]] групі цілих чисел. Звідси також <math>
\tilde H_{2}(X) \simeq \Z . 
</math>

Образ відображення α відповідно теж є ізоморфним групі цілих чисел, як і образ і ядро відображення β.Як наслідок ядро і образ гомоморфізму ∂<sub>*</sub> теж є ізоморфним групі цілих чисел і відповідно <math>
\tilde H_{1}(X) \simeq \Z \oplus \Z. 
</math>

Остаточно:

: <math> \tilde {H} _n \left (S^1 \times S^1 \right)  = \left \{\begin {matrix}
\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &  n = 1 \\
\mathbb {Z}  &  n = 2 \\
0 &  n \ne 1,2 \end {matrix} \right. </math>

=== Букет просторів ===
[[Файл: WedgeSumSpheres.png|справа|міні|300x300пкс|Розклад простору ''X —'' букета двох сфер сфер ''K'' and ''L''. Цей розклад дозволяє обчислити гомологічну групу простору ''X.'']]
Нехай ''X'' буде [[Букет просторів|букет]] двох просторів ''K'' і ''L'', і припустимо, крім того, що виділена точка є [[ретракт|деформаційним ретрактом]] з [[окіл|відкритих околів]] ''U'' ⊂ ''K'' і ''V'' ⊂ ''L''. Позначивши ''A'' = ''K''∪''V'' і ''B'' = ''U''∪''L'' одержуємо, що ''A''∪''B'' = ''X'' and ''A''∩''B'' = ''U''∪''V'', які є [[стягуваний простір|стягуваними просторами]] згідно означень. Тоді із редукованої версії послідовності одержуємо:<ref>Hatcher 2002 Exercise 31 ст. 158</ref>
: <math> \tilde {H}_n (K \vee L) \cong \tilde {H} _n (K) \oplus \tilde {H} _n (L) </math>
для всіх розмірностей ''n''.

На малюнку показаний букет двох сфер. Для цього конкретного випадку, використовуючи результат вище для 2-сфер:
: <math> \tilde {H} _n \left (S^2 \vee S^2 \right) \cong \delta_ {2n} \, (\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}) = \left \{\begin {matrix}
\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &  n = 2 \\
0 &  n \ne 2 \end {matrix} \right. </math>

=== Надбудови ===
Якщо простір ''X'' є [[Надбудова (топологія)|надбудовою]] ''SY'' простору ''Y'', нехай ''A'' ''і B'' позначають доповнення у ''X'' верхньої і нижньої вершин. Тоді ''X'' є рівним ''A''∪''B'' і ''A'' ''з B'' є стягуваними просторами. [[Перетин множин|Перетин]] ''A''∩''B'' є гомотопно еквівалентним простору ''Y''. Тому із послідовності Маєра&nbsp;— Вієторіса випливає, що для всіх ''n'',<ref>{{harvnb|Hatcher|2002|loc=Exercise 32 on page 158}}</ref>

<math>\tilde{H}_n(SY)\cong \tilde{H}_{n-1}(Y)</math>
[[Файл:0-Sphere_Suspension_-_Mayer-Vietoris_Cover.svg|праворуч|міні|500x500пкс|This decomposition of the suspension ''X'' of the 0-sphere ''Y'' yields all the homology groups of ''X''.]]
На малюнку справа показано, що коло ''X'' є надбудовою простору ''Y'' двох точок. Загалом ''k''-сфера є надбудовою (''k'' − 1)-сфери і звідси знову можна отримати вираз для гомологічних груп сфер.

== Натуральність ==
Якщо ''ƒ'' є [[Неперервне відображення|неперервним відображенням]] із ''X''<sub>1</sub> ''у X''<sub>2</sub>, то існує [[Гомоморфізм груп|гомоморфізм]] ''ƒ''<sub>∗</sub> гомологічних груп ''ƒ''<sub>∗</sub>&nbsp;:&nbsp;''H''<sub>''k''</sub>(''X''<sub>1</sub>)&nbsp;→&nbsp;''H''<sub>''k''</sub>(''X''<sub>2</sub>) і при цьому <math>(g\circ h)_* = g_*\circ h_*</math>.

Подібно, якщо ''X''<sub>1</sub> = ''A''<sub>1</sub>∪''B''<sub>1</sub> і ''X''<sub>2</sub> = ''A''<sub>2</sub>∪''B''<sub>2</sub> і для відображення ''ƒ'' виконуються умови ''ƒ''(''A''<sub>1</sub>) ⊂ ''A''<sub>2</sub> і''ƒ''(''B''<sub>1</sub>) ⊂ ''B''<sub>2</sub>, тоді граничний гомоморфізм ∂<sub>∗</sub> послідовності Маєра&nbsp;— Вієторіса комутує з ''ƒ''<sub>∗</sub>.<ref>{{harvnb|Massey|1984|p=208}}</ref> Інакше кажучи<ref>{{harvnb|Eilenberg|Steenrod|1952|loc=Theorem 15.4}}</ref> отримується така [[комутативна діаграма]]:

: <math>
\begin{matrix}
\cdots & H_{n+1}(X_1) & \to & H_n(A_1\cap B_1) & \to & H_n(A_1)\oplus H_n(B_1) & \to & H_n(X_1) & \to &H_{n-1}(A_1\cap B_1) & \to & \cdots\\ 
& f_* \Bigg\downarrow & & f_* \Bigg\downarrow & & f_* \Bigg\downarrow & & f_* \Bigg\downarrow & & f_* \Bigg\downarrow\\
\cdots & H_{n+1}(X_2) & \to & H_n(A_2\cap B_2) & \to & H_n(A_2)\oplus H_n(B_2) & \to & H_n(X_2) & \to &H_{n-1}(A_2\cap B_2) & \to & \cdots\\ 
\end{matrix}
</math>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{citation
 |first= Allen
 |last= Hatcher
 |title= Algebraic Topology
 |url= http://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/AT/ATpage.html
 |year= 2002
 |publisher= [[Cambridge University Press]]
 |isbn= 978-0-521-79540-1
 |mr= 1867354
 |accessdate= 2 серпня 2018
 |archive-date= 19 травня 2018
 |archive-url= https://web.archive.org/web/20180519001501/http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
 }}.


[[Категорія:Алгебрична топологія]]