Перегляд вихідного коду сторінки Поліноми Ґеґенбауера

{{Ортогональні поліноми|
Назва=Ґеґенбауера|
відкривач=[[Леопольд Ґеґенбауер]]|
формула=<math>C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{(-1)^k (\alpha)_{n-k}}{k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}</math>|
дифрівняння=<math>(1\!-\!z^2){d^2y(z) \over dz^2}\!\!-\!(2\alpha\!+\!1)z {dy(z) \over dz}\!\! + \! n(n\!+\!2\alpha)y(z)=0</math>|
інтервал=<math>\ [-1,+1]</math>|
вага=<math>(1-z^2)^{\alpha-1/2}</math>|
норма=<math>\frac{2^{1-2\alpha} \pi \Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}</math>|
примітки=|
 |
}}
'''Поліноми Ґеґенбауера''' або '''ультрасфери́чні поліноми'''&nbsp;— [[поліном]]и, [[ортогональні поліноми|ортогональні]] на відрізку [&minus;1,1] з [[вагова функція|вагою]] <math>(1-z^2)^{\alpha-1/2}</math> і є узагальненням [[Поліноми Лежандра|поліномів Лежандра]] і [[Поліноми Чебишева|Чебишева]]. Їх можна явно записати у вигляді суми
:: <math>
C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k\frac{\Gamma(n-k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{(-1)^k (\alpha)_{n-k}}{k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k},
</math>
де <math>\Gamma(s)</math>&nbsp;— [[гамма-функція]], <math>\lfloor n/2\rfloor</math> позначає [[ціла частина|цілу частину]] числа <math>n/2</math>, а <math>(\cdot)_{m}</math>&nbsp;— [[символ Похгаммера]].

Щоб вагова функція була дійснозначною та інтегровною часто накладають обмеження <math>\alpha>-\tfrac12</math>, хоча більшість формальних співвідношень залишаються справедливими для довільного <math>\alpha</math>.

Згідно наведено вище означення <math>C_n^{(0)}(z)=0</math> і часто у випадку <math>\alpha=0</math> функцію <math>C_n^{(0)}(z)</math> перевизначають окремо (див. розділ «[[Поліноми Ґеґенбауера#Зв'язок з іншими функціями|Зв'язок з іншими функціями]]»).

Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком [[Поліноми Якобі| поліномів Якобі]]. Вперше введені у 1875 році в докторській дисертації австрійського математика [[Леопольд Ґеґенбауер|Леопольда Ґеґенбауера]]<ref name="St_Andrews">{{cite web
 | title       = Leopold Bernhard Gegenbauer
 | work        = 
 | author      = J.J. O'Connor and E.F. Robertson
 | publisher   = School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews, Scotland
 | url         = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gegenbauer.html
 | date        = 
 | format      = HTML
 | accessdate  = 06.09.2012
 | archiveurl  = https://www.webcitation.org/6CPTq5CWv?url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gegenbauer.html
 | archivedate = 2012-11-24
}}</ref> (1849—1903) та були пізніше названі на його честь. Варто відзначити, що після захисту дисертації протягом наступних трьох років Л.&nbsp;Ґеґенбауер працював професором математики в [[Чернівецький університет|Чернівецькому університеті]], на той час&nbsp;— Університеті Франца-Йосифа ({{lang-de|Franz-Josephs-Universität}}).

== Приклади ==
[[Файл:Mplwp gegenbauer Cn05a1.svg|thumb|right|Графіки поліномів Ґеґенбауера при <math>\alpha=1</math> ]]
Перші шість поліномів Ґеґенбауера:{{sfn|Виленкин|1991|с=439}}
:: <math>
\begin{align}
C_0^{\alpha}(z) &= 1, \\
C_1^{\alpha}(z) &= 2 \alpha z, \\
C_2^{\alpha}(z) &= 2\alpha (1+\alpha) z^2-\alpha, \\
C_3^{\alpha}(z) &= \tfrac43 \alpha (1+\alpha) (2+\alpha) z^3- 2\alpha (1+\alpha) z,\\
C_4^{\alpha}(z) &= \tfrac23 \alpha (1+\alpha) (2+\alpha)(3+\alpha) z^4- 2\alpha (1+\alpha)(2+\alpha) z^2+\tfrac12\alpha (1+\alpha),\\
C_5^{\alpha}(z) &= \tfrac{4}{15}\alpha (1+\alpha) (2+\alpha)(3+\alpha)(4+\alpha) z^5- \tfrac43\alpha (1+\alpha)(2+\alpha)(3+\alpha) z^3+\alpha (1+\alpha)(2+\alpha)z.
\end{align}
</math>

== Значення в деяких точках ==

Мають місце такі співвідношення:

* при <math>x=0</math>
:: <math>
C_{2n}^{(\alpha)}(0) = \frac{(-1)^{n} (\alpha)_n}{(n)!}
</math>, &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>
C_{2n-1}^{(\alpha)}(0) = 0; 
</math>
* при <math>x=1</math>
:: <math>
C_n^{(\alpha)}(1) = \frac{(2\alpha)_n}{n!};
</math>
* при <math>x=-1</math>
:: <math>
C_n^{(\alpha)}(-1)= (-1)^n\frac{(2\alpha)_n}{n!}.
</math>

== Властивості ==
* Функція <math>C_n^{(\alpha)}(z)</math> є поліномом степеня <math>n</math> відносно <math>z</math> та <math>\alpha</math> і визначена для довільних <math>z,\alpha \in \mathbb{C}</math>.

* Як і всі ортогональні поліноми функція <math>C_n^{(\alpha)}(z)</math>, <math>\alpha>-\tfrac12</math>, має тільки прості [[Нуль функції|нулі]], які всі лежать на відрізку <math>[-1,1]</math>. Нулі розташовані симетрично відносно початку координат. Нулі поліномів <math>C_n^{(\alpha)}(z)</math> та <math>C_{n+1}^{(\alpha)}(z)</math> чергуються.

Позначимо через <math>x_m, m=1,\ldots,n,</math> нулі многочлена <math>C_n^{(\alpha)}(z)</math> розташовані у порядку спадання:
:: <math>
C_n^{(\alpha)}(x_m)=0, \qquad -1<x_n<x_{n-1}<\cdots<x_1<1,
</math>
Нулі розташовані симетрично <math>x_m=-x_{n-m}, m=1,\ldots,[n/2],</math>. Для нулів на інтеравалі [0,1] введемо позначення
:: <math>
x_m=\cos(\theta_m), \quad \theta_1<\cdots<\theta_m, \quad m=1,\ldots,[n/2].
</math>

Тоді мають місце оцінки:{{sfn|Бейтмен|1974|с=203}}
:: <math>
\left(m-\frac{1}{2}\right)\frac{\pi}{n}\leq \theta_m\leq \frac{m\pi}{n+1}, \quad m=1,\ldots,[n/2].
</math>

* Поліном <math>C_n^{(\alpha)}(z)</math> містить члени лише тієї ж парності, що й саме число <math>n</math>:

:: <math>C_n^{(\alpha)}(-z)=(-1)^n C_n^{(\alpha)}(z), \quad n=0,1,2,\ldots .</math>

== Зв'язок з іншими функціями ==
* [[Поліноми Лежандра]] <math>P_n(z)</math> є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при <math>\alpha=\tfrac12</math>:
:: <math>P_n(z) = C_n^{(1/2)}(z).</math>
У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера півцілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Лежандра:
:: <math>C_n^{\left(m+\tfrac12\right)}(z) = \sum_{k_1=0}^n\cdots\sum_{k_{2m+1}=0}^n\delta_{n,l}\prod_{j=1}^{2m+1}P_{k_j}(z), \quad l=\sum_{j=1}^{2m+1}k_j,</math>
де <math>\delta_{n,l}</math>&nbsp;— [[символ Кронекера]], або через похідну від полінома Лежандра:
:: <math>C_n^{\left(m+\tfrac12\right)}(z) = \frac{2^mm!}{(2m)!}\frac{d^m}{dz^m}P_{n+m}(z), \quad m=0,1,2,\ldots.</math>

* [[Приєднані функції Лежандра|Приєднана функція Лежандра]] першого роду також може бути виражена через поліноми Ґеґенбауера:
:: <math>P_n^m(z)=\frac{(-1)^m}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left(m+\tfrac12\right)2^m(1-z^2)^\tfrac m2 C_{n-m}^{\left(m+\tfrac12\right)}(z).</math>

* [[Поліноми Чебишева]] першого роду <math>T_n(z)</math> є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при <math>\alpha\rightarrow 0</math>:
:: <math>T_n(z) =\frac{n}{2} \lim_{\alpha\rightarrow 0}\left(\frac{1}{\alpha}C_n^{(\alpha)}(z)\right).</math>
''Це співвідношення беруть за означення полінома Ґеґенбауера індекса <math>\alpha=0</math>, тобто <math>C_n^{(0)}(z):=T_n(z)</math>.''

* [[Поліноми Чебишева]] другого роду <math>U_n(z)</math> є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при <math>\alpha=1</math>
:: <math>U_n(z) =C_n^{(1)}(z).</math>
У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера цілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Чебишева:
:: <math>C_n^{(m)}(z) = \sum_{k_1=0}^n\cdots\sum_{k_m=0}^n\delta_{n,l}\prod_{j=1}^{m}U_{k_j}(z), \quad l=\sum_{j=1}^{m}k_j, \quad m=1,2,\ldots,</math>
де <math>\delta_{n,l}</math>&nbsp;— символ Кронекера, або за допомогою операції диференціювання:
:: <math>C_n^{(m)}(z) = \frac{2^{-m+1}m!}{(m-1)!(n+m)}\frac{d^m}{dz^m}T_{n+m}(z),\quad m=1,2,\ldots.</math>

* [[Поліноми Ерміта]] також можуть бути виражені як граничний випадок поліномів <math>C_n^{(\alpha)}(z)</math>:
:: <math>H_n(z) =\frac{n!}{2} \lim_{\alpha\rightarrow 0}\left(\alpha^{-\tfrac n2}C_n^{(\alpha)}\left(\frac{z}{\sqrt{\alpha}}\right)\right).</math>

* Поліноми Ґеґенбауера можна виразити через скінченний [[Гіпергеометрична функція|гіпергеометричний ряд]]:<ref>[http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/GegenbauerC3General/ Gegenbauer Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200210145205/http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/GegenbauerC3General/ |date=10 лютого 2020 }}, functions.wolfram.com}}</ref>

:: <math>C_n^{(\alpha)}(z)=\frac{(2\alpha)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\tfrac12; \tfrac12 (1-z)\right), \qquad \alpha+\tfrac12\neq -n, n\in\mathbb{N}, </math>
:: <math>C_{2m}^{(\alpha)}(z)=(-1)^m\frac{(\alpha)_m}{m!}
\,_2F_1\left(-m,\alpha+m;\tfrac12; x^2\right), \qquad C_{2m+1}^{(\alpha)}(z)=(-1)^m\frac{(\alpha)_{m+1}}{m!}
\,_2F_1\left(-m,\alpha+m+1;\tfrac32; x^2\right). </math>

Це співвідношення дозволяє розширити означення функції <math>C_n^{(\alpha)}(z)</math> на випадок довільного дійсного (комплесного) значення індексу <math>n</math>. Так означена функція <math>C_\beta^{(\alpha)}(z)</math> називається функцією Ґеґенбауера і у випадку натурального <math>\beta</math> збігається з поліномом Ґеґенбауера.

* Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком [[поліноми Якобі|поліномів Якобі]] <math>P_n^{(\mu,\nu)}(z)</math> при <math>\mu=\nu=\alpha-\tfrac12</math>:

:: <math>C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(2\alpha)_n}{(\alpha+\frac{1}{2})_{n}}P_n^{(\alpha-1/2,\;\alpha-1/2)}(z),</math>

де <math>(\cdot)_n</math>&nbsp;— символ Похгаммера.

== Твірна функція та формула Родріга ==
[[Твірна функція]] поліномів Ґеґенбауера {{sfn|Виленкин|1991|с=468}}:

:: <math>
\frac{1}{(1-2zt+t^2)^\alpha}=\sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(z) t^n .
</math>

Вони можуть бути виражені за допомогою [[Ортогональні поліноми#Формула Родріга|формули Родріга]]
:: <math>
C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-z^2)^{-\alpha+1/2}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\left[(1-z^2)^{n+\alpha-1/2}\right].
</math>

== Рекурентні співвідношення ==
Для поліномів Ґеґенбауера виконується [[рекурентне співвідношення]] по індексу <math>n</math>, яке можна застосовувати для знаходження поліномів при <math>n\geq 2</math>:
:: <math>
C_{0}^{(\alpha)}(z)=1, \quad C_{1}^{(\alpha)}(z)=2\alpha z, \quad C_{n+1}^{(\alpha)}(z) = \frac{1}{n+1}[2z(n+\alpha)C_{n}^{(\alpha)}(z) - (n+2\alpha-1)C_{n-1}^{(\alpha)}(z)].
</math>

Рекурентне співвідношення по індексу <math>\alpha</math>:
:: <math>
C_{n}^{(\alpha+1)}(z) = \frac{2\alpha z^2+2n(z^2-1)+4\alpha-1}{2\alpha(z^2-1)}C_{n}^{(\alpha)}(z)+ \frac{(n+2\alpha-2)(n+2\alpha-1)}{4\alpha(\alpha-1)(z^2-1)}C_{n}^{(\alpha-1)}(z).
</math>

Інші формули:
:: <math>
C_{n}^{(\alpha)}(z) = zC_{n}^{(\alpha)}(z)+\frac{n+2\alpha-2}{2\alpha-2}C_{n}^{(\alpha-1)}(z),
</math>
:: <math>
C_{n}^{(\alpha)}(z) = \frac{(n+1)z}{n+2\alpha}C_{n+1}^{(\alpha)}(z)-\frac{2\alpha(z^2-1)}{n+2\alpha}C_{n}^{(\alpha+1)}(z),
</math>
:: <math>
n(n+2\alpha)C_{n}^{(\alpha)}(z) -2\alpha(2\alpha+1)zC_{n-1}^{(\alpha+1)}(z)-4\alpha(\alpha+1)(z^2-1)C_{n-2}^{(\alpha+2)}(z)=0.
</math>

== Диференціальні властивості ==
[[Похідна функції|Похідна]] полінома Ґеґенбауера виражається через поліном зі зміщеним індексом
:: <math>
\frac{d}{dz} C_n^{(\alpha)}(z) = 2\alpha C_{n-1}^{(\alpha+1)}(z)
</math>
або у загальному випадку
:: <math>
\frac{d^m}{dz^m} C_n^{(\alpha)}(z) = 2^m(\alpha)_m C_{n-m}^{(\alpha+m)}(z). 
</math>
Похідна від добутку на вагову функцію
:: <math>
\frac{d}{dz} \left((1-z^2)^{\alpha-\tfrac12}C_n^{(\alpha)}(z)\right) = -\frac{(n+1)(n+2\alpha+1)}{2(\alpha-1)}(1-z^2)^{\alpha-\tfrac32} C_{n+1}^{(\alpha-1)}(z). 
</math>
Похідна полінома Ґеґенбауера по параметру <math>\alpha</math> також може бути обчислена через поліноми за наступною формулою:<ref name=":0">{{Cite web |url=http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/GegenbauerC3General/ |title=Gegenbauer Function |accessdate=18 березня 2020 |archive-date=10 лютого 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200210145205/http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/GegenbauerC3General/ }}</ref>
:: <math>
\frac{d}{d\alpha} C_n^{(\alpha)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1}\left( \frac{2(1+(-1)^{n-k})(k+\alpha)}{(n+k+2\alpha)(n-k)}C_{k}^{(\alpha)}(z)+ \left(\frac{2(k+1)}{(k+2\alpha)(2k+2\alpha+1)}+\frac{2}{(n+k+2\alpha)}\right)C_{n}^{(\alpha)}(z)\right).
</math>

=== Диференціальне рівняння ===
Поліноми Ґеґенбауера є частковим розв'язком [[диференціальне рівняння|диференціального рівняння]], яке називають рівнянням Ґеґенбауера {{sfn|Виленкин|1991|c=438}}

:: <math>(1-z^2)\frac{{\rm d}^2 y(z)}{{\rm d}z^2}-(2\alpha+1)z\frac{{\rm d} y(z)}{{\rm d}z}+n(n+2\alpha)y(z)=0.</math>

Загальний розв'язок вказаного рівняння зображується у вигляді
:: <math>y(z)=AC_n^{(\alpha)}(z)+B(1-z^2)^{\frac{1-2\alpha}{4}}Q_{n+\alpha-\tfrac12}^{\tfrac12-\alpha}(z),</math>
де <math>Q_{\nu}^{\mu}(z)</math>&nbsp;— [[Функції Лежандра|приєднана функція Лежандра]] другого роду, <math>A, B</math>&nbsp;— довільні сталі.

== Ортогональність ==
''Зауваження. Всі співвідношення цього розділу справедливі за умови <math>\alpha>-\tfrac12</math>, <math>-1\leq z\leq 1</math>.''

Для заданого <math>\alpha>-\tfrac12</math> поліноми Ґеґенбауера [[ортогональні поліноми|ортогональні]] на відрізку [&minus;1,1] с [[Вагова функція|вагою]] <math>(1-z^2)^{\alpha-1/2}</math>, тобто (при <math>n\neq m</math>){{sfn|Виленкин|1991|с=441}},

:: <math>
\int_{-1}^1 C_n^{(\alpha)}(z)C_m^{(\alpha)}(z)(1-z^2)^{\alpha-1/2}\,{\rm d}z = 0,
</math>

причому виконується умова нормування {{sfn|Виленкин|1991|с=441}}

:: <math>
\|C_n^{(\alpha)}(z)\|^2=\int_{-1}^1 \left[C_n^{(\alpha)}(z)\right]^2(1-z^2)^{\alpha-1/2}\,{\rm d}z 
= \frac{2^{1-2\alpha} \pi \Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}.
</math>

Як наслідок, функції
:: <math>
\psi^\alpha_n(z):= \frac{2^{\tfrac12-\alpha} \sqrt{\pi \Gamma(n+2\alpha)}}{\Gamma(\alpha)\sqrt{n!(n+\alpha)}}(1-z^2)^{\frac{1-2\alpha}{4}}C_n^{(\alpha)}(z), \quad n=0,1,2,\ldots,
</math>
утворюють ортонормований базис у [[Простір Lp|просторі <math>L^2[-1,1]</math>]]. Довільна функція <math>f(z)\in L^2[-1,1]</math> може бути розвинена в узагальнений ряд Фур'є по набору функцій <math>\{\psi^\alpha_n(z)\}_{n=0}^{\infty}</math>:
:: <math>
f(z)=\sum_{k=0}^\infty f_k\psi^\alpha_k(z), \quad f_k=\int_{-1}^{1}f(z)\psi^\alpha_k(z)dz.
</math>

Також розвинення можна будувати безпосередньо по многочленах Ґеґенбауера у ваговому просторі Лебега <math>L^2_w[-1,1]</math>:{{sfn|Бейтмен|1974|с=209-212}}
:: <math>
L^2_w[-1,1]:=\left\{f(z):\int_{-1}^1f^2(z)w(z)dz<\infty\right\},\quad  w(z)=(1-z^2)^{\alpha-1/2},
</math>
за формулами:
:: <math>
f(z)=\sum_{k=0}^\infty f_kC_k^{(\alpha)}(z), \quad f_k=\tfrac1{N_k}\int_{-1}^{1}f(z)C_k^{(\alpha)}(z)dz, \quad N_k=\frac{2^{1-2\alpha} \pi \Gamma(k+2\alpha)}{k!(k+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}.
</math>

=== Приклади розвинень ===
:: <math>
\sgn(z)=4\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (\alpha)_k}{(2k+1)(2k+2\alpha+1)k!}\frac{C_{2k+1}^{(\alpha)}(z)}{N_{2k+1}},
</math>
де <math>\sgn(z)</math>&nbsp;— [[функція знаку]].
:: <math>
(1-z)^\beta =\frac{2^{2\alpha+\beta}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\alpha)\Gamma\left(\alpha+\beta+\tfrac12\right)\sum_{k=0}^\infty \frac{(k+\alpha)(-\beta)_k}{\Gamma(k+2\alpha+\beta+1)}C_{k}^{(\alpha)}(z), \quad -\beta<(\alpha+1)/2, \,\text{при}\, \alpha>0; \quad
-\beta<\tfrac12+\alpha, \,\text{при}\, -\tfrac12<\alpha<0.
</math>
Двовимірні розвинення:
:: <math>
\exp(ixy)=\Gamma(\alpha)\left(\tfrac y2\right)^{-\alpha}\sum_{k=0}^\infty i^k (k+\alpha)J_{k+\alpha}(y)C_{k}^{(\alpha)}(x), \quad \alpha>0,
</math>
де <math>J_{n}(y)</math>&nbsp;— [[функція Бесселя]] першого роду.
:: <math>
(1-x^2)^{\tfrac{1-2\alpha}{4}}(1-y^2)^{\tfrac{1-2\alpha}{4}}=\frac{\Gamma^2(\alpha)}{\pi 2^{1-2\alpha}}\sum_{k=0}^\infty\frac{k!(k+\alpha)}{\Gamma(k+2\alpha)}C_{k}^{(\alpha)}(x)C_{k}^{(\alpha)}(y).
</math>

== Представлення через суми та ряди ==
Поліноми Ґеґенбауера <math>C^{(\alpha)}_n(z)</math> можна записати у вигляді суми по степенях <math>z</math> або <math>\alpha</math> за відповідними формулами:
:: <math>
C^{(\alpha)}_n(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{(-1)^k (\alpha)_{n-k}}{k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}, 
</math>
:: <math>
C^{(\alpha)}_n(z)=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{(-1)^{k+n} (2z)^{n-2j}s(n-j,k)}{j!(n-2j)!}\alpha^k,
</math>
де <math>s(n-j,k)</math>&nbsp;— [[Число Стірлінга першого роду |числа Стірлінга першого роду]].

Розвиненням в [[ряд Тейлора]] в околі довільної точки <math>z=z_0</math> буде скінчення сума:
:: <math>
C^{(\alpha)}_n(z)=\sum_{k=0}^{n} \frac{2^k(\alpha)_{k}}{k!}C^{(\alpha+k)}_{n-k}(z_0)(z-z_0)^k. 
</math>

== Інтегральне представлення ==
Поліноми Ґеґенбауера допускають інтегральне представлення: 

через інтеграл по дійсній змінній:
:: <math>
C_{n}^{(\alpha)}(z) = \frac{2^{1-2\alpha} \pi \Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2} \int_0^\pi(z+\cos t\cdot\sqrt{z^2-1})^n (\sin t)^{2\alpha-1}dt,
</math>

через контурний інтеграл:

:: <math>
C_{n}^{(\alpha)}(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{du}{u^{n+1}(1-2zu+u^2)^\alpha},
</math>
де <math>\gamma</math>&nbsp;— довільний контур в комплексній області, що містить одиничний круг.

Ряд інших інтегральних тотожностей:
:: <math>
\int C_{n}^{(\alpha)}(z)dz = \frac{1}{2(\alpha-1)} C_{n+1}^{(\alpha-1)}(z)+C, </math>
:: <math>
\int C_{n}^{(\tfrac32)}(z)dz=P_{n+1}(z)+C, \quad \int C_{n}^{(2)}(z)dz=\tfrac12 U_{n+1}(z)+C,
</math>
:: <math>
\int (1-z^2)^{\alpha-\tfrac12}C_{n}^{(\alpha)}(z)dz =- \frac{2\alpha(1-z^2)^{\alpha+\tfrac12}}{n(n+2\alpha)} C_{n-1}^{(\alpha+1)}(z)+C.
</math>

== Асимптотична поведінка ==
Наведені формули характеризують поведінку поліномів Ґеґенбауера в околі різних значень параметра <math>\alpha</math> та змінної <math>z</math>:<ref name=":0"/>
:: <math>
C_n^{(\alpha)}(z) \approx \frac{2^n\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha+\tfrac12)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\tfrac{1-n}2)n!}(1+O(z)); \qquad
C_n^{(\alpha)}(z) \approx \frac{\Gamma(2\alpha+n)}{\Gamma(2\alpha)n!}(1+O(z-1)),\quad -\alpha-\tfrac12\neq\mathbb{N};
</math>

:: <math>
C_n^{(\alpha)}(z) \approx \frac{(-1)^n(2\alpha)_n}{n!}(1+O(z+1)); \qquad
C_n^{(\alpha)}(z) \approx \frac{2^nz^n(\alpha)_n}{n!}\left(1+O\left(\frac{1}{z^2}\right)\right);
</math>

:: <math>
C_n^{(\alpha)}(z) \approx C_n^{(0)}(z)\alpha(1+O(\alpha)), \quad n>0; \qquad
C_n^{(\alpha)}(z) \approx \frac{(2z)^n\alpha^n}{n!}\left(1+O\left(\frac{1}{\alpha}\right)\right).
</math>

== Нерівності та оцінки ==
Справедливі такі оцінки:{{sfn|Бейтмен|1974|с=206}}
:: <math>
\max_{-1\leq z\leq 1}| C_n^{(\alpha)}(z)|=C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{(2\alpha)_n}{n!}, \quad \alpha>0
</math>
:: <math>
\max_{-1\leq z\leq 1}| C_{2m}^{(\alpha)}(z)|=|C_{2m}^{(\alpha)}(0)|=\left|\frac{(\alpha)_m}{m!}\right|, \quad -m<\alpha<0, \quad \alpha\neq\mathbb{Z},
</math>
:: <math>
\max_{-1\leq z\leq 1}| C_{2m+1}^{(\alpha)}(z)|<\frac{2|(\alpha)_{m+1}|}{m!\sqrt{(2m+1)(2m+2\alpha+1)}}, \quad -m-\tfrac12<\alpha<0,\quad \alpha\neq\mathbb{Z},
</math>
:: <math>
(1-z^2)^\alpha| C_{n}^{(\alpha)}(z)|<\left(\frac{n}{2}\right)^\alpha \frac{1}{\Gamma(\alpha)}, \quad 0<\alpha<1,\quad z\in[-1,1].
</math>

При <math>z\ge-1,\, \alpha\ge 1/4</math> справедлива наступна нерівність:
:: <math>\sum_{j=0}^n\frac{C_j^{(\alpha)}(z)}{{2\alpha+j-1\choose j}}\ge 0, \qquad  {2\alpha+j-1\choose j} =\frac{(2\alpha+j-1)(2\alpha+j-2)(2\alpha+j-3)\cdots(2\alpha)}{j(j-1)(j-2)\cdots 1}.</math>

== Поліноми Ґеґенбауера від косинуса полярного кута ==
Поліном Ґеґенбауера від [[косинус]]а [[сферична система координат|полярного кута]] <math>\theta</math> може бути представлений у вигляді суми{{sfn|Бейтмен|1974|с=177}}
:: <math>
C_{n}^{(\alpha)}(\cos \theta) =\sum_{k=0}^n\frac{(\alpha)_k(\alpha)_{n-k}}{k!(n-k)!}\cos((n-2k)\theta),
</math>
або через інтеграл від дійсного параметра:
:: <math>
C_{n}^{(\alpha)}(\cos \theta) = \frac{2^\alpha \Gamma(\alpha+\tfrac12)(2\alpha)_n}{n!\Gamma(\alpha)\sqrt{pi}}\int_0^\theta\frac  {\cos((n+\alpha)\phi)}{(\cos\phi-\cos\theta)^{1-\alpha}} d\phi.
</math>
''Зауваження. Наведені вище формули справедливі для косинуса взагалі, без прив'язки до сферичної системи координат.''
  
При повороті точки заданої в сферичній системі координатами <math>(r,\theta, \varphi)</math> на [[Ейлерові кути|кут нутації]] <math>\beta</math> новий кут <math>\theta^\prime</math> визначається рівністю
:: <math>
\cos \theta^{\prime}=\cos \theta \cos \beta+\sin \theta \sin \beta \cos \varphi.
</math>
Справедлива формула додавання:
:: <math>
C_{n}^{(\alpha)}(\cos \theta^{\prime}) =\sum_{k=0}^n\frac{(\alpha)_k(n-k)!}{(\alpha+\tfrac12)_k(2k+2\alpha)_{n-k}}\sin^k\theta\,\sin^k\beta\, C_{n-k}^{(\alpha+k)}(\cos \theta)\,C_{n-k}^{(\alpha+k)}(\cos \beta)\,C_{k}^{(\alpha+\tfrac12)}(\cos \varphi)
</math>
або
:: <math>
C_{n}^{(\alpha)}\left(xy+\gamma\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right) =\sum_{k=0}^n\frac{(\alpha)_k(n-k)!}{(\alpha+\tfrac12)_k(2k+2\alpha)_{n-k}}(1-x^2)^{k/2}\,(1-y^2)^{k/2}\, C_{n-k}^{(\alpha+k)}(x)\,C_{n-k}^{(\alpha+k)}(y)\,C_{k}^{(\alpha+\tfrac12)}(\gamma)
</math>
після заміни <math>x=\cos\theta, y=\cos\beta, \gamma=\cos\varphi</math>.

== Випадок комплексного аргументу ==
Симетрія відносно операції [[спряжені числа|комплексного спряження]]:
:: <math>
C_{n}^{(\bar\alpha)}(\bar z) =\overline{C_n^{(\alpha)}(z)}.
</math>

Якщо <math>z=x+iy</math>, де <math>x</math> і <math>y</math>&nbsp;— дійсні змінні (<math>\alpha</math> також дійсне), то дійсна та уявна частини поліномів Ґеґенбауера можуть бути записані в такому вигляді:

:: <math>
{\rm Re}\left[ C_n^{(\alpha)}(x+{\rm i}y) \right] = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}
\frac{(-1)^k 2^{2k} (\alpha)_{2k}}{(2k)!}\; C_{n-2k}^{(2k+\alpha)}(x)\; y^{2k} ,
</math>

:: <math>
{\rm Im}\left[ C_n^{(\alpha)}(x+{\rm i}y) \right] = \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}
\frac{(-1)^k 2^{2k+1} (\alpha)_{2k+1}}{(2k+1)!}\; C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha+1)}(x)\; y^{2k+1}.
</math>

== Застосування ==
Поліноми Ґеґенбауера природно виникають як узагальнення поліномів Лежандра у [[теорія потенціалу|теорії потенціалу]] та [[гармонічний аналіз|гармонічному аналізі]]. А саме, ньютонівський потенціал в <math>\mathbb{R}^n</math> допускає такий розклад:

:: <math>\frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{n-2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{|\mathbf{x}|^k}{|\mathbf{y}|^{k+n-2}}C_k^{(\alpha)}(\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}), \qquad \alpha=\frac{n-2}{2}, \quad \mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_1y_1 +\cdots +x_ny_n, \quad \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n.</math>

Зокрема, при <math>n=3</math> ця формула дає розклад [[гравітаційний потенціал|гравітаційного потенціалу]] по поліномах Лежандра.

Подібні розвинення мають місце для інтегрального ядра у [[Інтегральна формула Пуассона|формулі Пуассона]] для кулі (див. Stein & Weiss, 1971).

Поліноми Ґеґенбауера виникають при знаходженні власних функцій кутової частини <math>n</math>-вимірного оператора Лапласа і, відповідно, входять до виразу для багатовимірних сферичних (ультрасферичних) гармонік:
:: <math> Y_l(\Theta)=e^{im_{n-1}\theta_{n-1}}\prod_{k=1}^{n-2}\sin^{m_k}(\theta_k)C_{m_{k-1}-m_k}^{(m_k+(n-k)/2)}(\cos\theta_k), </math>
де <math>\Theta=(\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})</math>&nbsp;— кутові координати в <math>n</math>-вимірній сферичній системі координат,
:: <math> m_1=l,\quad l\geq m_2\geq m_3\geq \ldots \geq m_{n-1}\geq0, \quad l=0,1,2,\ldots.</math>

Також вони з'являються у [[імпульсне зображення |імпульсному зображенні]] [[хвильова функція| хвильової функції]] [[атом водню|атома водню]]:
:: <math> \phi(p, \vartheta_p, \varphi_p) = \sqrt{\frac{2}{\pi} \frac{(n-l-1)!}{(n+l)!}} n^2 2^{2l+2} l! \frac{n^l p^l}{(n^2 p^2 + 1)^{l+2}} C_{n-l-1}^{(l+1)}\left(\frac{n^2 p^2 - 1}{n^2 p^2 + 1}\right) Y_l^m({\vartheta_p, \varphi_p}), </math>
де <math>p</math>&nbsp;— одиниці <math> \hbar/a^*_0 </math>, <math> a^*_0</math>&nbsp;— [[радіус Бора]] атома водню, <math>Y_l^m</math>&nbsp;— [[сферичні гармоніки]].

Також поліноми Ґеґенбауера через відповідні ультрасферичні гармоніки пов'язані з [[Представлення групи|представленнями]] [[Спеціальна ортогональна група|спеціальної ортогональної групи]] <math>SO(n)</math>{{sfn|Виленкин|1991|с=415}}.

== Література ==
* {{книга
 | автор         = {{nobr|Суетин П. К}}
 | заголовок      = Классические ортогональные многочлены
 | місто         = М.
 | видавництво  = Физматлит
 | рік           = 2007
 | том           = 
 | сторінок       = 480
 | isbn          = 978-5-9221-0406-7
}}
* {{книга
 | автор         = {{nobr|Виленкин Н. Я}}
 | заголовок      = Специальные функции и теория представления групп
 | видання       = 2-е изд., исправ
 | місто         = М.
 | видавництво  = Наука
 | рік           = 1991
 | том           = 
 | сторінок       = 576
 | isbn          = 5-02-014541-6
 | ref           = Виленкин
}}
* {{книга
 | автор         = {{nobr|Бейтмен Г., Эрдейи А}}
 | заголовок      = Высшие трансцендентные функции
 | видання       = 
 | місто         = М.
 | видавництво  = Наука
 | рік           = 1974
 | том           = 2
 | сторінок       = 296
 | isbn          = 
 | ref           = Бейтмен
}}
* Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, ''{{iw|Абрамовиц и Стиган|Handbook of Mathematical Functions|en|Abramowitz and Stegun}}'', (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Див. [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm Chapter 22] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090919135437/http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm |date=19 вересня 2009 }}
* Stein, Elias; Weiss, Guido, ''Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces'', (1971) Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* [http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/GegenbauerC3General/ Gegenbauer Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200210145205/http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/GegenbauerC3General/ |date=10 лютого 2020 }}, functions.wolfram.com
* Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/GegenbauerPolynomial.html Gegenbauer Polynomial] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210205013510/https://mathworld.wolfram.com/GegenbauerPolynomial.html |date=5 лютого 2021 }}, MathWorld&nbsp;— mathworld.wolfram.com

{{Ортогональні поліноми (список)}}
[[Категорія:Ортогональні поліноми]]