Перегляд вихідного коду сторінки Полілогарифм

'''Полілогарифм'''&nbsp;— [[Спеціальні функції|спеціальна функція]], що позначається <math>\operatorname{Li}_s(z)</math> і визначається як нескінченний [[степеневий ряд]]

: <math>
\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}, 
</math>

де ''s'' і ''z''&nbsp;— [[Комплексне число|комплексні числа]], причому <math>|z|<1</math>. Для інших ''z'' робиться узагальнення за допомогою [[Аналітичне продовження|аналітичного продовження]]. <center><gallery heights="130" widths="130" caption="[[Карта висот]] полілогарифма на комплексній площині">
Файл:Complex polylogminus3.jpg|<math>\operatorname{Li}_{-3}(z)</math>
Файл:Complex polylogminus2.jpg|<math>\operatorname{Li}_{-2}(z)</math>
Файл:Complex polylogminus1.jpg|<math>\operatorname{Li}_{-1}(z)</math>
Файл:Complex polylog0.jpg|<math>\operatorname{Li}_{0}(z)</math>
Файл:Complex polylog1.jpg|<math>\operatorname{Li}_{1}(z)</math>
Файл:Complex polylog2.jpg|<math>\operatorname{Li}_{2}(z)</math>
Файл:Complex polylog3.jpg|<math>\operatorname{Li}_{3}(z)</math>
</gallery></center> Частковим випадком є <math>s=1</math>, за якого <math>\operatorname{Li}_{1}(z)=-\ln(1-z)</math>. Функції <math>\operatorname{Li}_{2}(z)</math> і <math>\operatorname{Li}_{3}(z)</math> отримали назви [[дилогарифм]]а і [[трилогарифм]]а відповідно. Для полілогарифмів різних порядків виконується співвідношення

: <math>\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t.</math>

Альтернативними визначеннями полілогарифма є [[Інтеграл Фермі — Дірака|інтеграли Фермі&nbsp;— Дірака]] і [[Інтеграл Бозе — Ейнштейна|Бозе&nbsp;— Ейнштейна]].

== Окремі значення ==
[[Файл:Polylogarithm_plot_negative.svg|праворуч|обрамити]]

: <math>\operatorname{Li}_1(\tfrac12) = \ln 2</math>
: <math>\operatorname{Li}_2(\tfrac12) = \tfrac1{12} \pi^2 - \tfrac12 (\ln 2)^2</math>
: <math>\operatorname{Li}_3(\tfrac12) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3) \,,</math>
: <math>\operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln(1-z)</math>
: <math>\operatorname{Li}_{0}(z) = {z \over 1-z}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z \,(1+z) \over (1-z)^3}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z \,(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z \,(1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} \,.
</math>

== Див. також ==
* [[Неповний полілогарифм]]
* [[Інтеграл Фермі — Дірака]]

== Література ==
* {{книга-ру |язык=fr |contribution-url=http://www.abelprisen.no/verker/oeuvres_1881_del2/oeuvres_completes_de_abel_nouv_ed_2_kap14_opt.pdf |заглавие=Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II |место=Christiania [Oslo] |издательство={{Нп3|Grøndahl & Søn Forlag|Grøndahl & Søn|en|Grøndahl & Søn Forlag}} |год=1881 |страницы=189—193 |ref=Abel |автор=[[Нільс Генрік Абель|Abel, N.H.]] |ответственный=Sylow, L.; Lie, S.}} (this 1826 manuscript was only published posthumously.)
* {{книга-ру |заглавие={{Нп3|Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions|en|Abramowitz and Stegun}} with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |место=New York |издательство=[[Dover Publications]] |год=1972 |isbn=0-486-61272-4 |ref=Abramowitz |язык=en |автор=Abramowitz, M.; Stegun, I.A.}}
* {{статья |заглавие=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants |ссылка=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=66 |номер=218 |страницы=903—913 |doi=10.1090/S0025-5718-97-00856-9 |ref=Bailey |язык=en |тип=journal |автор={{Нп3|Bailey, D.H.|Bailey, D.H.||David H. Bailey}}; {{Нп3|Borwein, P.B.|Borwein, P.B.||Peter Borwein}}; {{Нп3|Plouffe, S.|Plouffe, S.||Simon Plouffe}} |месяц=4 |год=1997}}
* {{cite arxiv | last1= Bailey | first1= D.H. | last2= Broadhurst | first2= D.J. | title= A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder | eprint=math.CA/9906134 |class=math.CA | date= June 20, 1999 | ref= harv}}
* {{книга-ру |заглавие=Ramanujan's Notebooks, Part IV |место=New York |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |год=1994 |страницы=323—326 |isbn=0-387-94109-6 |ref=Berndt |язык=und |автор=Berndt, B.C.}}
* {{статья |заглавие=On the evaluation of Legendre's chi-function |jstor=2152987 |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=59 |номер=199 |страницы=157—163 |doi=10.2307/2152987 |ref=Boersma |язык=en |автор=Boersma, J.; Dempsey, J.P. |год=1992 |тип=journal}}
* {{статья |заглавие=Special Values of Multiple Polylogarithms |издание=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |том=353 |номер=3 |страницы=907—941 |doi=10.1090/S0002-9947-00-02616-7 |ref=Borwein |язык=en |автор=Borwein, J.M.; Bradley, D.M.; Broadhurst, D.J.; Lisonek, P. |год=2001}}
* {{статья |заглавие=On Bose-Einstein functions |издание={{Нп3|Proceedings of the Physical Society|Proceedings of the Physical Society, Section A||Proceedings of the Physical Society}} |том=67 |номер=7 |страницы=632—636 |doi=10.1088/0370-1298/67/7/308 |ref=Clunie |язык=en |автор=Clunie, J. |год=1954 |тип=journal}}
* {{статья |заглавие=A Sixteenth-Order Polylogarithm Ladder |ссылка=http://www.expmath.org/expmath/volumes/1/1.html |издание=Experimental Mathematics |том=1 |номер=1 |страницы=25—34 |ref=Cohen |язык=und |автор=Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. |год=1992}}
* {{статья |заглавие=The functions of Schläfli and Lobatschefsky |издание=Quarterly Journal of Mathematics (Oxford) |том=6 |номер=1 |страницы=13—29 |doi=10.1093/qmath/os-6.1.13 |ref=Coxeter |язык=und |автор=[[Гарольд Коксетер|Coxeter, H.S.M.]] |год=1935}}
* {{статья |заглавие=Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms |ссылка=http://www.ams.org/journals/proc/1997-125-09/S0002-9939-97-04102-6/S0002-9939-97-04102-6.pdf |издание={{Нп3|Proceedings of the American Mathematical Society}} |том=125 |номер=9 |страницы=2543—2550 |doi=10.1090/S0002-9939-97-04102-6 |ref=Cvijovic |язык=en |тип=journal |автор=Cvijovic, D.; Klinowski, J. |год=1997}}
* {{статья |заглавие=New integral representations of the polylogarithm function |ссылка=http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/463/2080/897.full.pdf |издание=Proceedings of the Royal Society (London), Series A |том=463 |номер=2080 |страницы=897—905 |doi=10.1098/rspa.2006.1794 |ref=Cvijovic |язык=en |тип=journal |автор=Cvijovic, D. |год=2007}}
* {{книга-ру |заглавие=Higher Transcendental Functions, Vol. 1 |место=New York |издательство=Krieger |год=1981 |ref=Arthur |язык=und |автор={{Нп3|Arthur Erdélyi|Erdélyi, A.|en|Arthur Erdélyi}}; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F.G.}}
* {{статья |заглавие=Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function |jstor=2005579 |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=29 |номер=130 |страницы=582—599 |doi=10.2307/2005579 |ref=Fornberg |язык=en |тип=journal |автор=Fornberg, B.; Kölbig, K.S. |год=1975}}
* {{cite web | author= GNU Scientific Library | url= http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#SEC117 | title= Reference Manual | year= 2010 | accessdate= 2010-06-13 | ref=  | archiveurl= https://web.archive.org/web/20061123123841/http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#SEC117 | archivedate= 23 листопада 2006 }}
* {{книга-ру |заглавие=Tables of Integrals, Series, and Products |издание=4th |место=New York |издательство=[[Academic Press]] |год=1980 |isbn=0-12-294760-6 |ref=Gradshteyn |язык=en |автор=Gradshteyn, I.S.; Ryzhik, I.M.}}
* {{статья |заглавие=Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent |arxiv=math.NT/0506319 |издание={{Нп3|The Ramanujan Journal}} |том=16 |номер=3 |страницы=247—270 |doi=10.1007/s11139-007-9102-0 |ref=Guillera |язык=en |тип=journal |автор=Guillera, J.; Sondow, J. |год=2008}}
* {{cite arxiv | last= Hain | first= R.M. | title= Classical polylogarithms | eprint=alg-geom/9202022 |class=alg-geom | date= March 25, 1992 | ref= harv}}
* {{книга-ру |заглавие=Tables of Functions with Formulae and Curves |издание=4th |место=New York |издательство=[[Dover Publications]] |год=1945 |ref=Jahnke |язык=en |автор=Jahnke, E.; Emde, F.}}
* {{статья |заглавие=Note sur la série <math>\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}</math> |язык=French |ссылка=http://archive.numdam.org/item?id=BSMF_1889__17__142_1 |издание={{Нп3|Bulletin de la Société Mathématique de France}} |том=17 |страницы=142—152 |ref=Jonquière |автор=Jonquière, A. |год=1889}}
* {{статья |заглавие=On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation |издание=BIT |том=10 |страницы=38—74 |doi=10.1007/BF01940890 |ref=Kölbig |язык=en |тип=journal |автор=Kölbig, K.S.; Mignaco, J.A.; Remiddi, E. |год=1970}}
* {{статья |заглавие=Dilogarithm identities |arxiv=hep-th/9408113 |издание={{Нп3|Progress of Theoretical and Experimental Physics|Progress of Theoretical Physics Supplement||Progress of Theoretical and Experimental Physics}} |том=118 |страницы=61—142 |doi=10.1143/PTPS.118.61 |ref=Kirillov |язык=en |автор=Kirillov, A.N. |год=1995 |тип=journal}}
* {{книга-ру |заглавие=Dilogarithms and Associated Functions |место=London |издательство=Macdonald |год=1958 |mr=0105524 |ref=Lewin |язык=und |автор=Lewin, L.}}
* {{книга-ру |заглавие=Polylogarithms and Associated Functions |место=New York |издательство=North-Holland |год=1981 |isbn=0-444-00550-1 |ref=Lewin |язык=und |автор=Lewin, L.}}
* {{книга-ру |заглавие=Structural Properties of Polylogarithms |серия=Mathematical Surveys and Monographs |том=37 |место=Providence, RI |издательство=Amer. Math. Soc. |год=1991 |isbn=0-8218-1634-9 |ref=Lewin |язык=und |автор=Lewin, L. (Ed.)}}
* {{статья |заглавие=The Riemann Zeta Function |издание=BIT |том=5 |страницы=138—141 |ref=Markman |язык=und |автор=Markman, B. |год=1965}}
* {{статья |заглавие=The Dilogarithm Function for Complex Argument |ссылка=http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/459/2039/2807.full.pdf |издание=Proceedings of the Royal Society (London), Series A |том=459 |номер=2039 |страницы=2807—2819 |doi=10.1098/rspa.2003.1156 |ref=Maximon |язык=und |автор=Maximon, L.C. |год=2003}}
* {{статья |заглавие=The computation of Fermi-Dirac functions |издание=Philosophical Transactions of the Royal Society (London), Series A |том=237 |номер=773 |страницы=67—104 |doi=10.1098/rsta.1938.0004 |ref=McDougall |язык=und |автор=McDougall, J.; Stoner, E.C. |год=1938}}
* {{статья |заглавие=Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen |язык=German |место=Halle – Leipzig, Germany |издательство=Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher |издание=Nova Acta Leopoldina |том=XC |номер=3 |страницы=121—212 |ref=Nielsen |автор=Nielsen, N. |год=1909}}
* {{книга-ру |заглавие=Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions |место=Newark, NJ |издательство=[[Taylor & Francis|Gordon and Breach]] |год=1990 |isbn=2-88124-682-6 |ref=Prudnikov |язык=en |автор=Prudnikov, A.P.; Marichev, O.I.; Brychkov, Yu.A.}} (see §&nbsp;1.2, «The generalized zeta function, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, and polylogarithms», p. 23.)
* {{статья |заглавие=Note on the Bose-Einstein integral functions |издание=Physical Review, Series 2 |том=83 |номер=3 |страницы=678—679 |doi=10.1103/PhysRev.83.678 |ref=Robinson |язык=und |автор=Robinson, J.E. |год=1951}}
* {{статья |заглавие=On function sum theorems connected with the series <math>\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}</math> |издание=Proceedings of the London Mathematical Society (2) |том=4 |номер=1 |страницы=169—189 |doi=10.1112/plms/s2-4.1.169 |ref=Rogers |язык=en |тип=journal |автор=Rogers, L.J. |год=1907}}
* {{книга-ру |заглавие=Statistical Thermodynamics |издание=2nd |место=Cambridge, UK |издательство=[[Cambridge University Press|Cambridge University Press]] |год=1952 |ref=Schrödinger |язык=und |автор=[[Шрёдингер, Эрвин|Erwin Schrödinger]]}}
* {{статья |заглавие=On a function which occurs in the theory of the structure of polymers |jstor=1969153 |издание=Annals of Mathematics, Series 2 |том=46 |номер=1 |страницы=144—157 |doi=10.2307/1969153 |ref=Truesdell |язык=en |тип=journal |автор=Truesdell, C. |год=1945}}
* {{cite arxiv | last= Vepstas | first= L. | year= 2007 | month= February | title= An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions | eprint=math.CA/0702243 |class=math.CA | ref= harv}}
* {{книга-ру |заглавие=A Course of Modern Analysis |издание=4th |место=Cambridge, UK |издательство=[[Cambridge University Press|Cambridge University Press]] |год=1952 |ref=Edmund |язык=und |автор=[[Едмунд Тейлор Віттекер|Whittaker, E.T.]]; {{Нп3|George Neville Watson|Watson, G.N.|en|George Neville Watson}}}}
* {{cite web|last=Wood|first=D.C.|title=The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92*|url=http://www.cs.kent.ac.uk/pubs/1992/110|format=PS|location=Canterbury, UK|publisher=University of Kent Computing Laboratory|year=1992|month=June|accessdate=2005-11-01|ref=harv|archiveurl=https://www.webcitation.org/67ery5qUD?url=http://www.cs.kent.ac.uk/pubs/1992/110|archivedate=2012-05-14}}
* {{cite conference | last= Zagier | first= D. | author-link= Don Zagier | title= The dilogarithm function in geometry and number theory | booktitle= Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988 | series= Studies in Mathematics | volume= 12 | location= Bombay | publisher= Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press | year= 1989 | pages= 231–249 | isbn= 0-19-562367-3 | ref= harv}} (also appeared as «The remarkable dilogarithm» in ''Journal of Mathematical and Physical Sciences'' '''22''' (1988), pp. 131—145, and as Chapter I of {{harv|Zagier|2007}}.)
* {{книга-ру |contribution-url=http://mathlab.snu.ac.kr/~top/articles/zagier.pdf |заглавие=Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization |место=Berlin |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |год=2007 |страницы=3—65 |isbn=978-3-540-30307-7 |ref=Zagier |язык=en |автор=Zagier, D. |ответственный=Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P.}}

== Посилання ==
* {{mathworld | urlname= Polylogarithm | title= Polylogarithm}}
* {{mathworld | urlname= Dilogarithm | title= Dilogarithm}}
{{math-stub}}
[[Категорія:Логарифми]]
[[Категорія:Спеціальні функції]]