Перегляд вихідного коду сторінки Полюс і поляра

[[Файл:Pole and polar.svg|thumb|right|Поляра ''q'' до точки '''Q''' відносно кола радіуса ''r'' з центром у точці '''O'''. Точка '''P''' є точкою інверсії до '''Q'''; поляра&nbsp;— це пряма, яка проходить через '''P''' і перпендикулярна до прямої, яка проходить через '''O''', '''P''' і '''Q'''.]]

У [[геометрія|геометрії]], '''полюс''' і '''поляра''' є відповідно точка та пряма, які перебувають в унікальному відношенні відносно певного [[Конічні перетини|конічного перетину]].

Для певного кола, '''взаємність''' у колі означає перетворення кожної точки на площині у її поляру та кожної прямої на площині у її полюс.

== Характеристики ==
Полюси та поляри мають декілька корисних характеристик:

* Якщо точка '''P''' лежить на прямій ''l'', тоді полюс '''L''' прямої ''l'' лежить на полярі ''p'' точки '''P'''.
* Якщо точка '''P''' рухається вздовж прямої ''l'', її поляра ''p'' обертається навколо полюса '''L''' прямої ''l''.
* Якщо з полюса до конічного перетину можна провести дві дотичні прямі, тоді його поляра проходить через обидві точки дотику.
* Якщо точка лежить на конічному перетині, її поляра є дотичною в цій точці до конічного перетину.
* Якщо точка '''P''' лежить на власній полярі, то '''P''' розташована на конічному перетині.
* Кожна лінія має, відносно невиродженого конічного перетину, лише один полюс.

== Окремі випадки кіл ==
{{See also|Інверсивна геометрія}}

Полюсом прямої ''L'' у колі ''C'' є точка '''P''', яка є інверсією у колі ''C'' точки '''Q''' на ''L'', яка найближча до центру кола. І навпаки, '''полярна лінія''' (або '''поляра''') точки '''P''' відносно кола ''C'' є лінією ''L'', такою, що її найближча до центра кола точка '''Q''' є інверсією точки '''P''' у ''C''.

[[Файл:Conjugate points and lines.svg|thumb|right|Якщо точка '''A''' лежить на полярі ''q'' іншої точки '''Q''', тоді '''Q''' лежить на полярі ''a'' точки '''A'''. Більш загально, поляри всіх точок на лінії ''q'' повинні проходити через її полюс '''Q'''.]]

Відношення між полярами і полюсами є взаємними. Тобто, якщо точка '''A''' лежить на полярі ''q'' іншої точки '''Q''', тоді '''Q''' повинна лежати на полярі ''a'' точки '''A'''. Дві полярні лінії ''a'' і ''q'' не обов'язково є паралельними.

Є інший опис полярної лінії точки '''P''' у випадку, коли вона лежить за межами кола ''C''. У цьому випадку, через '''P''' проходять дві прямі, які є [[Дотична пряма до кола|дотичними до кола]], і поляра точки '''P''' є лінією, що проходить через дві точки дотику. Це показує, що поляра та полюс є концепціями [[Проєктивна площина|площини]] у [[Проєктивна геометрія|проєктивній геометрії]] і узагальнюються на будь-який [[конічні перетини|несингулярний конічний перетин]] замість кола ''C''.

{{clear}}

== Взаємність і проєктивна дуальність ==
{{Main|Кореляція (проєктивна геометрія)}}
{{Main|Двоїстість (проєктивна геометрія)}}
[[Файл:Incidence poles polars.svg|thumb|right|Ілюстрація [[Двоїстість (проєктивна геометрія)|дуальності]] між точками та лініями, та подвійного значення «інцидентність». Якщо дві лінії ''a'' і ''k'' проходять через одну точку '''Q''', тоді поляра ''q'' точки '''Q''' з'єднує полюси '''A''' і '''K''' ліній ''a'' і ''k'', відповідно.]]

Концепції ''полюса та його полярної лінії'' отримали розвиток у проєктивній геометрії. Наприклад, полярна лінія може розглядатись як набір [[Гармонійна четвірка|проєктивних гармонійних сполучених точок]] для заданої точки (полюса) відносно конічного перетину. Операція заміни кожної точки її полярною лінією і навпаки відома як полярність.

'''Полярність'''&nbsp;— це [[кореляція (проєктивна геометрія)|кореляція]], яка також є [[Інволюція (математика)|інволюцією]].

== Загальні конічні перетини ==
[[Файл:Pool poollijn.svg|thumb|Лінія ''p'' є полярою для точки '''P''', ''l'' до '''L''' і ''m'' до '''M''']]
[[Файл:Pool poollijn eig.svg|thumb|''p'' є полярною лінією до точки '''P''' ; ''m'' є полярною лінією до '''M''']]
Концепції полюса, поляри і взаємність можна узагальнити з кіл на інші конічні перетини: [[еліпс]], [[Гіпербола (математика)|гіперболу]] й [[Парабола|параболу]]. Це узагальнення можливе, оскільки конічні перетини є результатом взаємності кола в іншому колі, а пов'язані характеристики, такі як [[Інцидентність (геометрія)|інцидентність]] та [[подвійне відношення]], зберігаються за всіх [[Проєктивне перетворення|проєктивних перетворень]].

=== Розрахунок поляри до точки ===
Конічний перетин можна задати як рівняння другого ступеня у [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] (''x'', ''y'') [[площина|площини]]

: <math>
A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0\,
</math>

де ''A''<sub>''xx''</sub>, ''A''<sub>''xy''</sub>, ''A''<sub>''yy''</sub>, ''B''<sub>''x''</sub>, ''B''<sub>''y''</sub> і ''C'' є сталими, які визначають рівняння. Для такого конічного перетину, полярна лінія до заданої точки (полюса) (ξ, η) визначається рівнянням

: <math>
D x + E y + F = 0\,
</math>

де ''D'', ''E'' і ''F'' така само є сталими, які залежать від координат полюса (ξ, η)

: <math>\begin{align}
  D &= A_{xx} \xi + A_{xy} \eta + B_{x} \\
  E &= A_{xy} \xi + A_{yy} \eta + B_{y} \\
  F &= B_{x} \xi + B_{y} \eta + C\,
\end{align}</math>

=== Розрахунок полюса прямої ===
Полюс прямої <math> D x + E y + F = 0 </math>, відносно невиродженого конічного перетину
: <math>
A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0\,
</math>
можна розрахувати за два кроки.

Спочатку розраховуються числа x, y і z з

: <math>
\begin{bmatrix}
  x \\ y \\ z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\
  A_{xy} & A_{yy} & B_{y} \\
  B_{x}  & B_{y}  & C
\end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  D \\ E \\ F
\end{bmatrix}
</math>

Тоді полюс&nbsp;— це точка з координатами <math> \left( \frac{x}{z} , \frac{y}{z} \right) </math>

== Застосування ==
Полюси та поляри визначив {{iw|Жозеф Діас Жергонн|Ж. Жергонн|en|Joseph Diez Gergonne}} та використав для розв'язання [[Задача Аполлонія|задачі Аполлонія]].<ref>{{cite web | url=http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf | title=Apollonius’ Problem: A Study of Solutions and  Their Connections | accessdate=2013-06-04 | archive-date=2008-04-15 | archive-url=https://web.archive.org/web/20080415201100/http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf }}</ref>

У площинній динаміці полюс є центром обертання, поляра&nbsp;— лінією дії сили, а конічний перетин є матрицею маса-інерція.<ref>[http://helix.gatech.edu/Papers/1999/AlexiouThesis.pdf John Alexiou Thesis, Chapter 5, pp. 80–108] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110719195653/http://helix.gatech.edu/Papers/1999/AlexiouThesis.pdf |date=2011-07-19 }}</ref> Це відношення полюс-поляра використовується для визначення {{iw|центр удару|центру удару|en|center of percussion}} плоского твердого тіла. Якщо полюс є центром обертання, тоді поляра є лінією удару як описано в площинному [[Гвинтове числення|гвинтовому численні]].

== Див. також ==
* {{iw|Дуальний многокутник||en|Dual polygon}}
* [[Дуальний многогранник]]
* {{iw|Полярна крива||en|Polar curve}}
* [[Проєктивна геометрія]]
* [[Гармонійна четвірка]]

== Джерела ==
* {{cite book | author = Johnson RA | year = 1960 | title = Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle | publisher = Dover Publications | location = New York | pages = 100–105}}
* {{cite book | title = Geometry Revisited | url = https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe | author = [[Гарольд Коксетер|Coxeter HSM]], Greitzer SL| year = 1967 | publisher = [[Mathematical Association of America|MAA]] | location = Washington | isbn = 978-0-88385-619-2 | pages = [https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe/page/n143 132]–136, 150}}
* {{cite book | author = Gray J J | year = 2007 | title = Worlds Out of Nothing: A Course in the history of Geometry in the 19th century | url = https://archive.org/details/worldsoutnothing00jgra | publisher = Springer Verlag | location = London | isbn = 978-1-84628-632-2 | pages = [https://archive.org/details/worldsoutnothing00jgra/page/n42 21]}}
* {{cite book | author = Korn GA, Korn TM | year = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = 43–45 | lccn = 59014456}} The paperback version published by Dover Publications has the {{isbn|978-0-486-41147-7}}.
* {{cite book | author = Wells D | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = 190–191}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
{{Commons category|Poles and polars}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PolePolar.shtml Інтерактивна анімація з численними полярами і полюсами] на [[Олександр Богомольний|Cut-the-Knot]]
* [https://web.archive.org/web/20120701181134/http://www.geogebra.org/de/examples/polare/polare_kreis.html Інтерактивна анімація з одним полюсом та його полярою]
* [https://wrcstewart.github.io/Pole-Polar-Demo/ Interactive 3D with coloured multiple poles/polars&nbsp;— open source]
* {{MathWorld|title=Поляра|urlname=Polar}}
* {{MathWorld|title=Взаємність|urlname=Reciprocation}}
* {{MathWorld|title=Інверсійний полюс|urlname=InversionPole}}
* {{MathWorld|title=Reciprocal curve|urlname=ReciprocalCurve}}
* [https://web.archive.org/web/20080411102225/http://www.ping.be/~ping1339/pole.htm Tutorial] at Math-abundance

[[Категорія:Планіметрія]]
[[Категорія:Проєктивна геометрія]]
[[Категорія:Кола]]