Перегляд вихідного коду сторінки Поле (алгебра)

{{Otheruses|Поле}}
{{Алгебричні структури|ring}}
'''По́ле''' ({{lang-en|field}} — поле, {{lang-de|körper}} — тіло) — [[алгебрична структура]], для якої визначено дві пари [[бінарна операція|бінарних операцій]]: '''додавання/віднімання''' та '''множення/ділення''', що задовольняють умови, подібні до властивостей [[чотири арифметичні дії|арифметичних операцій]] над [[раціональне число|раціональними]], [[дійсне число|дійсними]] або [[комплексне число|комплексними]] числами.

== Означення ==
Поле — [[комутативне кільце]] <math>\ F</math>, в якому кожен ненульовий елемент <math>\ a\ne 0</math> має [[обернений елемент|обернений]] <math>a^{-1}\in F</math>.
Більш детально це означає:
* <math>\ F</math> є [[абелева група|комутативною групою]] по додаванню;
* <math>\ F \setminus \{0\}</math> є комутативною групою по множенню;
* множення є [[дистрибутивність|дистрибутивним]] відносно додавання: <math>(a+b)*c=(a*c)+(b*c) \qquad \forall a,b,c \in F</math>.

Якщо [[підмножина]] <math>\ F</math> поля <math>\ L</math> сама утворює поле щодо операцій в <math>\ L</math> (з тими самими [[нульовий елемент|нулем]] й [[одиниця кільця (алгебра)|одиницею]]), то <math>\ F</math> називається '''підполем''' <math>\ L,</math> а <math>\ L</math> — [[розширення поля|розширенням поля]] <math>\ F</math>. Позначається <math>\ L/ F.</math>

== Історія ==
Поняття поля неявно застосовувалось [[Нільс Генрік Абель|Нільсом Абелем]] та [[Еварист Галуа|Еваристом Галуа]] для дослідження розв'язків [[алгебраїчне рівняння|алгебраїчних рівнянь]] 5-го та вищих степенів.

[[1871]] року [[Ріхард Дедекінд]] запровадив для множини дійсних та комплексних чисел поняття «тіло» ({{lang-de|körper}}), щоб довести їх [[замкненість (математика)|замкненість]] щодо арифметичних операцій. Відтоді для позначення полів почала широко застосовуватись літера <math>\ K</math>. [[1893]] року [[Еліаким Гастінгс Мур|Е. Г. Мур]] запровадив для цього поняття назву «поле» ({{lang-en|field}}).

У сучасній [[математика|математиці]] розглядаються також і [[поле Галуа|скінченні поля]], що відіграють провідну роль у деяких застосуваннях, зокрема, у [[криптографія|криптографії]] та [[теорія кодування|теорії кодування]].

== Приклади ==

* Полями є: множини [[раціональне число|раціональних чисел]] <math>\Q</math>, [[дійсне число|дійсних чисел]] <math>\R</math>, [[комплексне число|комплексних чисел]] <math>\Complex</math> зі звичними операціями додавання/віднімання та множення/ділення. Кожне наступне з цих полів є розширенням попереднього:
:<math>\Q \subset \R \subset \Complex.</math>
Так само, множина всіх [[алгебраїчні числа|алгебраїчних чисел]] замкнена щодо алгебраїчних операцій, а тому утворює поле, яке містить <math>\mathbb{Q}</math> і міститься в <math>\mathbb{C}</math>.

* Якщо <math>p\,</math> — [[просте число]], то [[модульна арифметика|кільце лишків]] <math>(\operatorname{mod}\, p)\,</math> — це [[скінченне поле]] з <math>p\,</math> елементів, яке називається [[поле Галуа|полем Галуа]] порядку <math>p</math> та позначається
:<math>GF(p) = \mathbb{F}_p = \Z / p\Z.</math>

Ці поля названо на честь [[Еварист Галуа|Евариста Галуа]], який першим розглянув скінченні поля. 

* [[Мероморфна функція|Мероморфні функції]] <math>f(z)\,</math> на одиничному крузі <math>D=\{z:|z|<1\}\,</math>, з операціями поточкового додавання та множення, утворюють поле.

=== Зауваження ===

* множина [[Цілі числа|цілих чисел]] <math>\Z</math> з операціями додавання та множення '''НЕ&nbsp;утворює&nbsp;поля''', тому що, наприклад, 2 не має оберненого в <math>\Z</math>.

* Для кожного натурального <math>n\in\N</math> існує єдине (не враховуючи [[ізоморфізм]]ів) поле Галуа <math>GF(p^n)=\mathbb{F}_{p^n}\,</math>,
що складається з <math>p^n\,</math> елементів, але для <math>n\geq 2</math> це поле 
'''НЕ&nbsp;дорівнює''' кільцю лишків <math>\Z/p^n\Z</math>. 
Насправді, <math>p\cdot p^{n-1}=0(mod \; p^n)\,</math>, тому <math>p\ne 0\,</math> не має оберненого в <math>\Z/p^n\Z.</math>

== Термінологія ==

[[Характеристика (алгебра)|'''Характеристика''']] поля <math>\ F</math>, що позначається <math>\ char F</math> — це найменше натуральне число <math>n\,</math>, для якого сума <math>1+1+\ldots+1\,</math> (<math>n\,</math> доданків) дорівнює <math>0\,</math>, якщо ж такого числа не існує, то вважається, що характеристика поля дорівнює нулю. У наведеному означенні <math>0\,</math> та <math>1\,</math> позначають "абстрактні" нуль та одиницю поля <math>\ F</math>, тобто [[нейтральний елемент|нейтральні елементи]] відповідно додавання та множення в цьому полі, а не звичні числа нуль та одиницю.

Щодо характеристик полів, приклади яких наведено в попередньому розділі, то поля раціональних, дійсних і комплексних чисел, а також поле мероморфних функцій мають характеристику нуль, у той час як будь-яке скінченне поле з <math>q=p^n\,</math> елементів, де <math>p\,</math> — просте число, має характеристику <math>\ p>0.</math>

Взагалі, у довільному полі <math>\ F</math> існує єдине найменше (так зване '''просте''') підполе. Це або поле, [[ізоморфізм|ізоморфне]] полю раціональних чисел <math>\Q</math> (якщо <math>\ char F=0</math>), або поле <math>GF(p)\,</math> з <math>p\,</math> елементів, (якщо <math>\ char F=p.</math>)

Зокрема, будь-яке розширення поля має таку ж характеристику, як і саме поле. Поля додатної характеристики мають незвичайні властивості, які істотно відрізняють їх від полів із характеристикою нуль. 

Поле <math>\ F</math> — [[алгебраїчно замкнуте поле|алгебраїчно замкнене]], якщо будь-який [[многочлен]] з коефіцієнтами в <math>\ F</math> має принаймні один корінь у <math>\ F.</math>

За [[основна теорема алгебри|основною теоремою алгебри]], поле <math>\Complex</math> комплексних чисел є алгебраїчно замкнененим, на відміну від поля раціональних чисел <math>\Q</math> і скінченних полів.

== Конструкції полів ==

Припустимо, що [[комутативність|комутативне]] [[кільце (алгебра)|кільце]] з одиницею <math>R\,</math> не має [[дільник нуля|дільників нуля]], тобто для будь-яких <math>a,b\in R\,</math> із рівності <math>ab=0\,</math> випливає, що або <math>a=0\,</math> або <math>b=0\,</math>. Тоді існує єдине найменше поле <math>Q(R)\,</math>, яке містить у собі <math>R\,</math>. Це поле називається [[поле часток|полем часток]] кільця <math>R\,</math> і може бути утворено наступним способом (який узагальнює перехід від кільця [[цілі числа|цілих чисел]] <math>\Z</math> до поля [[раціональні числа|раціональних чисел]] <math>\Q</math>). Спочатку розглядається множина всіх формальних виразів вигляду <math>\frac{a}{b}\,</math>, де <math>a,b\in R, b\ne 0\,</math>. Ці вирази додаються і множаться на зразок звичайних [[дріб|дробів]]:
:<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}, \qquad  \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.</math>

Два вирази називаються '''еквівалентними''', <math>\frac{a}{b}\sim\frac{a'}{b'}\,</math>, якщо <math>ab'=a'b\,</math>. Тоді поле часток <math>Q(R)\,</math> — це множина [[клас еквівалентності|класів еквівалентності]] виразів, з означенними вище операціями.
Можна довести, що утворена таким чином структура — це комутативне кільце, де роль нуля та одиниці відіграють класи еквівалентності відповідно <math>\frac{0}{1}</math> та <math>\frac{1}{1}</math>, а класи еквівалентності виразів <math>\frac{a}{1}</math> є замкнененими відносно додавання та множення й утворюють кільце, ізоморфне <math>R\,</math> (для цього потрібно переконатися, що з <math>\frac{a}{1}\sim\frac{a'}{1}</math> випливає <math>a=a'\,</math>, а це справджується завдяки відсутності дільників нуля у <math>R\,</math>). До того ж, будь-який ненульовий клас еквівалентності <math>\quad \frac{a}{b} \quad (a,b\ne 0)</math> має обернений <math>\frac{b}{a}=\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}</math>, тому ми одержуємо поле.

Якщо застосувати цю конструкцію до [[кільце многочленів|кільця поліномів]] <math>\mathbb{K}[x]</math>, то одержимо '''поле раціональних функцій''' <math>\mathbb{K}(x)=Q(\mathbb{K}[x]).</math>

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Тіло (алгебра)]]

== Джерела ==
* {{ван.дер.Варден.Алгебра}}
* {{Ленг.Алгебра}}
* {{Винберг.Курс алгебры}}

[[Категорія:Теорія полів]]