Перегляд вихідного коду сторінки Показникова функція

{{unibox}}
'''Показнико́ва''', або '''експоненці́йна фу́нкція''' ({{lang-en|exponential function}})&nbsp;— [[функція (математика)|функція]] виду <math>f(x) = a^x\,\!</math>, де <math>~a</math>&nbsp;— стале число (додатне, але відмінне від одиниці).

У [[дійсні числа|дійсному]] випадку основа степеня&nbsp;— деяке додатне [[дійсне число]], а аргументом функції є дійсний показник степеня.

Показникова функція узагальнюється в [[теорія комплексних функцій|теорії комплексних функцій]], де аргумент і показник степеня можуть бути довільними [[комплексне число|комплексними числами]].

У найзагальнішому вигляді&nbsp;— <math>~u^v</math>, введена [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніцем]] [[1695]] року.

Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає [[e (число)|число ''e'']]. Така функція називається '''[[Експонента (функція)|експоне́нтою]]''' (дійсною або комплексною).

== Визначення ==

Нехай <math>a</math>&nbsp;— додатне дійсне число, <math>x</math>&nbsp;— [[раціональне число]]: <math>x=\frac{m}{n}</math>. Тоді <math>a^x\,\!</math> визначається за такими правилами.
* Якщо <math>x>0</math>, то <math>a^x=\sqrt[n]{a^m}</math>.
* Якщо <math>x=0</math>, то <math>\ a^x=1</math>.
* Якщо <math>x<0</math>, то <math>a^x=\frac {1} {a^{|x|}}</math> (для <math>\ a>0</math>).

Показникову функцію <math>\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> можливо визначити багатьма еквівалентними способами. Зазвичай її визначають за допомогою наступного [[Степеневий ряд|степеневого ряду]]:<ref name="rudin">{{cite book|url=https://ia801506.us.archive.org/30/items/RudinW.RealAndComplexAnalysis3e1987/Rudin,%20W.%20Real%20and%20Complex%20Analysis,%203e,%201987.pdf|title=Real and complex analysis|date=1987|publisher=McGraw-Hill|year=|isbn=978-0-07-054234-1|edition=3rd|location=New York|page=1|pages=|quote=|via=|last1=Rudin|first1=Walter}} {{ref-en}}</ref>

: <math>\exp(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} {z^k \over k!} = 1 + z + {z^2 \over 2} + {z^3 \over 6} + {z^4 \over 24} + \cdots</math>

Оскільки радіус збіжності цього степеневого ряду є нескінченним, це визначення застосовується для всіх комплексних чисел <math>z</math>. Сталу ''e'' можна визначити як <math display="inline">e=\exp(1)=\sum_{k=0}^\infty(1/k!)</math>.

Для довільного дійсного показника <math>x</math> значення <math>a^x</math> можна визначити як [[Границя (математика)|границю]] [[Послідовність (математика)|послідовності]] <math>a^{r_n}</math>, де <math>r_n</math>&nbsp;— раціональні числа, що сходяться до <math>x</math>. Для експоненти є й інші визначення через границю, наприклад:
: <math>e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.</math>

== Основні властивості ==
Дійсну показникову функцію визначено на всій дійсній осі більше [[Нуль (число)|нуля]]. При <math>a>1</math> вона всюди зростає; при <math>0<a<1</math> функція спадає на всій області визначення.

Виконуються тотожності
* <math>a^0 = 1</math>;
* <math>a^{x+y} = a^x a^y</math>;
* <math>(a^x)^y = a^{xy}</math>.

Зворотна функція до показникової функції&nbsp;— [[логарифм]].

Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої [[степенева функція|степеневої]]:
: <math>\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^n}{a^x}=0</math>

Показникова функція нескінченно [[Диференціювання (математика)|диференційована]], її похідною є <math>{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x.</math>

== Експонента ==
[[Файл:Exp derivative at 0.svg|right|frame|''e''&nbsp;— це таке унікальне число '''a''', при якому [[похідна]] (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції ''f'' (''x'') = ''a<sup>x</sup>'' (синя крива) в точці ''x''&nbsp;=&nbsp;0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2<sup>''x''</sup> (точкова крива) та 4<sup>''x''</sup> (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)]]
'''Експонента''' (<math>\exp</math>)&nbsp;— [[функція (математика)|функція]] <math>\exp(x)=e^x \, </math>, де [[e (число)|''e'']]&nbsp;— основа натурального логарифма (<math>e\approx 2{,}718\,281\,828\,459</math>&nbsp;— число Ейлера).
{{main|Експонента (функція)|l1=Експонента}}

=== Властивості ===
Експонента є визначеною на всій дійсній осі. Вона усюди зростає й є більшою за [[Нуль (число)|нуль]]. Зворотною функцією до неї є [[натуральний логарифм]].

Експонента є нескінченно [[Диференціювання (математика)|диференційованою]]. Її [[похідна]] в точці нуль дорівнює «1», тому [[дотична]] в цій точці проходить під кутом 45°.

Основна функціональна властивість експоненти: <math>\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b) \,</math>. [[Неперервна функція]] з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид <math>\exp(ct)\,</math>, де <math>c</math>&nbsp;— деяка стала.

=== Формальне визначення ===
[[Файл:Exp series.gif|right|thumb|Експоненційна функція (синя лінія), і сума перших ''n''&nbsp;+&nbsp;1 членів степеневого ряду записаного зліва (червона лінія).]]
Експоненційну функцію може бути означено двома еквівалентними способами. Через [[ряд Тейлора]]:

<math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots. </math>

або через [[границя|границю]]:

<math>e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+x/n)^n</math>

Тут ''x''&nbsp;— довільне [[дійсне число|дійсне]], [[комплексне число|комплексне]], [[p-адичне число]] або обмежений [[лінійний оператор]].

== Комплексна експонента ==
[[Файл:Complex exp.jpg|thumb|right|Графік експоненти в комплексній площині.<br/>[[commons:File:Complex coloring.jpg|Легенда]]]]
Комплексна експонента&nbsp;— [[Комплексна функція|математична функція]], що означується співвідношенням <math>f(z)=e^z</math>, де <math>z</math> є [[комплексне число|комплексним числом]]. Комплексна експонента означується як [[аналітичне продовження]] експоненти <math>f(x)=e^x</math> дійсної змінної <math>x</math>:

Означмо формальний вираз

<math>e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}</math>.

Означений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести [[Аналітична функція|аналітичність]] функції <math>e^z</math>, тобто показати, що <math>e^z</math> розкладається в деякий збіжний до даної функції ряд. Покажемо це:

<math>f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math>

Збіжність даного ряду легко доводиться:

<math>\left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\sum_{n=0}^\infty\left|\frac{x^n}{n!}\right|= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{|x|^n}{n!} =e^{|x|}</math>.

Ряд усюди [[Абсолютна збіжність|збігається абсолютно]], тобто взагалі всюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції <math>f(z)=e^z</math>. Відповідно до [[Теорема єдиності|теореми єдиності]], отримане продовження буде єдиним, отже, на комплексній площині функція <math>e^z</math> є всюди визначеною й аналітичною.

=== Властивості ===
* Комплексна експонента&nbsp;— [[Ціла функція|ціла]] [[голоморфна функція]] на всій [[Комплексна площина|комплексній площині]]. Вона в жодній точці не обертається на нуль.
* <math>e^z</math>&nbsp;— [[періодична функція]] з основним періодом 2[[Число пі|''π'']][[Уявна одиниця|''i'']]: <math>e^{i\varphi}=e^{i(\varphi+2\pi)}</math>. Через періодичність комплексна експонента [[Багатозначна функція|має безліч листів]]. Як її однолисну область можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою <math>2 \pi</math>.
* <math>e^z</math>&nbsp;— єдина функція, похідна (а також, відповідно, й інтеграл) якої дорівнює їй самій.
* Алгебрично експоненту від комплексного аргументу <math>z=x+iy</math> може бути визначено наступним чином:
*: <math>e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos \, y + i\sin \, y)</math> ([[формула Ейлера]])
** Зокрема, має місце ([[тотожність Ейлера]])
**: <math>e^{i\pi}+1=0</math>

=== Графіки функції ===
Показникова функція відображує будь-яку [[Пряма|пряму]] в комплексній площині у [[Логарифмічна спіраль|логарифмічну спіраль]] на комплексній площині з центром в [[Початок координат|початку координат]]. Необхідно відмітити два особливі випадки: коли початкова пряма є паралельною до осі дійсних чисел, отримувана в результаті спіраль ніколи не замикається в собі; коли пряма є паралельною осі уявних чисел, отримувана в результаті спіраль є колом із деяким радіусом.

<gallery caption="Графіки показникової функції у комплексній площині">
 Image:ExponentialAbs_real_SVG.svg| {{math|''z'' {{=}} Re(''e''<sup>''x'' + ''iy''</sup>)}}
 Image:ExponentialAbs_image_SVG.svg| {{math|''z'' {{=}} Im(''e''<sup>''x'' + ''iy''</sup>)}}
 Image:ExponentialAbs_SVG.svg| <math>z = |e^{x+iy}|</math>
</gallery>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{cite book
|автор = С. Т. Завало
|title = Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
|видавництво = Радянська школа
|дата = 1972
|знаходження = Київ}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}

== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Показникова функція|сторінки=179}}
* [http://zero2hero.org/article/math/34-eksponenta-i-chislo-e-prosto-i-ponyatno «Експонента і число е: просто і зрозуміло»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161222084441/http://zero2hero.org/article/math/34-eksponenta-i-chislo-e-prosto-i-ponyatno |date=22 грудня 2016 }} {{ref-ru}}&nbsp;— переклад статті [http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ «An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070623202339/http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ |date=23 червня 2007 }} {{ref-en}}
* [http://shkolnik.in.ua/index.php?option=com_content&view=category&layout=blog&id=44&Itemid=72 Способи розв'язання показникових рівнянь]{{Недоступне посилання|date=липень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}

[[Категорія:Елементарні функції комплексної змінної]]
[[Категорія:Аналітичні функції]]
[[Категорія:Показникові функції| ]]
[[Категорія:Спеціальні гіпергеометричні функції]]
[[Категорія:E (число)]]