Перегляд вихідного коду сторінки Поверхня Еннепера

[[Файл:EnneperSurfaceAnimated.gif|обрамити| Частина поверхні Еннепера]]
У [[Диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]] та [[Алгебрична геометрія|алгебраїчній геометрії]] '''поверхня Еннепера''' є самоперетинна поверхня, що задається [[Параметр|параметрично]]:<math display="block">\begin{align}
 x &= \tfrac{1}{3} u \left(1 - \tfrac{1}{3}u^2 + v^2\right), \\
 y &= \tfrac{1}{3} v \left(1 - \tfrac{1}{3}v^2 + u^2\right), \\
 z & = \tfrac{1}{3} \left(u^2 - v^2\right). \end{align}</math>Її описав Альфред Еннепер у 1864 році у досліджуючи теорією [[Мінімальна поверхня|мінімальних поверхонь]]<ref>J.C.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen", Springer (1975)</ref><ref>[http://www.ugr.es/~fmartin/dvi/survey.pdf Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3]</ref><ref name="dierkes">Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. {{ISBN|978-3-642-11697-1}}.</ref><ref><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|title=Enneper's Minimal Surface}}</ref>.

Параметризація Вейєрштрасса–Еннепера дуже проста, <math>f(z)=1, g(z)=z</math>, і дійснозначну параметричну форму можна легко вивести з неї. Поверхня сполучена сама з собою.

Методи імпліцизації [[Алгебрична геометрія|алгебраїчної геометрії]] можна використати, щоб з’ясувати, що точки на поверхні Еннепера, наведені вище, задовольняють [[Многочлен|поліноміальне]] рівняння 9 степеня<math display="block">\begin{align}
& 64 z^9 - 128 z^7 + 64 z^5 - 702 x^2 y^2 z^3 - 18 x^2 y^2 z + 144 (y^2 z^6 - x^2 z^6)\\
& {} + 162 (y^4 z^2 - x^4 z^2) + 27 (y^6 - x^6) + 9 (x^4 z + y^4 z) + 48 (x^2 z^3 + y^2 z^3)\\
& {} - 432 (x^2 z^5 + y^2 z^5) + 81 (x^4 y^2 - x^2 y^4) + 240 (y^2 z^4 - x^2 z^4) - 135 (x^4 z^3 + y^4 z^3) = 0.
\end{align} </math>Подвійно, [[Дотична|дотична площина]] в точці із заданими параметрами є <math>a + b x + c y + d z = 0,\ </math> де<math display="block">\begin{align}
a &= -\left(u^2 - v^2\right) \left(1 + \tfrac{1}{3}u^2 + \tfrac{1}{3}v^2\right), \\
b &= 6 u, \\
c &= 6 v, \\
d &= -3\left(1 - u^2 - v^2\right).
\end{align}</math>Його коефіцієнти задовольняють неявне рівняння полінома 6 степеня<math display="block">\begin{align}
&162 a^2 b^2 c^2 + 6 b^2 c^2 d^2 - 4 (b^6 + c^6) + 54 (a b^4 d - a c^4 d) + 81 (a^2 b^4 + a^2 c^4)\\
&{} + 4 (b^4 c^2 + b^2 c^4) - 3 (b^4 d^2 + c^4 d^2) + 36 (a b^2 d^3 - a c^2 d^3) = 0.
\end{align} </math>Кривизна [[Матриця Якобі|Якобіана]], [[Кривина Гауса|Гауса]] та середня кривина:<math display="block">\begin{align}
 J &= \frac{1}{81}(1 + u^2 + v^2)^4, \\
 K &= -\frac{4}{9}\frac{1}{J}, \\
 H &= 0.
\end{align}</math>[[Варіація повороту кривої|Загальна кривина]] становить <math>-4\pi</math> . Оссерман довів, що повна мінімальна поверхня в <math>\R^3</math> з повним викривленням <math>-4\pi</math> є або [[Катеноїд|катеноїдом]], або поверхнею Еннепера<ref>R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).</ref>.

Інша властивість полягає в тому, що всі бікубічні мінімальні [[Поверхня Безьє|поверхні Безьє]] є частинами поверхні з точністю до [[Афінне перетворення|афінного перетворення]]<ref>Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 {{ISBN|978-3-540-43593-8}}</ref>.

Поврхню можна узагальнити на обертальні симетрії вищого порядку за допомогою параметризації Вейєрштрасса–Еннепера <math>f(z) = 1, g(z) = z^k</math> для цілого k>1<ref name="dierkes"/>. Також можна узагальнити поверхню на вищі виміри; відомо, що еннеперподібні поверхні існують в <math>\R^n</math> для n до 7<ref>Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569</ref>.

== Джерела ==
{{Reflist|2}}

== Ланки ==
* {{Springer|title=Enneper surface|id=p/e035710}}
* https://web.archive.org/web/20130501084413/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
* https://web.archive.org/web/20160919231223/https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html
{{geometry-stub}}
{{Мінімальні поверхні}}
[[Категорія:Алгебричні поверхні]]