Перегляд вихідного коду сторінки Площина

[[Файл:Intersecting planes.svg|thumb|Дві площини, що перетинаються]]
'''Площина́'''&nbsp;— одне з основних понять [[геометрія|геометрії]]. У систематичному викладенні геометрії поняття ''площини'' зазвичай сприймають як первісне, яке лише опосередковано визначається [[аксіома]]ми геометрії. [[Рівняння]] площини вперше трапляється в [[Алексі Клод Клеро|А. К. Клеро]] ([[1731]]), рівняння площини у відрізках, вочевидь, вперше трапяється в Ламе ([[1816]]—[[1818]]), нормальне рівняння увів ([[1861]]).

== Деякі характерні властивості площини ==

* ''Площина''&nbsp;— [[поверхня]], яка повністю містить кожну [[пряма|пряму]], що сполучає її довільні [[точка|точки]];
* ''Площина''&nbsp;— [[множина]] точок, рівновіддалених від двох заданих.

==Площини в тривимірному Евклідовому просторі==

===Визначення на основі точок і прямих, що належать площині===
В [[Евклідів простір|Евклідовому просторі]] будь-якої вимірності площина зазвичай визначається за допомогою:
* Трьох не-[[Колінеарність|колінеарних]] точок (точки не розташовані на одній прямій).
* Прямою і точкою, що не належить цій прямій.
* Двома різними прямими, що перетинаються.
* Двома [[Паралельні прямі|паралельними]] прямими.

===Властивості===
Наступні твердження справедливі для тривимірного Евклідового простору, але не для більших розмірностей, хоча вони мають аналогії за вищих розмірностей:

* Дві різні площини є або паралельними, або перетинаються по [[Пряма|прямій]].
* Пряма може бути або паралельною до площини, або перетинає її в єдиній точці, або вона розташована на площині.
* Дві різні прямі, [[Перпендикулярність|перпендикулярні]] до однієї площини, є паралельними одна до одної.
* Дві різні площини, перпендикулярні до одної прямої, є паралельними одна до одної.

== Рівняння площини ==
''Площина''&nbsp;— [[алгебрична поверхня]] першого порядку: в [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] площина може бути задана [[рівняння]]м першого степеня.

* '''Загальне (повне) рівняння площини'''

: <math>Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)</math>

де <math>A,B,C</math> та <math>D</math>&nbsp;— сталі, при чому <math>A,B</math> і <math>C</math> не всі рівні нулю; у [[вектор]]ній формі:

: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0</math>

де <math>\mathbf{r}</math>&nbsp;— радіус-вектор точки <math>M(x,y,z)</math>, вектор <math>\mathbf{N}=(A,B,C)</math> перпендикулярний до площини ([[Нормаль (геометрія)|нормальний]] вектор). ''[[Напрямні косинуси]]'' вектора <math>\mathbf{N}</math>:
: <math>\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>
: <math>\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>
: <math>\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.</math>

Якщо один з [[коефіцієнт]]ів в рівнянні площини дорівнює нулю, то рівняння називають ''неповним''. За умови <math>D=0</math> площина проходить через [[початок координат]], за <math>A=0</math> (або <math>B=0</math>, <math>C=0</math>) площина паралельна осі <math>Ox</math> (відповідно <math>Oy</math> чи <math>Oz</math>). За <math>A=B=0</math> (<math>A=C=0</math> чи <math>B=C=0</math>) площина паралельна площині <math>Oxy</math> (відповідно <math>Oxz</math> чи <math>Oyz</math>).

* '''Рівняння площини у відрізках:'''

: <math>\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,</math>

де <math>a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C</math>&nbsp;— відрізки, які площина відсікає на осях <math>Ox, Oy</math> і <math>Oz</math>.

* '''Рівняння площини, що проходить через точку''' <math>M(x_0,y_0,z_0)</math> '''перпендикулярно до вектора''' <math>\mathbf{N}(A,B,C)</math>:

: <math>A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;</math>

у векторній формі:

: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.</math>

* '''Рівняння площини, що проходить через три задані точки''' <math>M(x_i,y_i,z_i)</math>, '''які не лежать на одній прямій''':

: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_2}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_3}))=0</math>

(мішаний добуток векторів), іншими словами

: <math>\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.</math>

* '''Нормальне (нормоване) рівняння площини'''

: <math>x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)</math>

у векторній формі:

: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N^0})=0,</math>

де <math>\mathbf{N^0}</math>&nbsp;— [[одиничний вектор]], <math>p</math>&nbsp;— відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник

: <math>\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

(знаки <math>\mu</math> і <math>D</math> протилежні).

== Пов'язані поняття ==
* '''Відхилення точки''' <math>M_1(x_1,y_1,z_1)</math> '''від площини'''

: <math>\delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p;</math>

<math>\delta>0</math>, якщо <math>M_i</math> і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку <math>\delta<0</math>. Відстань від точки до площини дорівнює <math>|\delta|.</math>

* '''Кут між площинами.''' Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то

: <math>\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};</math>

Якщо у векторній формі, то

: <math>\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.</math>

* '''[[Паралельність|Площини паралельні]]''', якщо

: <math>\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}</math> чи <math>[\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=1.</math>

* '''Площини [[перпендикуляр]]ні''', якщо

: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> чи <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>.

* '''[[Пучок (геометрія)|Пучок площин]]'''&nbsp;— рівняння довільної площини, що проходить через лінію перетину двох площин

: <math>\alpha (A_1x+B_1y+C_1z)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z)=0,</math>

де <math>\alpha</math> і <math>\beta</math>&nbsp;— довільні числа, які не одночасно дорівнюють нулю.

== Література ==
* ''Ильин В. А., Позняк Э. Г.'' '''Аналитическая геометрия''' М.: ФИЗМАТЛИТ / 2002&nbsp;р., 240с.
== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Площина|сторінки= 131}}
{{Портал|Математика}}

[[Категорія:Класична геометрія]]
[[Категорія:2 (число)]]