Перегляд вихідного коду сторінки Перша теорема Веєрштрасса

'''Перша теорема Веєрштрасса''' доводить обмеженість неперервної функції на відрізку (замкненому проміжку).

У деяких підручниках цю теорему об'єднують із [[Друга теорема Веєрштрасса|другою теоремою Веєрштрасса]] в одну «'''теорему Веєрштрасса'''»<ref name="abramchuk_page12"/>.

== Формулювання теореми ==
Якщо функція <math>f(x)</math> [[неперервна функція|неперервна]] на [[проміжок|відрізку]] <math>[a, b]</math>, то вона [[Обмежена функція|обмежена]] на цьому проміжку<ref name="kpi_bakun_vm2"/>.

== Доведення ==
Доведемо, що функція <math>f(x)</math> обмежена зверху на проміжку <math>[a, b]</math> (обмеженість знизу доводиться аналогічно)<ref name="kpi_bakun_vm2"/>.

Припустимо протилежне, тобто, що <math>f(x)</math> не є обмеженою на проміжку <math>[a, b]</math>.

Тоді для будь-якого натурального числа <math>n</math> <math>(n=1,2,...)</math> знайдеться хоча б одна точка <math>x_n</math> з проміжку <math>[a, b]</math> така, що <math>f(x_n)>n</math> (інакше <math>f(x)</math> була б обмежена зверху на проміжку <math>[a, b]</math>).

Таким чином, існує послідовність значень <math>x_n</math> з проміжку <math>[a, b]</math> така, що відповідна їй [[послідовність]] значень функції <math>{f(x_n)}</math> є нескінченно великою. Внаслідок [[Теорема Больцано — Веєрштрасса|теореми Больцано — Веєрштрасса]], з послідовності <math>{x_n}</math> можна виділити [[підпослідовність]], яка збігається до точки <math>c</math>, що належить <math>[a, b]</math>. Позначимо цю послідовність символом <math>{x_k}</math>, <math>(k_n)</math> <math>(n=1,2,...)</math>. Внаслідок неперервності функції <math>f(x)</math> у точці <math>c</math> відповідна підпослідовність значень функції <math>{f(x_k)}</math> має збігатися до <math>{f(c)}</math>. Але це неможливо, оскільки підпослідовність <math>{f(x_k)}</math>, яку виділено з послідовності <math>{f(x_n)}</math>, сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

=== Зауваження ===
Для інтервалу (чи півпроміжку) твердження, аналогічне першій теоремі Веєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.

Наприклад, розглянемо функцію <math>f(x)=1/x</math> на інтервалі <math>(0,1)</math>. Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок <math>x_n=1/n</math> <math>(n=2,3,...)</math>, які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції <math>{f(x_n)}={n}</math> є нескінченно великою.

== Див. також ==
* [[Теорема Веєрштрасса — Стоуна]]

== Джерела ==
{{reflist|refs=
<ref name="kpi_bakun_vm2">{{Публікація|книга|назва=Вища математика — 2 |інфо=Навчальний посібник для студентів технічних напрямків підготовки |відповідальний= Укладач: В. В. Бакун |місце=К. |видавництво=НТУУ «КПІ» |рік=2013|
сторінок=270|сторінки=109—110|посилання=http://matan.kpi.ua/public/files/bakun_vm2.pdf}}</ref>

<ref name="abramchuk_page12">{{Публікація|книга|частина=Тема 2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ|посилання частина=https://web.posibnyky.vntu.edu.ua/fmib/8abramchuk_vstup_matemat_analizu_diferen_chislennya/page12.htm|назва=ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ|work=|date=|автор=І. В. АБРАМЧУК, Н. В. САЧАНЮК-КАВЕЦЬКА, Л. І. ПЕДОРЧЕНКО|посилання=https://web.posibnyky.vntu.edu.ua/fmib/8abramchuk_vstup_matemat_analizu_diferen_chislennya/|accessdate=2019-02-07}}</ref>
 
}}

== Література ==
{{Портал|Математика}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.}}

{{Math-stub}}

[[Категорія:Диференціальне числення]]
[[Категорія:Топологія]]
[[Категорія:Теореми в математичному аналізі]]
[[Категорія:1885 у науці]]