Перегляд вихідного коду сторінки Перетворення Фур'є

{{unibox}}'''Перетворення Фур'є'''&nbsp;— [[інтегральне перетворення]] однієї [[Комплекснозначна функція|комплекснозначної функції]] дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з [[перетворення Лапласа|перетворенням Лапласа]] та аналогічне розкладу у [[ряд Фур'є]] для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на [[гармонічне коливання|осциляторні функції]]. Використовується для того, щоб розрахувати [[спектр]] частот для сигналів змінних у часі (як-от [[мова]] або [[електрична напруга]]). Перетворення названо на честь французького математика [[Жан Батист Жозеф Фур'є|Жана Батиста Жозефа Фур'є]], який ввів поняття в [[1822]] році.

== Визначення ==

Перетворення Фур'є [[функція (математика)|функції]] <math> f(t) \,</math> математично визначається як [[комплексне число|комплекснозначна]] функція <math> F(\omega) \,</math>, яка задається [[Інтеграл|інтегралом]]{{Ref|1}}
: <math> F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} dt  </math>

'''Обернене перетворення''' Фур'є задається виразом
: <math> \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t} d\omega = f(t) </math>

== Вступ ==
{{See also|Аналіз Фур'є}}
[[File:Fourier transform time and frequency domains (small).gif|frame|right|У перших кадрах анімації, функція {{mvar|f}} розкладена у ряд Фур'є: лінійну комбінацію синусів і косинусів (синім). Частотні компоненти цих синусів і косинусів розподілені у частотному спектрі представлені як вертикальні піки у частотній області (фактично це [[Дельта-функція Дірака|Дельта-функції Дірака]], що показані в останніх кадрах анімації). Представлення функції у частотній області {{math|''f̂''}} є множиною цих піків із частотами, що показані в розмірності функції.]]

Перетворення Фур'є бере початок із вивчення [[ряд Фур'є|рядів Фур'є]]. При вивченні рядів Фур'є складні, але [[Періодична функція|періодичні функції]] записуються у формі суми простих хвиль, що математично задаються функціями [[синус]]ів і [[косинус]]ів. Перетворення Фур'є є продовженням рядів Фур'є для випадку коли період представленої функції подовжений і може наближатися до нескінченності<ref>{{harvnb|Taneja|2008|p=192}}.</ref>.

Завдяки властивостям синуса і косинуса, за допомогою інтегралу можна отримати амплітуду кожної хвилі ряду Фур'є. У багатьох випадках бажано використовувати [[Формула Ейлера|формулу Ейлера]], яка визначає, що {{math|''e''<sup>2π''iθ''</sup> {{=}} cos(2π''θ'') + ''i'' sin(2π''θ'')}}, із чого випливає, що можна задати ряд Фур'є через елементи базових хвиль {{math|''e''<sup>2π''iθ''</sup>}}. Це дає змогу спростити вираз при розрахунку багатьох формул.

Представлення синусів і косинусів у вигляді комплексних експонент приводить до того, що коефіцієнти Фур'є є комплексними значеннями. Зазвичай це комплексне представлення числа інтерпретують так, що воно описує значення як [[Амплітуда|амплітуду]] (або розмір) хвилі, що є складовою заданої функції, і [[Фаза (коливання)|фазу]] (або початковий кут) хвилі. Ці комплексні експоненти іноді містять від'ємні «частоти». Якщо {{mvar|θ}} вимірюється в секундах, тоді хвилі {{math|''e''<sup>2π''iθ''</sup>}} і {{math|''e''<sup>−2π''iθ''</sup>}} обидві мають один повний цикл довжиною в секунду, але вони задають різні частоти в перетворенні Фур'є. Таким чином, частота більше не задає кількість періодів на одиницю часу, але досі є тісно пов'язаною.

Існує тісний зв'язок між визначенням рядів Фур'є і перетворення Фур'є для функцій {{mvar|f}}, що приймають нульове значення за межами інтервалу. Для таких функцій, ми можемо розрахувати ряд Фур'є на будь-якому інтервалі, що містить точки де {{mvar|f}} не є нульовою. Перетворення Фур'є також визначене для таких функцій. Зі збільшенням довжини інтервалу, на якому ми розраховуємо ряд Фур'є, коефіцієнти ряду Фур'є починають бути схожими на перетворення Фур'є, а сума ряду Фур'є для {{mvar|f}} починає бути схожою на обернене перетворення Фур'є. Аби пояснити це, припустимо, що {{mvar|T}} є достатньо великим, таким, що інтервал {{math|[−{{sfrac|''T''|2}}, {{sfrac|''T''|2}}]}} містить інтервал, у якому {{mvar|f}} не є тотожно нульовою. Тоді {{mvar|n}}-й коефіцієнт ряду {{mvar|c<sub>n</sub>}} задається як:

:<math>c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(x)\, e^{-2\pi i\left(\frac{n}{T}\right) x} \, dx.</math>

Порівнявши це із визначенням перетворення Фур'є, отримаємо що

:<math>c_n = \frac{1}{T}\hat f\left(\frac{n}{T}\right)</math>

оскільки {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} є нульовою за межами {{math|[−{{sfrac|''T''|2}}, {{sfrac|''T''|2}}]}}. Таким чином, коефіцієнти Фур'є є лише значеннями перетворення Фур'є, що задані для сітки шириною в {{math|{{sfrac|1|''T''}}}}, помножені на ширину сітки {{math|{{sfrac|1|''T''}}}}.

При певних умовах, ряд Фур'є для {{mvar|f}} буде дорівнювати функції {{mvar|f}}. Іншими словами, {{mvar|f}} можна записати як:

:<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\, e^{2\pi i\left(\frac{n}{T}\right) x} =\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(\xi_n)\ e^{2\pi i\xi_n x}\Delta\xi,</math>

де остання сума, є першою сумою, яку переписано використовуючи визначення {{math|''ξ<sub>n</sub>'' {{=}} ''{{sfrac|n|T}}''}}, і {{math|Δ''ξ'' {{=}} {{sfrac|''n'' + 1|''T''}} − {{sfrac|''n''|''T''}} {{=}} {{sfrac|1|''T''}}}}.

Таким чином, друга сума є [[Сума Рімана|сумою Рімана]], і тому задавши {{math|''T'' → ∞}} вона збігатиметься до інтеграла, який відповідає оберненому перетворенню Фур'є заданого в розділі визначення. При певних умовах цей аргумент може бути точним<ref name="Stein-Shakarchi-2003">{{harvnb|Stein|Shakarchi|2003}}.</ref>.

При вивченні рядів Фур'є числа {{mvar|c<sub>n</sub>}} можна розглядати як «кількість» присутності хвилі у ряді Фур'є для {{mvar|f}}. Аналогічно, як видно з описаного вище, перетворення Фур'є можна уявити як функцію, що вимірює, наскільки чітко окрема частота присутня в нашій функції {{mvar|f}}, і можна поєднати ці хвилі за допомогою інтегралу (або «неперервної суми») аби відтворити оригінальну функцію.

== Властивості ==

Якщо задані інтегровні функції <math>f(t)</math>, <math>g(t)</math> та <math>h(t)</math> та їхні відповідні перетворення Фур'є <math>\hat{f}(\omega)</math>, <math>\hat{g}(\omega)</math> та <math>\hat{h}(\omega)</math>, тоді самому перетворенню властиво наступне:

; Лінійність
: Для довільних комплексних чисел <math>a</math> та <math>b</math>, якщо <math>h(t)=a f(t)+ b g(t)</math>, тоді   <math>\hat{h}(\omega)=a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot\hat{g}(\omega).</math>
; Трансляція
: Для довільного дійсного числа <math>t_0</math>, якщо <math>h(t)=f(t-t0)</math>, тоді  <math>\hat{h}(\omega)= e^{-i \omega t_0}\hat{f}(\omega).</math>
; Модуляція
: Для довільного дійсного числа <math>\omega_0</math>, якщо <math>h(t)=e^{\omega_0t}f(t)</math>, тоді  <math>\hat{h}(\omega) = \hat{f}(\omega-\omega_{0})</math>.
; Масштабування
: Для не рівного нулю дійсного числа ''a'', якщо <math>h(x)=f(ax)</math>, тоді  <math>\hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Випадок ''a''&nbsp;=&nbsp;−1 призводить до властивості «обернення часу», згідно з якою: якщо <math>h(x)=f(-x)</math>, тоді  <math>\hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi)</math>.
; Спряження
: Якщо <math>h(x)=\overline{f(x)}</math>, тоді  <math>\hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(-\xi)}.</math>
: Зокрема, якщо ''ƒ'' дійсне, тоді має місце «умова дійсності»   <math>\hat{f}(-\xi)=\overline{\hat{f}(\xi)}.</math>
; Згортка
: Якщо <math>h(x)=\left(f*g\right)(x)</math>, тоді  <math> \hat{h}(\xi)=\hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi).</math>

== Перетворення Фур'є узагальнених функцій ==
{{Refimprovesect|дата=вересень 2016}}

Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. Як основний простір вибирають простір гладких швидкоспадних функцій ([[простір Шварца]]):
: <math>S(\mathbb R):=\left\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb R):\forall n,\;m\in\N\;x^n\varphi^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\infty}0\right\}.</math>
Цей простір є [[інваріантний підпростір|інваріантним]] відносно перетворення Фур'є.

Позначимо через <math>S^*(\R)</math> [[спряжений простір]] до <math>S(\R)</math>. Цей підпростір простору всіх [[узагальнена функція|узагальнених функцій]] називається простором узагальнених функцій повільного зростання. Для довільної функції <math>f\in S^*(\R)</math> її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція <math>\hat{f}\in S^*(\R)</math>, яка діє на основні функції за правилом
: <math>\langle\hat{f},\;\varphi\rangle=\langle f,\;\hat{\varphi}\rangle.</math>
Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є [[дельта-функція|дельта-функції]]:
: <math>\langle\hat{\delta},\;\varphi\rangle=\langle\delta,\;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta(\omega),\;\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot e^{-i\cdot 0 \cdot x}\,dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\,dx=\left\langle1,\;\varphi\right\rangle.</math>
Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-функції є константа, у цьому випадку <math>1</math>.

== Перетворення Фур'є функцій багатьох змінних ==
Перетворення Фур'є може бути означене для довільної кількості змінних (вимірів) <math>n</math>:

: <math>\hat{f}(\boldsymbol{\xi}) = \mathcal{F}(f)(\boldsymbol{\xi}) = \int_{\R^n} f(\mathbf{x}) e^{- i (\mathbf{x},\boldsymbol{\xi})} \, d\mathbf{x}</math>

де <math>x</math> and <math>\boldsymbol{\xi}</math>&nbsp;— <math>n</math>-вимірні [[вектор (математика)|вектори]], а <math>(\mathbf{x},\boldsymbol{\xi})</math> позначає [[скалярний добуток]] цих векторів.

== Використання ==
Перетворення Фур'є застосовуються для отримання [[частотний спектр|частотного спектра]] неперіодичної функції, наприклад, електричного [[сигнал]]у, тобто для представлення сигналу у вигляді суми [[гармонічне коливання|гармонічних коливань]]. При цьому використовується властивість [[Згортка (математичний аналіз)|згортки]].

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти [[SETI]] і, відповідно, [[SETI@home]]).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу <math> f(t) </math> має вигляд
: <math> g(t) = \int_0^\infty \alpha(\tau) f(t -\tau) d\tau </math>,

де <math> \alpha(\tau) </math>&nbsp;— певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і яке змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо
: <math> G(\omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{- i\omega t} \int_0^\infty \alpha(\tau) f(t -\tau) d\tau dt
= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{- i\omega t} \int_0^\infty \alpha(\tau) \int_{-\infty}^\infty F(\omega^\prime) e^{i \omega^\prime (t - \tau)} d\omega^\prime  d\tau dt  </math>

Оскільки
: <math> \int_{-\infty}^\infty e^{i (\omega^\prime - \omega )t} dt = 2\pi \delta(\omega^\prime - \omega) </math>,

де <math> \delta(x) </math>&nbsp;— [[дельта-функція Дірака]], інтегрування дає
: <math> G(\omega) =\Alpha(\omega) F(\omega) \,</math>,

де
: <math> \Alpha(\omega) = \int_0^\infty \alpha(\tau)e^{i \omega \tau} </math>.

Важливим висновком із цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи <math> \Alpha(\omega) </math>.

== Таблиця образів деяких функцій ==
{{Refimprovesect|дата=вересень 2016}}

У наступній таблиці <math>F(\omega)</math> и <math>G(\omega)</math> позначають перетворення Фур'є функцій <math>f(t)</math> і <math>g(t)</math>, відповідно. Функцій <math>f</math> і <math>g</math> повинні бути інтегровними або узагальненими функціями.

Як множник при інтегралі у формулі для прямого та зворотного перетворення Фур'є тут вибрано <math>1/\sqrt{2\pi}</math>.
{| border="1" cellspacing=0 cellpadding="5"
! !! Функція !! Образ !! Примітки
|-
| 1 || <math>af(t)+bg(t)\,</math> || <math>aF(\omega)+bG(\omega)\,</math> || Лінійність
|-
| 2 || <math>f(t-a)\,</math> || <math>e^{-i\omega a}F(\omega)\,</math> || Запізнення
|-
| 3 || <math>e^{iat}f(t)\,</math> || <math>F(\omega-a)\,</math> || Частотний зсув
|-
| 4 || <math>f(at)\,</math> || <math>|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\,</math> ||
|-
| 5 || <math>\frac{d^n f(t)}{dt^n}\,</math> || <math>(i\omega)^n F(\omega)\,</math> ||  Перетворення Фур'є похідної
|-
| 6 || <math>t^n f(t)\,</math> || <math>i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\,</math> ||
|-
| 7 || <math>(f*g)(t)\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)\,</math> || Перетворення згортки
|-
| 8 || <math>f(t)g(t)\,</math> || <math>\frac{(F*G)(\omega)}{\sqrt{2\pi}}\,</math> || Зворотнє до 7
|-
| 9 || <math>\delta(t)\,</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,</math> || Перетворення [[Дельта-функція|дельта-функції]] Дірака
|-
| 10 || <math>1\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega)\,</math> || Зворотнє до 9
|-
| 11 || <math>t^n\,</math> || <math>i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)\,</math> || Для <math>n</math>-ї узагальненої похідної дельта-функції
|-
| 12 || <math>e^{iat}\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)\,</math> || Наслідок з 3 і 10
|-
| 13 || <math>\cos(at)\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,</math> ||
|-
| 14 || <math>\sin(at)\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}\,</math> ||
|-
| 15 || <math>\exp(-at^2)\,</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\,</math> || Образ [[Нормальний розподіл|функції Гауса]] <math>\exp(-t^2/2)</math> збігається з оригіналом (функція належить до [[простір Шварца|простору Шварца]])
|-
| 16 || <math>W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)\,</math> || <math>\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)\,</math> ||  [[фільтр низьких частот]], [[прямокутна функція]]
|-
| 17 || <math>\frac{1}{t}\,</math> || <math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,</math> || Тут <math>\sgn(\omega)\,</math>&nbsp;— [[функція знаку]].
|-
| 18 || <math>\frac{1}{t^n}\,</math> || <math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\,</math> ||
|-
| 19 ||<math>\sgn(t)\,</math> || <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\,</math> ||
|-
| 20 || <math>\sqrt{2\pi}\theta(t)\,</math> || <math>\frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)\,</math> || Тут <math>\theta(t)\,</math>&nbsp;— [[Функція Гевісайда]].
|}

== Див. також ==
* [[Ряд Фур'є]]
* [[Змінні Фур'є]]
* [[Перетворення Лапласа]]
* [[Двостороннє перетворення Лапласа]]
* [[Швидке перетворення Фур'є]]
* [[Дискретне перетворення Фур'є]]
* [[Список об'єктів, названих на честь Жозефа Фур'є]]
* [[Спряжені змінні]]

== Примітки ==
{{note|1}} 1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти <math> \omega </math> використовують лінійну частоту <math> \nu </math>, розподіляють множник <math> 1/2\pi </math> порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч2}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* Перетворення Фур'є, Лапласа: узагальнення та застосування: навч.-метод. посіб. [для студентів та аспірантів мех.-мат. і природн. спец. ВНЗ] / Г.&nbsp;П.&nbsp;Лопушанська, А.&nbsp;О.&nbsp;Лопушанський, О. М. М'яус ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка.&nbsp;— Львів: ЛНУ, 2014.&nbsp;— 152 с.&nbsp;— Бібліогр.: с. 147—152 (90 назв).
* Bochner S., Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
* Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.
* Функції комплексної змінної. Перетворення Фур'є та Лапласа : Навч. посіб. для студ. техн. спец. вищ. закл. освіти / Я. І. Дасюк, В. С. Ільків, П. І. Каленюк, П. П. Костробій, З. М. Нитребич; Ін-т змісту і методів навчання. — Л., 1999. — 271 c. — (Математика для інженерів). — Бібліогр.: 20 назв.

== Примітки ==
{{reflist}}
== Посилання ==
{{Портал|Математика}}

* [https://web.archive.org/web/20140407080222/http://talkera.org.cp-in-1.webhostbox.net/wp/?p=89 FFT in Python]
* [http://www.westga.edu/~jhasbun/osp/Fourier.htm Fourier Series Applet]
* [http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/ An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained] {{ref-en}}

{{math-stub}}
{{Методи стиснення даних}}

[[Категорія:Інтегральні перетворення]]
[[Категорія:Перетворення Фур'є]]
[[Категорія:Гармонічний аналіз]]