Перегляд вихідного коду сторінки Перетворення Лоренца

{{unibox}}[[Файл:Inertial frames.svg|thumb|Дві системи відліку, одна з яких рухається зі швидкістю <math> \vec{v} </math> відносно іншої]]
'''Перетворення Лоренца'''&nbsp;— лінійні перетворення координат [[Простір Мінковського|простору Мінковського]], що залишають незмінним [[просторово-часовий інтервал]]. Перетворення Лоренца пов'язують координати [[Подія (теорія відносності)|подій]] в різних [[Інерційна система відліку|інерційних системах відліку]] та мають фундаментальне значення в [[фізика|фізиці]]. Інваріантність фізичної теорії відносно перетворень Лоренца, або [[загальна коваріантність]], є необхідною умовою достовірності цієї теорії.

== Формулювання ==
Найбільш розповсюджена форма запису перетворень Лоренца зв'язує координати [[Подія (теорія відносності)|події]] в інерційній системі відліку ''K'' з координатами тієї ж події в системі ''K′'', яка рухається відносно ''K'' зі швидкістю ''V'' вздовж осі ''x'':

: <math>x' = \frac{x-Vt}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\quad y' = y,\quad z' = z,\quad t' = \frac{t-(V/c^2)x}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}</math>,

: де ''x, y, z, t''&nbsp;— координати події в системі ''K''; ''x′, y′, z′, t′''&nbsp;— координати тієї ж події в системі ''K′''; ''V''&nbsp;— відносна швидкість двох систем; ''c''&nbsp;— [[швидкість світла]].

Зворотні формули (перехід від системи ''K′'' до ''K'') можна отримати заміною ''V&nbsp;→&nbsp;-V'':
: <math>x = \frac{x'+Vt'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\quad y = y',\quad z = z',\quad t = \frac{t'+(V/c^2)x'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}</math>.

== Властивості перетворень Лоренца ==
З формул перетворень легко побачити, що при граничному переході <math>c\to\infty</math> до [[класична механіка|класичної механіки]] або&nbsp;— що те ж саме&nbsp;— при швидкостях значно менших швидкості світла формули перетворення Лоренца переходять в [[перетворення Галілея]] за [[принцип відповідності|принципом відповідності]].

При ''V > c'' координати ''x, t'' стають уявними, що означає той факт, що рух зі швидкістю, більшою за швидкість світла в [[вакуум]]і, неможливий. Неможливо навіть використовувати систему відліку, яка б рухалась зі швидкістю світла, бо тоді знаменники у формулах дорівнювали б нулю.

На відміну від перетворень Галілея, перетворення Лоренца [[Комутативність|некомутативні]]: результат двох послідовних перетворень Лоренца залежить від їхнього порядку. Це можна побачити з формального тлумачення перетворень Лоренца як обертань чотиривимірної системи координат, де, як відомо, результат двох обертань навколо різних осей залежить від порядку їх виконання. Винятком з цього правила є лише перетворення з паралельними [[Вектор (математика)|векторами]] швидкостей '''V'''<sub>1</sub>||'''V'''<sub>2</sub>, які еквівалентні поворотам системи координат відносно однієї осі.

== Історична довідка ==
Поштовхом до відкриття перетворень Лоренца послужив нульовий результат [[інтерференція світла|інтерференційного]] [[експеримент Майкельсона — Морлі|експерименту Майкельсона&nbsp;—&nbsp;Морлі]]. Для усунення виявлених труднощів [[Ефір (фізика)|теорії ефіру]] [[Гендрік Антон Лоренц|Лоренц]] припустив, що всі тіла при поступальному русі змінюють свої розміри, а саме, що зменшення розмірів тіла в напрямку руху визначається множником <math>\varkappa \sqrt{1-v^2/c^2}</math>, де <math>\varkappa</math>&nbsp;— зменшення розмірів в напрямку, перпендикулярному руху тіла. Необхідно було органічно ввести це зменшення розмірів у теорію.

Формули, що відомі зараз як перетворення Лоренца, першим вивів [[Джозеф Лармор]] в [[1900]] році, таким чином він врахував зміну масштабу часу при русі. [[1904]] року Лоренц довів інваріантність [[рівняння Максвелла|рівнянь Максвелла]] відносно таких перетворень, але в них ще входив невизначений множник <math>\varkappa</math> та різні інерційні системи не розглядалися повністю рівноправними.

В [[1905]] [[Анрі Пуанкаре]] виправив прогалини в праці Лоренца та досяг повної [[загальна коваріантність|коваріантності]] електродинаміки. [[Принцип відносності]] був визначений ним як загальне та строге положення. Саме в працях Пуанкаре вперше трапляються назви ''перетворення Лоренца'' та ''група Лоренца''.

== Виведення ==
В рамках основного виведення використовуються чотири аксіоми.

=== Одновимірні покомпонентні перетворення Лоренца для просторової та часової компонент ===
{{Hider|
  title = Одновимірні покомпонентні перетворення Лоренца для просторової та часової компонент. |
  hidden =1 |
  content =
Нехай функції перетворень між результатами спостерігання деякої події у різних ІСВ <math>\ K, K'</math> із відносною швидкістю <math> \mathbf u = const</math> для одновимірного випадку задаються як

<math>\ x' = f(x, u, t), \quad t' = g(x, u, t) \qquad (.0)</math>. 

Враховуючи те, що '''простір-час однорідний''' [1] (якісно - кожна точка пустого простору-часу нічим не відрізняється від інших точок), можна стверджувати, що всі геометричні співвідношення між геометричними об'єктами не змінюються в залежності від вибору точки початку координат ІСВ. Це означає, що функції <math>\ (0)</math> будуть лінійними функціями своїх аргументів, причому коефіцієнти при аргументах будуть залежати лише від відносної швидкості ІСВ:

<math>\ x' = Ax + Bt + const_{1}, \quad t' = Cx + Dt + const_{2} \qquad (.0.1)</math>.
{{Hider|
  title = Доведення. |
  hidden =1 |
  content =
Нехай є бескінечно мале зміщення <math>\ dx'</math> у системі <math>\ K'</math>. Відповідне зміщення <math>\ dx</math> системи <math>\ K</math> буде рівне <math>\ dx</math>, а проміжок часу, що відповідає зміщенню - <math>\ dt</math>. 

Тоді для функції координати (для функції часу - аналогічно)

<math> dx' = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial u} du = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt </math>.

Оскільки простір-час однорідний, то зміщення <math>dx'</math> не повинно залежати від точки простору-часу, а отже, <math>\ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial t}</math> є однаковими для всіх точок простору та усіх моментів часу <math>\ \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial t} = const \right)</math>, а отже, є постійними при заданій відносній швидкості. Отже, їх можна у записі функції <math>\ f(x, u, t)</math> представити у вигляді коефіцієнтів, які можуть залежати лише від відносної швидкості (оскільки функція <math>\ f = f(x, u, t)</math> залежить лише від координати, часу та відносної швидкості ІСВ):

<math>\ x' = Ax + Bt + const_{1}, t' = Cx + Dt + const_{2}</math>,

де

<math>\ A = A(u), \quad B = B(u), \quad C = C(u), \quad D = D(u)</math>.
{{Hider|
  title = Більш глибоке доведення. |
  hidden =1 |
  content =
Нехай, знову ж таки, 

<math>\ x' = f(x, t), \quad t' = g(x, t) \Rightarrow dx' = f'_{x}dx + f'_{t}dt, \quad dt' = g'_{x}dx + g'_{t}dt</math>,

де <math>\ f'_{k}, g'_{k}</math> - похідні від функцій по аргументу k. Тоді швидкість деякого цільового тіла в ІСВ А', відносно якої кінематичні характеристики відповідають значенням <math>\ x', t'</math>, рівна 

<math>\ v' = \frac{dx'}{dt'} = \frac{f'_{x}dx + f'_{t}dt}{g'_{x}dx + g'_{t}dt} = \frac{f'_{x}v + f'_{t}}{g'_{x}v + g'_{t}}</math>.

Якщо вважати, що швидкість постійна (це можна зробити, оскільки функції <math>\ f, g</math> не залежать від неї), та використати ідею однорідності простору-часу, то швидкість як функція від <math>\ f', g'</math> не залежить від <math>\ x, t</math>. Тоді, беручи частинні похідні по <math>\ x, t</math> від виразу для швидкості, можна отримати:

<math>\ \frac{\partial v'}{\partial x} = \frac{f''_{xx}v + f''_{xt}}{g'_{x}v + g'_{t}} - \frac{(g''_{xx}v + g''_{xt})(f'_{x}v + f'_{t})}{(g'_{x}v + g'_{t})^{2}} = \frac{f''_{xx}v^{2}g'_{x} + f''_{xx}vg'_{t} + f''_{xt}g'_{x}v + f''_{xt}g'_{t} - g''_{xx}f'_{x}v^{2} - g''_{xx}vf'_{t} - g''_{xt}f'_{x}v - g''_{xt}f'_{t}}{(g'_{x}v + g'_{t})^{2}} = 0 \Rightarrow </math>

<math>\ \Rightarrow v^{2}(f''_{xx}g'_{x} - g''_{xx}f'_{x}) + v(f''_{xx}g'_{t} + f''_{xt}g'_{x} - g''_{xx}f'_{t} - g''_{xt}f'_{x}) + f''_{xt}g'_{t} - g''_{xt}f'_{t} = 0</math>.

Далі, знову ж таки, можна використати ідею довільності швидкості <math>\ v</math> без зменшення загальності отриманих виразів і занулити її. Звідси

<math>\ f''_{xt}g'_{t} = g''_{xt}f'_{t} \qquad (.0.2)</math>, 

<math>\ f''_{xx}g'_{t} + f''_{xt}g'_{x} = g''_{xx}f'_{t} + g''_{xt}f'_{x} \qquad (.0.3)</math>,

<math>\ f''_{xx}g'_{x} = g''_{xx}f'_{x} \qquad (.0.4)</math>.

Аналогічно, для похідної виразу <math>\ v'</math> по часу, можна записати:

<math>\ \frac{\partial v'}{\partial t} = \frac{v^{2}(f''_{xt}g'_{x} - g''_{xt}f'_{x}) + v(f''_{xt}g'_{t} + f''_{tt}g'_{x} - g''_{xt}f'_{t} - g''_{tt}f'_{x}) + f''_{tt}g'_{t} - g''_{tt}f'_{t}}{(g'_{x}v + g'_{t})^{2}} = 0 \Rightarrow </math>

<math>\ \Rightarrow f''_{xt}g'_{x} = g''_{xt}f'_{x} \qquad (.0.5)</math>, 

<math>\ f''_{xt}g'_{t} + f''_{tt}g'_{x} = g''_{xt}f'_{t} + g''_{tt}f'_{x} \qquad (.0.6)</math>, 

<math>\ f''_{tt}g'_{t} = g''_{tt}f'_{t} \qquad (.0.7)</math>.

Якщо відняти від <math>\ (.0.3) (.0.5)</math>, а від <math>\ (.0.6)</math> - <math>\ (.0.2)</math>, можна отримати:

<math>\ f''_{xx}g'_{t} = g''_{xx}f'_{t} \qquad (.0.8)</math>,

<math>\ f''_{tt}g'_{x} = g''_{xx}f'_{x} \qquad (.0.9)</math>.

Домноживши <math>\ (.0.2)</math> на <math>\ f'_{t}</math>, а <math>\ (.0.8)</math> - на <math>\ f'_{x}</math>, і після цього віднявши ці вирази, і аналогічно - з домноженням <math>\ (.0.7)</math> на <math>\ f'_{x}</math> і <math>\ (.0.9)</math> - на <math>\ f'_{t}</math>, можна отримати, що

<math>\ f''_{xx}g'_{t}f'_{x} - g''_{xx}f'_{t}f'_{x} - f''_{xx}g'_{x}f'_{t} + g''_{xx}f'_{x}f'_{t} = f''_{xx}(g'_{t}f'_{x} - g'_{x}f'_{t}) = 0</math>,

<math>\ f''_{tt}g'_{t}f'_{x} - g''_{tt}f'_{t}f'_{x} - f''_{tt}g'_{x}f'_{t} + g''_{xx}f'_{t}f'_{x} = f''_{tt}(g'_{t}f'_{x} - g'_{x}f'_{t}) = 0</math>.

Вирази у дужках відповідають якобіанам, які не можуть бути рівними нулю. Звідси <math>\ f''_{tt} = f''_{xx} = 0</math>. Використовуючи ці рівності і вирази <math>\ (.0.2)-(.0.7)</math>, можна отримати умови рівності нулю всіх інших частинних похідних другого порядку. Звідси слідує, що перетворення-функції <math>\ f(x, t), g(x, t)</math> повинні бути лінійними.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
При нульовому значенні <math>\ t, t'</math> виконується наступна умова:

<math>\ t = t' = 0 \Rightarrow x = x' = 0</math>,

тобто, при початку відліку часу початки координат ІСВ збігаються. Це означає рівність нулю констант у <math>\ (.0.1)</math>, причому загальність перетворень зменшена не буде (через однорідність простору-часу):

<math>\ x' = Ax + Bt, \quad t' = Cx + Dt \qquad (.1)</math>.

Тоді система <math>\ K</math> буде рухатися відносно точки <math>\ x' = 0 </math> зі зміною координати у <math>\ x = ut</math>, а точка <math>\ x'</math> буде рухатися відносно системи <math>\ x = 0</math> зі зміною координати у <math>\ x' = -ut'</math>. Якщо підставити дані значення у <math>\ (.1)</math>, можна знайти величини <math>\ A, B, C, D</math>:

<math>
\begin{cases}
    0 =  Aut + Bt \Rightarrow B = -Au \qquad (.2) \\
    t' = Cx + Dt \\
\end{cases}
</math>,

<math>
\begin{cases}
    -ut' = Bt \Rightarrow B = -\frac{ut'}{t} = -uD \qquad (.3) \\
    t' = Dt \Rightarrow \frac{t'}{t} = D \\
\end{cases}
</math>.

З <math>\ (.2), (.3)</math> можна дійти висновку, що <math>\ A = D</math>. Можна ввести функції відносних швидкостей:

<math>\ \gamma (u) = A, \quad \sigma (u) = - \frac{C}{D}</math>.

Тоді <math>\ (.1)</math> прийме вигляд:

<math>
\begin{cases}
    x' = \gamma (u)[x - ut] \\
    t' = \gamma (u)[t - \sigma (u)x] \\
\end{cases}
\qquad (.4)</math>.

Для визначення виду функцій треба ввести додаткову аксіоматику.

Нехай '''інерціальні системи відліку рівноправні''' [2]. Це означає, що перехід від <math>\ K</math> до <math>\ K'</math> у <math>\ (4)</math> буде таким же, як і від <math>\ K'</math> до <math>\ K</math>, і обернене перетворення буде відрізнятися від прямого з точністю до знака відносної швидкості <math>\ u-> -u</math>. Тоді можна розглянути три ІСВ <math>\ K_{1}, K_{2}, K_{3}</math>, причому <math>\ u_{K_2, K_1} = u_{1}, u_{K_3, K_2} = u_{2}</math>. Тоді <math>\ (.4)</math> для перетворень між ІСВ прийме вигляд:

<math>
\begin{cases}
    x_{2} = \gamma_{1}[x_{1} - u_{1}t_{1}] \\
    t_{2} = \gamma_{1}[t_{1} - \sigma_{1}x_{1}] \\
 \end{cases}
</math>,

<math>
\begin{cases}
    x_{3} = \gamma_{2}[x_{2} - u_{2}t_{2}] = \gamma_{2}\left[\gamma_{1}(x_{1} - u_{1}t_{1}) - u_{2}\gamma_{1}(t_{1} - \sigma_{1}x_{1})\right] = \gamma_{1}\gamma_{2}\left[x_{1}(1 + u_{2} \sigma_{1}) - t_{1}(u_{1} + u_{2})\right] = \gamma_{3}[x_{1} - u_{3}t_{1}] \\
    t_{3} = \gamma_{2}[t_{2} - \sigma_{2}x_{2}] = \gamma_{2}\left[\gamma_{1}(t_{1} - \sigma_{1} x_{1}) - \sigma_{2}\gamma_{1}(x_{1} - u_{1}t_{1})\right] = \gamma_{2} \gamma_{1}\left[t_{1}(1 + \sigma_{2} u_{1}) + x_{1}(\sigma_{1} + \sigma_{2})\right] =  \gamma_{3} [t_{1} - \sigma_{3}x_{1}]\\
 \end{cases}
\qquad (.5)</math>.

Тоді, якщо прирівняти у другому рівнянні <math>\ (5)</math> <math>\ \gamma_{3}</math> до <math>\ \gamma_{2} \gamma_{1}[t_{1}(1 + \sigma_{2} u_{1})]</math> та у першому рівнянні <math>\ \gamma_{3}</math> до <math>\ \gamma_{1}\gamma_{2}[(1 + u_{2} \sigma_{1})]</math>, то можна отримати, що

<math>\ 1 + \sigma_{2} u_{1} = 1 + u_{2} \sigma_{1} \Rightarrow \frac{\sigma_{1}}{u_{1}} = \frac{\sigma_{2}}{u_{2}} = \alpha = const</math>.

Тоді, відповідно до принципа рівноправності ІСВ, можна записати, користуючись <math>\ (4)</math>:

<math>\ x = \gamma (-u) [x' + ut'] = \gamma(-u)[\gamma (u)(x - ut) + \gamma (u)(t - \sigma (u)x)u] = \gamma (-u) \gamma (u)x(1 - u \sigma(u)) = </math>

<math>\ = \gamma (-u)\gamma (u)x(1 - \alpha u^{2}) \Rightarrow \gamma (-u)\gamma (u) = \frac{1}{1 - \alpha u^{2}}  \qquad (.6)</math>.

Накінець, якщо ввести '''принцип ізотропії простору в ІСВ''' [3], то можна стверджувати, що при інверсіях системи координат <math>\ ( x -> -x</math>, <math>\ x' -> -x', u -> -u )</math> перетворення <math>\ (.4)</math> не змінять вигляду. Тоді

<math>\ -x' = \gamma (-u)(-x + ut)</math>,

з чого видно, що при повторній інверсії цей вираз перейде у початковий (до першої інверсії) тільки за умови, що <math>\ \gamma (u)</math> є парною функцією швидкості, тобто, справджується рівність <math>\ \gamma (-u) = \gamma (u)</math>. Тому, застосовуючи <math>\ (.6)</math>, можна буде отримати:

<math>\ \gamma (u) = \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha u^{2}}}</math>.

Очевидно, що <math>\ \alpha</math> буде мати розмірність квадрату швидкості в -1 степені, а от знак цієї константи можна отримати лише експериментально. Експеримент же показує, що знак цієї константи додатній, а отже,

<math>\ \gamma (u) = \sqrt{ \frac{1}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} }</math>,

Тоді <math>\ (.4)</math> приймуть вигляд

<math>\ x' =  \frac{x - ut}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t' = \frac{t - \frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \qquad (.7)</math>,

тобто, вигляд одновимірних перетворень Лоренца для координат.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

=== Чотиривимірні покомпонентні перетворення Лоренца ===
{{Hider|
  title = Чотиривимірні покомпонентні перетворення Лоренца. |
  hidden =1 |
  content =
Якщо узагальнити перетворення Лоренца на випадок тривимірного простору, причому <math>\ \mathbf u = (u, 0, 0)</math>, то вигляд <math>\ (.0)</math> зміниться до

<math>\ x' = f(x, y, z, t), \quad y' = g(x, y, z, t), \quad z' = F(x, y, z, t), \quad t' = G(x, y, z, t)</math>.

Використовуючи міркування, наведені у попередньому підрозділі, можна дійти висновку, що при збігові початку координат при початку відліку функції зв'язку координат <math>\ g, F</math> при переході між ІСВ набудуть вигляду

<math>\ y' = A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1}t, \quad z' = A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2}t \qquad (.8)</math>.

Нехай далі для першої рівності розглядається точка <math>\ y' = 0 \Rightarrow y = 0</math>, а для другої - <math>\ z' = 0 \Rightarrow z = 0</math> (знову ж таки, через умову однорідності простору-часу загальність функцій через вибір особливих значень координат не зменшується). Тоді рівності

<math>\ 0 = A_{1}x + C_{1}z + D_{1}t, \quad 0 = A_{2}x + B_{2}y + D_{2}t</math>

повинні виконуватись для будь-яких <math>\ x, y, z, t</math>. Це означає, що 

<math>\ A_{1} = C_{1} = D_{1} = A_{2} = B_{2} = D_{2} = 0</math>, 

а отже, <math>\ (.8)</math> набуде вигляду 

<math>\ y' = Ky, \quad z' = Kz \Rightarrow y = \frac{1}{K}y', \quad z = \frac{1}{K}z'</math>.

причому <math>\ B_{1} = C_{2}</math> як наслідок рівноправності координат <math>\ y, z</math> відносно умови <math>\ \mathbf u = (u, 0, 0)</math>.

Отримані рівності зв'язку штрихованих і нештрихованих координат можна спростити, використавши принцип рівноправності ІСВ. Оскільки ІСВ рівноправні, то відносна зміна <math>\ K</math> повинна бути рівна <math>\ \frac{1}{K}</math>, звідки <math>\ K = +/- 1</math>. Обирається варіант <math>\ K = 1</math>, оскільки при <math>\ K = -1</math> формальний перехід від одної ІСВ до такої ж самої призводив би до інверсії осей. 

Отже, <math>\ y' = y, \quad z' = z</math>. Таким чином, при русі по осі <math>\ O_{x}</math> компоненти <math>\ y, z</math> не змішуються одна з одною, а також - з <math>\ x, t</math>, і перетворюються окремо. Це означає також, що коефіцієнти при <math>\ y, z</math> у виразах для <math>\ x', t'</math> рівні нулю. З цього, накінець, слідує, що за описаних вище умов

<math>\ x' = \gamma (x - ut), \quad y' = z, \quad z' = z, \quad t' = \gamma \left(t - \frac{ux}{c^{2}}\right) \qquad (.9)</math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

=== Перетворення Лоренца для радіус-вектора ===
{{Hider|
  title = Перетворення Лоренца для радіус-вектора. |
  hidden =1 |
  content =
У довільному випадку, коли радіус-вектор не співнапрямлений з вектором відносної швидкості двох ІСВ, можна отримати більш загальний вигляд перетворень Лоренца, розклавши радіус-вектор на вектор, що паралельний вектору відносної швидкості, та вектор, що перпендикулярний вектору відносної швидкості. Тоді, використовуючи те, що, як слідує з минулого пункту, ортогональні по відношенню до вектора відносної швидкості компоненти радіус-вектора переходять самі у себе, можна отримати:

<math>\ \mathbf r = \mathbf r_{||} + \mathbf r_{\perp}, \qquad \mathbf r_{\perp}' = \mathbf r_{\perp}, \qquad \mathbf r_{||}' = \frac{\mathbf r_{||} - \mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t' = \frac{t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r_{||})}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}</math>,

і

<math>\ t' = \frac{t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} }{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \gamma (t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}}) \qquad (.10)</math>, 

<math>\ \mathbf r' = \mathbf r_{\perp}' + \mathbf r_{||}' = \mathbf r - \mathbf r_{||} + \frac{\mathbf r_{||} - \mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \mathbf r - \mathbf r_{||} + \frac{ \mathbf r_{||}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} - \frac{\mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \left| \Gamma = \frac{\gamma - 1}{\frac{u^{2}}{c^{2}}} \right| = \mathbf r + \mathbf r_{||}(\gamma - 1) - \gamma \mathbf u t = \mathbf r + \Gamma\mathbf r_{||}\frac{u^{2}}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t = </math>

<math>\ = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t \qquad (.10)</math>,

які є перетвореннями Лоренца для радіус-вектора. 
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

=== Інтервал. Геометричний зміст перетворень Лоренца ===
{{Hider|
  title = Інтервал. |
  hidden =1 |
  content =
З отриманих перетворень Лоренца елементарно вивести інваріантність величини

<math>\ c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} = c^{2} \Delta t'^{2} - \Delta x'^{2}</math>,

яка називається '''[[Просторово-часовий інтервал|інтервалом]]''' <math>\ \Delta S</math> (звичайно, його можна записати і у вигляді нескінченно малих приростів).
{{Hider|
  title = Виведення. |
  hidden =1 |
  content =
Для доведення достатньо розписати праву частину у явному вигляді, використовуючи перетворення Лоренца:

<math>\ c^{2} \Delta t'^{2} - \Delta x'^{2} = \frac{(t_{2} - \frac{u x_{2}}{c^2} - (t_{1} - \frac{u x_{1}}{c^2}))^{2} - (x_{2} - ut_{2} - (x_{1} - ut_{1}))^{2}}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{c^{2}\Delta t^{2} - 2u\Delta t \Delta x + \frac{ u^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2} - \Delta x^{2} + 2u\Delta x \Delta t + u^{2}\Delta t^{2} }{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = </math>

<math>\ = \frac{c^{2}\Delta t^{2} - u^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} + \frac{u^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2}}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{(c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2})(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2}</math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
Інтервал має зміст відстані між подіями у чотиривимірному просторі-часі. Знак інтервала визначає тип цієї відстані.

Якщо дві події причинно пов'язані, то, приймаючи швидкість розповсюдження «події» рівною <math>\ U</math>, можна записати вираз для інтервалу таким чином:

<math>\ dS^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = |dx^2 - dy^2 - dz^2 = U^2dt^2| = dt^{2}(c^2 - U^{2}) = c^{2}dt^{2}(1 - \frac{U^{2}}{c^{2}}) \geqslant 0</math>,

тобто, квадрат інтервалу завжди додатній. Відповідний інтервал називають часоподібним. Отриманий вираз є квадратом власного часу «події», який є інваріантним відносно будь-якої ІСВ (поняття власного часу тісно пов'язано з принципом найменшої дії).

Якщо ж дана умова не виконується, то інтервал називають простороподібним, і він виражає умову роз'єднаності в просторі подій при їх причинній незалежності.
{{Hider|
title = Геометричний зміст перетворень Лоренца. |
hidden =1 |	
content =		
Інтервал <math>\ S</math>, який є модулем 4-вектора, компонентами якого є просторовими та часовими координатами - інваріант. При переході від однієї ІСВ до іншої інваріантом його залишають або паралельні переноси, або кручення базиса. Паралельні переноси лише зміщують початок координат, тому не є інтересними. Тоді залишаються лише кручення базиса, які у загальному вигляді при переході від ІСВ А до ІСВ А' можна представити так:

<math>\ x = x' ch(\Psi) + ct' sh(\Psi) \qquad (1)</math>,
	
<math>\ ct = x'sh(\Psi) + ct' ch(\Psi) \qquad (2)</math>.
	
Звичайно, вирази <math>\ (1), (2)</math> залишають величину інтервалу <math>\ S</math> інваріантною:
	
<math>\ x^{2} - c^{2}t^{2} = x'^{2}ch^{2}(\Psi) + 2x'ct'ch(\Psi)sh(\Psi) + c^{2}t'^{2}sh^{2}(\Psi) - x'^{2}sh^{2}(\Psi) - 2x'ct'ch(\Psi)sh(\Psi) - c^{2}t'^{2}ch^{2}(\Psi) = </math>
	
<math>\ (x'^{2} - c^{2}t'^{2})(ch^{2}(\Psi) - sh^{2}(\Psi)) = x'^{2} - c^{2}t'^{2}</math>.
{{Hider|
title = Доведення вірності даного вигляду перетворень Лоренца. |
hidden =1 |	
content =	
Якщо розташувати ІСВ А' на початку координат (тобто, <math>\ x' = 0</math>) та розділити <math>\ (1)</math> на <math>\ (2)</math>, можна отримати:
	 	
<math>\ \frac{x}{ct} = \frac{u}{c} = th(\Psi) \Rightarrow sh(\Psi) = \frac{u}{c \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, ch(\Psi) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \qquad (3)</math>.
	 	
Застосовуючи <math>\ (3)</math> до <math>\ (1), (2)</math>, можна отримати:
	 	
<math>\ x = \frac{x' + \frac{ct'u}{c}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \frac{x' + t'u}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, y = y', z = z',
	 	
t = \frac{ \frac{x'u}{c^{2}} + t'}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \qquad (4)</math>. 
	
Вираз (4) є виразом для перетворень Лоренца просторової та часової координат.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
Отже, узагальнюючи написане, можна стверджувати, що з набору аксіом, які були використані при виведенні перетворень Лоренца, слідує, що ми живемо у локально псевдоевклідовому просторі розмірності <math>\ 3 + 1</math>, причому інтервал набуває також змісту довжини 4-векторів у такому просторі.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

=== Перетворення Лоренца для швидкості. Інваріантність фундаментальної швидкості та максимальність швидкості розповсюдження взаємодії ===
{{Hider|
  title = Перетворення Лоренца для швидкості. Інваріантність фундаментальної швидкості та максимальність швидкості розповсюдження взаємодії. |
  hidden =1 |
  content =
Якщо продиференціювати вирази <math>\ (.9)</math> та розділити перший вираз на останній, можна отримати

<math>\ \frac{dx'}{dt'} = v'_{x} = \frac{ (\frac{dx}{dt} - \frac{dt}{dt}u)\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{(\frac{dx}{dt}\frac{u}{c^{2}} - \frac{dt}{dt})\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \frac{u - v_{x}}{1 - \frac{uv_{x}}{c^{2}}} \qquad (.11)</math>, 

<math>\ \frac{dy',z'}{dt'} = v'_{y,z} = \frac{ \frac{dy,z}{dt} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{\frac{dt}{dt} - \frac{dx}{dt} \frac{u}{c^{2}}} = \frac{v_{y,z}\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}}} \qquad (.11)</math>,

що є перетвореннями Лоренца для компонент швидкості.

Якщо продиференціювати вирази <math>\ (.10)</math> та розділити другий вираз на перший, можна отримати

<math> \mathbf v' = \frac{\mathbf v + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u}{\gamma (1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}})}  \qquad (.12)</math>,

що є перетвореннями Лоренца для вектора швидкості.
{{Hider|
  title = З <math>\ (.11)</math> напряму слідує інваріантність швидкості, що рівна <math>\ c</math>, відносно будь-якої ІСВ. |
  hidden =1 |
  content =
Для доведення цього доцільно розглянути дві ІСВ <math>\ A, A'</math>, у яких тіло має швидкість <math>\ {u_{0}}_{{u_{0}}_{x}, {u_{0}}_{y}, {u_{0}}_{z}}, {u_{1}}_{{u_{1}}_{x}, {u_{1}}_{y}, {u_{1}}_{z}}</math> відповідно, причому вектор швидкостей, для спрощення, у обох випадках орієнтований по осі <math>\ x</math>. Тоді, відповідно до перетворень Лоренца, при переході до ІСВ <math>\ A'</math>, що рухається зі швидкістю <math>\ u</math> відносно ІСВ <math>\ A</math>, компоненти швидкості змінюються таким чином:

<math>\ {u_{1}}_{x} = \frac{{u_{0}}_{x} - u}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}} \qquad (.13)</math>;

<math>\ {u_{1}}_{y} = \frac{{u_{0}}_{y}}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} \qquad (.14)</math>;

<math>\ {u_{1}}_{z} = \frac{{u_{0}}_{z}}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} \qquad (.15)</math>.

Оскільки

<math>\ u_{0}^{2} = {u_{0}}_{x}^{2} + {u_{0}}_{y}^{2} + {u_{0}}_{z}^{2} = c^{2}</math>,

<math>\ u_{1}^{2} = {u_{1}}_{x} ^{2} + {u_{1}}_{y} ^{2} + {u_{1}}_{z} ^{2} \qquad (.16)</math>,

то, з урахуванням <math>\ (.13)-(.15)</math> і початкових припущень, вираз <math>\ (.16)</math> можна переписати:

<math>\ u_{1}^{2} = {u_{1}}_{x} ^{2} \Rightarrow u_{1} = {u_{1}}_{x} = \frac{{u_{0}}_{x} - u}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}}</math>.

Тоді можна виразити швидкість <math>\ u_{1}</math>:

<math>\ u_{1} = \frac{{c^{2} (u_{0}}_{x} - u)}{c^{2} - {u_{0}}_{x} u} =  \frac{c^{2} (c - u)}{c(c - u)} = c</math>,

з чого видно, що швидкість <math>\ c</math> інваріантна відносно будь-якої ІСВ.

Аналогічно можна отримати даний результат у більш загальному випадку для модуля вектора швидкості світла. Нехай у перетвореннях для вектора швидкості <math>\ \mathbf v = \mathbf c</math>. Тоді, взявши модуль від перетворення для вектора швидкості і об'єднавши, у отриманій підкореневій рівності, перший доданок з останнім, другий - з четвертим, а третій - з п'ятим, можна отримати 

<math>\ | \mathbf v ' | = \sqrt{(\mathbf v' \cdot \mathbf v' )} = \frac{1}{\gamma \left( 1 - \frac{( \mathbf u \cdot \mathbf v )}{c^{2}} \right)}\sqrt{\mathbf v^{2} + 2 \frac{\Gamma}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf v )^{2} - 2\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf v) + \frac{\Gamma^{2}}{c^{4}}u^{2}(\mathbf u \cdot \mathbf v )^{2} - 2\frac{\Gamma \gamma }{c^{2}}u^{2}(\mathbf u \cdot \mathbf v ) + \gamma^{2}u^{2} } = </math>

<math>\ = |\mathbf u = \mathbf c | = \frac{1}{\gamma \left( 1 - \frac{( \mathbf u \cdot \mathbf c )}{c^{2}} \right)} \sqrt{c^{2}\left( 1 + \gamma^{2}\frac{u^{2}}{c^{2}}\right) - 2\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf c ) \left( 1 + \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) + \frac{\Gamma}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf c )\left( 2 + \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)} = </math>

<math>\ = \left| 1 + \gamma^{2}\frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma^{2}, \quad 2 + \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} = 1 + \gamma = \frac{1 + \gamma}{\gamma^{2}}\gamma^{2} = \frac{\gamma^{2}}{\Gamma}, \quad 1 + \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma \right| = \frac{\gamma}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c)}{c^{2}}\right)}\sqrt{c^{2} - 2 (\mathbf u \cdot \mathbf c) + \frac{1}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf c )^{2}} = </math>

<math>\ = c\frac{\sqrt{1 - 2\frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c)}{c^{2}} + \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c)}{c^{4}}}}{1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c )}{c^{2}}} = c</math>,

що й треба було довести.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
Наступна аксіома&nbsp;— '''принцип причинності''' [4], який накладає умови на максимальність швидкості розповсюдження взаємодії. Нехай подія, що відбулася в т. <math>\ x_{2}</math>, є наслідком події, що відбулася в т. <math>\ x_{1}</math>, швидкість розповсюдження взаємодії даної події є <math>\ U</math>. Тоді, в ІСВ K,

<math>\ \frac{x_{2} - x_{1}}{U} = t_{2} - t_{1} \Rightarrow x_{2} - x_{1} = (t_{2} - t_{1})U \qquad (.17)</math>.

Якщо ж записати для ІСВ К' <math>\ (.9)</math>, то, з урахуванням принципа причинності, можна буде отримати:

<math>\ t_{2}' - t_{1}' = \frac{t_{2} - t_{1} - \frac{u}{c^{2}}(x_{2} - x_{1})}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = | (.17) | = \frac{(t_{2} - t_{1})(1 - \frac{uU}{c^{2}})}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \geqslant 0 \Rightarrow 1 - \frac{uU}{c^{2}} \geqslant 0 \Rightarrow U \leqslant c </math>,

з чого видно, що швидкість <math>\ c</math> є максимальною швидкістю розповсюдження взаємодії (<math>\ u < c</math>, оскільки інакше перетворення Лоренца були б комплексними).

Залишається лише припустити, що величина <math>\ c</math> чисельно рівна швидкості світла у вакуумі (підстави вибрати за цю константу саме швидкість світла у вакуумі були отримані, в основному, історично&nbsp;— через теорію Максвелла та досліди Майкельсона-Морлі).

Якщо ж додати принцип абсолютності одночасності подій відносно різних ІСВ, можна буде отримати класичні перетворення Галілея:

<math>\ \Delta t = 0 \Rightarrow \Delta t' = \frac{\Delta t - \frac{\Delta x u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \Delta t = 0 \Rightarrow c = \infty \Rightarrow  x' = x - ut</math>,

а отже, якщо класична механіка сформульована без протиріч, то релятивістська&nbsp;— також, оскільки вони базуються на однаковому наборі аксіом.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

=== Перетворення Лоренца для сили ===
{{Hider|
  title = Перетворення Лоренца для сили. |
  hidden =1 |
  content =
У рамках СТВ загальний вираз для вектора сили дається похідною від вектора імпульсу:

<math>\ \mathbf F = \frac{d \mathbf p}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{m \mathbf v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}) = \frac{m \frac{d \mathbf v}{dt}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} + m \mathbf v \frac{d \mathbf v}{dt}\frac{d}{d \mathbf v}(\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}})}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{m \frac{d \mathbf v}{dt}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} + \frac{m \mathbf v (\mathbf v \cdot \frac{d \mathbf v}{dt})}{c^{2}(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} \qquad (.18)</math>.

Для величини <math>\ \frac{d \mathbf v}{dt}</math> не вводиться ніякого позначення, оскільки у релятивістській фізиці, як видно із <math>\ (.18)</math>, вона не може бути названою прискоренням, виходячи із визначення сили як <math>\ \mathbf F = m \mathbf a</math>.

Сила, як 3-вектор, не є інваріантною у рамках СТВ. Для визначення закону зв'язку векторів сили відносно спостерігачів у ІСВ <math>\ K, K'</math> для сили, вектор якої співнапрямлений з вектором відносної швидкості ІСВ (який задає вісь <math>\ O_{x}</math>), треба послідовно знайти диференціали

<math>\ dE' = \frac{dE - dp_{x}u}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad dp_{x}' = \frac{dp_{x} - \frac{dE u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \qquad (.19)</math>.

Для початку, похідна від енергії по часу рівна

<math>\ \frac{dE}{dt} = (\mathbf F \cdot \mathbf v)</math>.
{{Hider|
  title = Виведення. |
  hidden =1 |
  content =
<math>\ \frac{dE}{dt} = \frac{d \mathbf v}{dt} \frac{d}{d \mathbf v} \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{d \mathbf v}{dt} \frac{m \mathbf v}{(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} = \frac{d \mathbf v}{dt} \frac{m \mathbf v - m \mathbf v \frac{v^{2}}{c^{2}} + m \mathbf v \frac{v^{2}}{c^{2}}}{(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} = \frac{m (\mathbf v \cdot \mathbf a)}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} + \frac{m v^{2} (\mathbf v \cdot \mathbf a)}{c^{2}(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} = (\mathbf F \cdot \mathbf v)</math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
Далі треба знайти власний час частинки, інваріантний відносно будь-якої ІСВ. В принципі, вираз для нього уже був отриманий при аналізі інтервалу причинно пов'язаних подій, але доцільно буде отримати інше виведення. Для цього можна записати перетворення Лоренца для часу:

<math>\ \sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}dt' = \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt \qquad (.20)</math>.
{{Hider|
  title = Виведення. |
  hidden =1 |
  content =
<math>\ dt' = \gamma \left(dt - \frac{u dx}{c^{2}}\right) = \gamma (1 - \frac{vu}{c^{2}})dt = \left| \gamma \left(1 - \frac{vu}{c^{2}}\right) = \sqrt{\frac{c^{2} - v^{2}}{c^{2} - v'^{2}}} \right| = \sqrt{\frac{c^{2} - v^{2}}{c^{2} - v'^{2}}} dt \Rightarrow \sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}dt' = \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt </math>.

Проміжне перетворення <math>\ \gamma \left(1 - \frac{vu}{c^{2}}\right) = \sqrt{\frac{c^{2} - v^{2}}{c^{2} - v'^{2}}} </math> було отримано так (приймається, що вісь <math>\ O_{x}</math> співнапрямлена з вектором відносної швидкості ІСВ):

<math>\ v'^{2} = v_{x}'^{2} + v_{y}'^{2} + v_{z}'^{2} = \frac{v^{2} + u^{2} - 2v_{x}u - (v_{y}^{2} + v_{z}^{2})\frac{u^{2}}{c^{2}}}{(1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}})^{2}} \Rightarrow v'^{2} - c^{2} = \frac{v^{2} + u^{2} - 2v_{x}u - (v_{y}^{2} + v_{z}^{2})\frac{u^{2}}{c^{2}}}{(1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}})^{2}} - c^{2} =</math>

<math> = \frac{v^{2} + u^{2} - 2v_{x}u - (v_{y}^{2} + v_{z}^{2})\frac{u^{2}}{c^{2}} - c^{2} + 2v_{x}u - \frac{v_{x}u}{c^{2}}}{(1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}})^{2}} = \frac{v^{2} + u^{2} - \frac{v^{2}u^{2}}{c^{2}} - c^{2} - \frac{v_{x}^{2}u^{2}}{c^{2}}}{(1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}})^{2}} = \frac{c^{2}(\frac{u^{2}}{c^{2}} - 1) + v^{2}(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})}{(1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}})^{2}} = </math>

<math>\ = \frac{(v^{2} - c^{2})(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})}{(1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}})^{2}} \Rightarrow 1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}} = \frac{(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})}{(1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}})^{2}} </math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
Якщо розділити <math>\ (.19) </math> на <math>\ (.20) </math>, можна буде отримати перетворення Лоренца для компонент сили:

<math>\ \frac{(\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v) - F_{x}u}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>,

<math>\ \frac{F_{x}'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{F_{x} - \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v) u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>.
{{Hider|
  title = Виведення. |
  hidden =1 |
  content =
<math>\ \frac{dE'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}dt'} = \frac{(\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{dE - dp_{x}u}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} = \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v) - F_{x}u}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \Rightarrow \frac{(\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v) - F_{x}u}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} </math>,

<math>\ \frac{dp_{x}'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}dt'} = \frac{F_{x}'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{dp_{x} - \frac{dE u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} = \frac{F_{x} - \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v) u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \Rightarrow \frac{F_{x}'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{F_{x} - \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v) u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

Векторними перетвореннями сили при переході між ІСВ є, аналогічно до перетворень вектора швидкості як похідній по часу від перетворень радіус-вектора, похідна від виразу для перетворення вектора імпульсу по власному часу:

<math>\ \frac{d \mathbf p'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}dt'} = \frac{d \mathbf p - \gamma \frac{\mathbf u dE}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot d \mathbf p)}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} \Rightarrow \frac{\mathbf F'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{\mathbf F - \gamma \frac{\mathbf u (\mathbf F \cdot \mathbf v)}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F)}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} </math>.

Обернене перетворення має такий вигляд:

<math>\ \frac{\mathbf F}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{\mathbf F' + \gamma \frac{\mathbf u (\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F')}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} \Rightarrow | \frac{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf u)}{c^{2}}} | \Rightarrow \frac{\mathbf F \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf u)}{c^{2}}} = \mathbf F' + \gamma \frac{\mathbf u (\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F')}{c^{2}}</math>.

Аналогічно з інтервалом та 4-вектором енергії-імпульсу, для сили є власний 4-вектор з компонентами, які отримуються шляхом диференціювання компонент 4-вектора енергії-імпульса по власному часу:

<math>\ f^{\mu} = \frac{dp^{\mu}}{ds} = \frac{dp^{\mu}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} = \frac{(\frac{dE}{c}, dp_{x}, dp_{y}, dp_{z})}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} = \left(\frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v)}{c\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad \frac{F_{x}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad \frac{F_{y}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad \frac{F_{z}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)</math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

== Форми запису перетворень Лоренца ==

=== Матричний запис перетворень Лоренца ===
Часто, особливо в англомовній літературі, перетворення Лоренца записують у вигляді [[матриця повороту|матриці повороту]] ||Λ<sup>α′</sup><sub>β</sub>||, що переводить компоненти 4-вектора x<sup>β</sup> системи ''K'' в компоненти 4-вектора x<sup>α′</sup>&nbsp;=&nbsp;Λ<sup>α′</sup><sub>β</sub>x<sup>β</sup>, системи ''K′'':

: <math>
\begin{bmatrix}ct' \\x' \\y' \\z'\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}} &-\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}} & 0 & 0\\
-\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}} &\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}} &0 &0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}
</math>.


=== Формули перетворень Лоренца з довільною орієнтацією осей систем ===
У випадку коли осі ''x'' координатних систем не паралельні швидкості формули перетворення були отримані Герглотцем у [[1911]] році. Для виводу цих формул зручно розділити [[радіус-вектор]] частки '''r''' в системі ''K'' на компоненту '''r<sub>||</sub>''', яка паралельна швидкості '''V''' відносного руху інерціальних систем, та компоненту '''r<sub>⊥</sub>''', яка перпендикулярна '''V'''. Тоді при переході до іншої системи ''K′'' буде змінюватись тільки паралельна складова '''r<sub>||</sub>''':

: <math>\mathbf{r_\|'}=\frac{\mathbf{r_\|}-\mathbf{V}t}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\quad \mathbf{r_\perp'}=\mathbf{r_\perp},\quad t'=\frac{t-(\mathbf{V,r_\|})/c^2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}</math>

Остаточно для радіус-вектора частки в системі ''K′'' '''r′'''&nbsp;=&nbsp;'''r′<sub>||</sub>'''&nbsp;+&nbsp;'''r′<sub>⊥</sub>''' формули будуть виглядати так:

: <math>\mathbf{r'} = \mathbf{r} + \frac{1}{V^2}\left( \frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}-1 \right)(\mathbf{r,V})\mathbf{V} - \frac{\mathbf{V}t}{\sqrt{1-V^2/c^2}}</math>,

: <math>t'=\frac{t-(1/c^2)(\mathbf{r,V})}{\sqrt{1-V^2/c^2}}</math>.

=== Гіперболічна форма запису ===
З математичного погляду [[просторово-часовий інтервал|інтервал]] між двома подіями (''(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²-(cΔt)²'') можна розглядати як аналог «відстані» між двома точками в чотиривимірному [[Простір Мінковського|просторі Мінковського]]. Отже, згідно з визначенням, перетворення Лоренца мають зберігати незмінним будь-який інтервал у цьому просторі. Лінійними перетвореннями з такими властивостями є лише паралельні переноси та обертання системи координат. Паралельні переноси та обертання в площинах ''xy, yz, zx'' зводяться до переносу початку відліку простору та часу і звичайних [[Обертання (математика)|просторових поворотів]]. Останні (повороти системи координат у трьох площинах ''tx, ty, tz'') і є перетвореннями Лоренца.

Якщо ввести «кут повороту» ψ, такий що

: <math>\text{sh}\,\psi=\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}, \quad \text{ch}\,\psi=\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}</math>,

то перетворення Лоренца для систем ''K'' та ''K′'' із паралельними осями можна записати в гіперболічній формі:

: ''ct′'' = -''x'' shψ + ''ct'' chψ,

: ''x′'' = ''x'' chψ&nbsp;— ''ct'' shψ,

: ''y′'' = ''y'',

: ''z′'' = ''z''.

Ці формули відрізняються від звичних формул перетворення координат при поворотах (в евклідовому просторі) заміною [[Тригонометричні функції|тригонометричних]] функцій [[Гіперболічні функції|гіперболічними]]. У цьому виявляються відмінність [[Псевдоевклідів простір|псевдоевклідового]] простору Мінковського від звичайного [[Евклідів простір|евклідового]].

== Перетворення Лоренца для електромагнітного поля ==
Релятивістські перетворення для компонент векторів <math>\ \mathbf E , \mathbf B </math> тензора електромагнітного поля при переході від однієї ІСВ до іншої у псевдоевклідовому просторі-часі:

<math>\ \mathbf E' = \gamma \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E )</math>,

<math>\ \mathbf B' = \gamma \left( \mathbf B - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf B )</math>,

де <math>\ \mathbf u = const</math> - вектор відносної швидкості між ІСВ,

<math>\ \Gamma = \frac{\gamma^{2}}{1 + \gamma} = \frac{\gamma - 1}{\frac{u^{2}}{c^{2}}}</math>.

Перетворення можна отримати, маючи вираз для сили Лоренца та вираз для перетворення 3-вектора сили при переході між ІСВ:

<math>\ \mathbf F = q \mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf v \times \mathbf B ] \qquad (.1)</math>.

<math>\ \frac{\mathbf F}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}}\right)} = \mathbf F' - \gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf v' \cdot \mathbf F' ) + \Gamma \frac{\mathbf u }{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) \qquad (.2)</math>.

Із перетворень видно, що вектори напруженості та індукції не є компонентами будь-яких 4-векторів, а входять до деякого антисиметричного 4-тензору (перетворення саме такого вигляду можна отримати у рамках СТВ для антисиметричних тензорів).

=== Отримання перетворень для напруженості електричного поля ===
{{Hider|
  title = Перетворення Лоренца для напруженості електричного поля. |
  hidden =1 |
  content =
В силу принципу відносності вибір ІСВ не може позначитися на загальності перетворень, що були отримані для переходу між обраними ІСВ. Це дозволяє спростити вирази, наприклад, для перетворення 3-вектора сили при переході до нової ІСВ.

Нехай у ІСВ А пробний заряд покоїться, <math>\ \mathbf v = 0</math>. Тоді у ІСВ А', що рухається із швидкістю <math>\ \mathbf u</math>, заряд має швидкість <math>\ \mathbf v' = - \mathbf u</math>. Тоді, використовуючи <math>\ (.2)</math>, можна записати:

<math>\ \frac{\mathbf F}{\gamma} = \mathbf F' - \gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) = \mathbf F' + (\mathbf u \cdot \mathbf F' )\frac{\mathbf u}{c^{2}}(\Gamma - \gamma) = \left| \Gamma = \frac{\gamma^{2}}{1 + \gamma} \right| = \mathbf F' - (\mathbf u \cdot \mathbf F' )\frac{\mathbf u}{c^{2}}\frac{\gamma}{1 + \gamma} = \mathbf F' - \frac{\Gamma}{\gamma}\frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' )</math>.

Звідси слідує, що

<math>\ \mathbf F = \gamma \mathbf F' - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) \qquad (.3)</math>.

З урахуванням того, що відносно ІСВ А сила <math>\ \mathbf F</math>, що діє на пробний заряд <math>\ q</math>, рівна

<math>\ \mathbf F = q\mathbf E</math>,

а відносно ІСВ А' ця ж сила рівна

<math>\ \mathbf F' = q \mathbf E' - \frac{q}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]</math>,

можна перетворити <math>\ (.3)</math>:

<math>\ q \mathbf E = q\left[\gamma \left( \mathbf E' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) - \Gamma \frac{u}{c^{2}} (\mathbf u \cdot \mathbf E' )\right]</math>,

де враховано, що <math>\ (\mathbf u \cdot [\mathbf u \times \mathbf B ]) = 0</math> у доданку при <math>\ \Gamma</math>.

Отже,

<math>\ \mathbf E = \gamma \left( \mathbf E' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E') \qquad (.4)</math>,

що і є шуканим перетворенням Лоренца для вектора напруженості електричного поля.

Обернене перетворення отримується шляхом замін

<math>\ \mathbf u -> -\mathbf u , \quad \mathbf E' -> \mathbf E , \quad \mathbf E -> \mathbf E' \quad \quad \mathbf B' -> \mathbf B</math>:

<math>\ \mathbf E' = \gamma \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E ) \qquad (.5)</math>.
{{Hider|
  title = Доведення. |
  hidden =1 |
  content =
Нехай, навпаки,

<math>\ \mathbf v = \mathbf u , \quad \mathbf v' = 0, \quad \mathbf F' = q\mathbf E' , \quad \mathbf F = q \mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]</math>.

Тоді вираз <math>\ (.2)</math> набуде вигляду:

<math>\ \frac{\mathbf F}{\gamma \left( 1 - \frac{\mathbf u^{2}}{c^{2}}\right)} = \frac{\gamma^{2}\mathbf F}{\gamma} = \gamma \mathbf F = \mathbf F' + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F') \Rightarrow \gamma \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) = \mathbf E' + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F') \Rightarrow \left| (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf E ) \right| \Rightarrow </math>

<math>\ \Rightarrow \mathbf E' = \gamma \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E)</math>.

Проміжний вираз <math>\ (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf E )</math> був отриманий із виразу <math>\ (.4)</math> наступним чином:

<math>\ (\mathbf u \cdot \mathbf E ) = \gamma (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) - \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E) \Rightarrow (\mathbf u \cdot \mathbf E ) = \frac{\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf E')}{1 + \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}} = \left| \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma - 1 \right| = \frac{\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf E')}{\gamma} = (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) \qquad (.6)</math>.

З цього виразу, окремо, слідує інваріантність продольної (до вектора швидкості пробного заряду) компоненти напруженості поля. Дійсно, напруженість поля не залежить від швидкості пробного заряду, а отже, вибір <math>\ \mathbf v = 0</math> не обмежує загальності <math>\ (.6) </math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

Якщо вибрати орієнтацію осей ІСВ таким чином, що <math>\ \mathbf u = (u, 0, 0)</math>, то <math>\ (.5)</math> зручно також розписати покомпонентно. Дійсно,

<math>\ \mathbf E' = \gamma \mathbf E + \frac{1}{c}\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u & 0 & 0 \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{vmatrix} - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}uB_{x} = \gamma (E_{x}, E_{y}, E_{z}) + \frac{1}{c}(0, -uB_{z}, uB_{y}) - \Gamma \frac{u}{c^{2}}B_{x}(u, 0, 0) = </math>

<math>\ = \left(\left(\gamma - \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}}\right)E_{x}, \gamma \left(E_{y} - \frac{u}{c}B_{z}\right), \gamma \left(E_{z} + \frac{u}{c}B_{y} \right)\right) = \left| \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma - 1 \right| = \left(E_{x}, \gamma \left( E_{y} - \frac{u}{c}B_{z}\right), \gamma \left( E_{z} + \frac{u}{c}B_{y}\right)\right) \qquad (.7)</math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

=== Перетворення Лоренца для вектора індукції магнітного поля ===
{{Hider|
  title = Перетворення Лоренца для індукції магнітного поля. |
  hidden =1 |
  content =
Маючи перетворення для напруженості електричного поля, можна знайти перетворення для індукції магнітного поля. Це не є випадковістю, оскільки індукція визначається через швидкість ІСВ і напруженість електричного поля.

Для початку, вираз <math>\ (.5)</math> можна домножити зліва на швидкість ІСВ <math>\ \mathbf u</math>, після чого - підставити зправа вираз <math>\ (.4)</math>. Тоді

<math>\ \mathbf B = \gamma \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf B' \cdot \mathbf u ) \qquad (.8)</math>.
{{Hider|
  title = Доведення. |
  hidden =1 |
  content =
<math>\ [\mathbf u \times \mathbf E' ] = \gamma [\mathbf u \times \mathbf E ] + \frac{\gamma }{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B ]] = \left| (.4) \right| = \gamma^{2}[\mathbf u \times \mathbf E' ] - \frac{\gamma^{2}}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B' ]] + \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B ]] \Rightarrow </math>

<math>\ \Rightarrow (\gamma^{2} - 1)[\mathbf u \times \mathbf E' ] - \frac{\gamma^{2}}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B' ]] + \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B ]] = \left| \gamma^{2} - 1 = \frac{u^{2}}{c^{2}}\gamma^{2} \right| = \frac{u^{2}}{c^{2}}\gamma^{2}[\mathbf u \times \mathbf E' ] - \frac{\gamma^{2}}{c}\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) + \gamma^{2}\frac{u^{2}}{c}\mathbf B' + \frac{\gamma}{c}\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf B ) - \gamma \frac{u^{2}}{c}\mathbf B = 
</math>

<math>\ = \left| (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf B ), \quad 1 - \gamma = -\Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} \right| = \frac{u^{2}}{c}\gamma^{2} \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) + (1 - \gamma)\gamma\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) - \frac{u^{2}}{c}\gamma\mathbf B = 0 \Rightarrow </math>

<math>\ \Rightarrow \frac{u^{2}}{c}\gamma \mathbf B = \frac{u^{2}}{c}\gamma^{2} \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) - \Gamma \gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}\frac{\mathbf u}{c}(\mathbf B' \cdot \mathbf u ) \Rightarrow \mathbf B = \gamma \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf B' \cdot \mathbf u )</math>.

Проміжний вираз <math>\ (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf B )</math> можна вивести наступним чином.

Нехай <math>\ (\mathbf u \cdot \mathbf v ) = 0</math>. Перетворення <math>\ (.2)</math> матиме вигляд:

<math>\ \mathbf F = \gamma \mathbf F' - \gamma^{2}\frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf v' \cdot \mathbf F' ) + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F')</math>.

Якщо його векторно домножити зліва на <math>\ \mathbf u</math>, то зправа залишаться лише один доданок:

<math>\ [\mathbf u \times \mathbf F ] = \gamma [\mathbf u \times \mathbf F']</math>.

Тоді, використовуючи вираз <math>\ (.4)</math>, [[перетворення Лоренца]] для вектора швидкості за цієї умови і вирази для сил <math>\ \mathbf F , \mathbf F'</math>, можна записати:

<math>\ \mathbf v' = \frac{\mathbf v + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf v) - \gamma \mathbf u}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}} \right)} = \frac{\mathbf v}{\gamma} - \mathbf u \qquad (.9)</math>.

Тоді зліва можна буде отримати

<math>\ q[\mathbf u \times \mathbf E ] + \frac{q}{c}[\mathbf u \times [\mathbf v \times \mathbf B ]] = \left| (.4) \right| = q\left[ \mathbf u \times \left( \gamma (\mathbf E' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B' ]) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E' ) \right)\right] + \frac{q}{c}[\mathbf u \times [\mathbf v \times \mathbf B ]]</math>,

а зправа, використовуючи <math>\ (.9)</math>,

<math>\ =  q\gamma [\mathbf u \times \mathbf E' ] + \frac{q\gamma }{c}\left[\mathbf u \times \left[\left( \frac{\mathbf v}{\gamma} - \mathbf u \right) \times \mathbf B \right]\right] \Rightarrow \gamma [\mathbf u \times \mathbf E'] - \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B']] + \frac{1}{c}[ \mathbf u \times [\mathbf v \times \mathbf B ]] = \gamma [\mathbf u \times \mathbf E' ] + \frac{1}{c}[\mathbf u \times [ \mathbf v \times \mathbf B' ]] - \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B']] </math>.

Прирівнявши ліву і праву частини, можна буде отримати, що

<math>\ \Rightarrow \frac{1}{c}\mathbf v (\mathbf u \cdot \mathbf B ) - \frac{1}{c}\mathbf B (\mathbf u \cdot \mathbf v) = \frac{1}{c}\mathbf v (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) - \frac{1}{c}\mathbf B' (\mathbf u \cdot \mathbf v ) \Rightarrow (\mathbf u \cdot \mathbf B   ) = (\mathbf u \cdot \mathbf B')</math>.

Цей вираз, знову ж таки, означає інваріантність продольної (по відношенню до вектора швидкості заряда) компоненти вектора магнітної індукції при перетвореннях Лоренца.
|
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
Аналогічно до перетворень із напруженістю електричного поля, із <math>\ (.8)</math> можна отримати:

<math>\ \mathbf B' = \gamma \left(\mathbf B - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf B \cdot \mathbf u ) \qquad (.10)</math>.

Прийнявши <math>\ \mathbf u = (u, 0, 0)</math>, <math>\ (.10)</math> можна розписати покомпонентно:

<math>\ \mathbf B' = \gamma \mathbf B - \frac{\gamma}{c}(0, -uE_{z}, uE_{y}) - \frac{\Gamma}{c^{2}}(u, 0, 0)uB_{x} = \left( B_{x}\left(\gamma - \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}\right), \gamma \left( B_{y} + \frac{u}{c}E_{z}\right), \gamma \left( B_{z} - \frac{u}{c}E_{y}\right)\right) = </math>

<math>\ = \left( B_{x}, \gamma \left( B_{y} + \frac{u}{c}E_{z}\right), \gamma \left( B_{z} - \frac{u}{c}E_{y}\right)\right) \qquad (.11)</math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

=== Інваріанти перетворень Лоренца для полів та їх зміст ===
{{Hider|
  title = Інваріанти перетворень Лоренца електромагнітного поля. |
  hidden =1 |
  content =
Використовуючи <math>\ (.7), (.11)</math>, можна показати інваріантність наступних виразів:

<math>\ (\mathbf E' \cdot \mathbf B' ), \quad \mathbf E'^{2} - \mathbf B'^{2}</math>.
{{Hider|
  title = Доведення першого виразу. |
  hidden =1 |
  content =
<math>\ (\mathbf E' \cdot \mathbf B' ) = E_{x}B_{x} + E_{y}B_{y} + E_{z}B_{z} = E_{x}B_{x} + \gamma^{2}\left( E_{y} - \frac{u}{c}B_{z}\right)\left( B_{y} + \frac{u}{c}E_{z} \right) + \gamma^{2}\left( E_{z} + \frac{u}{c}B_{y}\right)\left( B_{z} - \frac{u}{c}E_{y} \right) = </math>

<math>\ = E_{x}B_{x} + E_{y}B_{y}\gamma^{2}\left(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}} \right) + E_{z}B_{z}\gamma^{2}\left(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}} \right) + \frac{u}{c}\gamma^{2}E_{y}E_{z} - \frac{u}{c}\gamma^{2}B_{y}B_{z} - \frac{u}{c}\gamma^{2}E_{y}E_{z} + \frac{u}{c}\gamma^{2}B_{y}B_{z} = (\mathbf E \cdot \mathbf B ) = inv</math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
{{Hider|
  title = Доведення другого виразу. |
  hidden =1 |
  content =
<math>\ \mathbf E'^{2} - \mathbf B'^{2} = (\mathbf E' - \mathbf B' )(\mathbf E' + \mathbf B') = ( \left[ E_{x} - B_{x}, \gamma \left( E_{y} - B_{y} - \frac{u}{c}(B_{z} + E_{z}) \right), \gamma \left( E_{z}  - B_{z} + \frac{u}{c}(E_{y} + B_{y})\right) \right]  \cdot </math>

<math>\ \cdot \left[ E_{x} + B_{x}, \gamma \left( E_{y} + B_{y} + \frac{u}{c}(E_{z} - B_{z})\right), \gamma \left( E_{z} + B_{z} + \frac{u}{c}(B_{y} - E_{y})\right) \right] ) = </math>

<math>\ = E_{x}^{2} - B_{x}^{2} + \gamma^{2}E_{y}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) - \gamma^{2}B_{y}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) + \gamma^{2}E_{z}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) - \gamma^{2}B_{z}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) + </math>

<math>\ + \gamma^{2}\frac{u}{c}\left[ E_{y}E_{z} - E_{y}B_{z} - 2E_{z}B_{y} + B_{y}B_{z} - E_{y}B_{z} - E_{y}E_{z} - B_{y}B_{z} + 2E_{z}B_{y} - E_{y}E_{z} - B_{y}B_{z} + E_{y}B_{z} + E_{y}E_{z} + E_{y}B_{z} + B_{y}B_{z} \right] = </math>

<math>\ = \mathbf E^{2} - \mathbf B^{2} = inv</math>.<math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math><math>\ </math>
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

Розглядаючи ці інваріанти, можна зробити декілька важливих висновків.

1. Якщо <math>\ \mathbf B^{2} > \mathbf E^{2}, \mathbf E \bot \mathbf B</math>, то можна вибрати ІСВ таку, що у ній <math>\ \mathbf E' = \mathbf 0, \mathbf B' \neq \mathbf 0</math> (нуль-вектор ортогональний будь-якому вектору). Це значно спрощує розв'язок рівнянь Максвелла і аналіз динаміки заряджених тіл у полі. Якщо ж друга умова не виконується, то вибрати таку ІСВ неможливо.

2. Аналогічно, якщо <math>\ \mathbf B^{2} < \mathbf E^{2}, \mathbf E \bot \mathbf B</math>, можна вибрати ІСВ таку, що у ній <math>\ \mathbf B' = \mathbf 0, \mathbf E' \neq \mathbf 0</math>.

3. Якщо у деякій ІСВ <math>\ \mathbf B = \mathbf 0, \mathbf E \neq \mathbf 0</math>, то при переході до іншої ІСВ, у загальному випадку, буде як електричне, так і магнітне поля, причому вектори індукції магнітного поля і напруженості електричного поля будуть ортогональними.

4. Плоска хвиля, для якої <math>\ \mathbf E \bot \mathbf B , |\mathbf E | = |\mathbf B | </math>, залишається такою у будь-якій ІСВ.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}

== Перетворення Лоренца для загального поля ==
Довільні стани невзаємодіючої багачастинкової системи ([[Стан Фока|стани Фока]]) у КТП перетворюються за правилом<ref>{{harvnb|Weinberg|2002|loc=Chapter 3}}</ref>

{{NumBlk|:
 |<math>\begin{align}
         &U(\Lambda, a) \Psi_{p_1\sigma_1 n_1; p_2\sigma_2 n_2; \cdots} \\
    = {} &e^{-ia_\mu \left[(\Lambda p_1)^\mu + (\Lambda p_2)^\mu + \cdots\right]}
            \sqrt{\frac{(\Lambda p_1)^0(\Lambda p_2)^0\cdots}{p_1^0 p_2^0 \cdots}}
            \left( \sum_{\sigma_1'\sigma_2' \cdots} D_{\sigma_1'\sigma_1}^{(j_1)}\left[W(\Lambda, p_1)\right] D_{\sigma_2'\sigma_2}^{(j_2)}\left[W(\Lambda, p_2)\right] \cdots \right)
            \Psi_{\Lambda p_1 \sigma_1' n_1; \Lambda p_2 \sigma_2' n_2; \cdots},
  \end{align}</math>
 | {{EquationRef|1}}
}}
де: {{math|''W''(Λ, ''p'')}} — поворот Вігнера і {{math|''D''<sup>(''j'')</sup>}} — {{nowrap|{{math|(2''j'' + 1)}}-вимірне}} представлення [[SO(3)|{{math|SO(3)}}]].

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==
* [[Група Лоренца]]

== Література ==
* Ландау Л. Д., Лифшиц Е.&nbsp;М.&nbsp;Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II Теория поля.&nbsp;— М.: Наука, 1988. ISBN 5-02-014420-7.
* Паули В. Теория относительности.&nbsp;— М.: Наука, 1991. ISBN 5-02-014346-4.

{{Теорія відносності}}
[[Категорія:Спеціальна теорія відносності]]