Перегляд вихідного коду сторінки Перетворення Ганкеля

{{unibox}}У [[Математика|математиці]] '''перетворення Ганкеля (Ханкеля)''' виражає будь-яку дану функцію <math>f(r)</math> як зважену суму нескінченної кількості [[Функції Бесселя|функцій Бесселя першого роду]] <math>J_{\nu}(kr)</math>. Всі функції Бесселя в сумі мають однаковий порядок <math>\nu</math>, але відрізняються коефіцієнтом масштабування <math>k</math> вздовж осі <math>r</math>''.'' Необхідний коефіцієнт {{Math|''F<sub>ν</sub>''}} кожної функції Бесселя в сумі, як функція коефіцієнта масштабування <math>k</math>'','' визначає перетворювану функцію. Перетворення Ганкеля є [[Інтегральне перетворення|інтегральним перетворенням]] і було вперше отримано математиком Германом Ганкелем. Воно також відоме як перетворення Фур'є-Бесселя. Подібно до того, як [[перетворення Фур'є]] для нескінченного інтервалу пов'язане з [[Ряд Фур'є|рядом Фур'є]] над скінченним інтервалом, так і перетворення Ганкеля над нескінченним інтервалом пов'язане з рядом Фур'є-Бесселя над скінченим інтервалом.

== Визначення ==
'''Перетворення Ганкеля''' порядку <math>\nu</math> функції <math>f(r)</math> задається формулою

: <math>f(r) = \int_0^\infty F_\nu(k) J_\nu(kr) \,k\,\mathrm{d}k,</math>

де <math>J_\nu</math> —  [[Функції Бесселя|функція Бесселя]] першого роду порядку <math>\nu</math> при <math>\nu \geq -\frac{1}{2}</math>. Обернене перетворення Ганкеля <math>F_{\nu}(k)</math> визначається формулою

: <math>\int_0^\infty |f(r)|\,r^{\frac{1}{2}} \,\mathrm{d}r < \infty.</math>

яку можна легко перевірити, використовуючи співвідношення ортогональності, описане нижче.

=== Область визначення ===
Існування оберненого перетворення Ганкеля функції <math>f(r)</math> справедливо для кожної точки, в якій <math>f(r)</math> неперервна, за умови, що функція визначена на <math>(0;\infty)</math>, є кусково неперервною й обмеженої варіації на будь-якому скінченому підінтервалі в <math>(0;\infty)</math> та

: <math>h_\nu(k) = \int_0^\infty g(r) J_\nu(kr) \,\sqrt{kr}\,\mathrm{d}r.</math>

Однак, як і для перетворення Фур'є, область може бути розширена на області всюди щільного аргументу, щоб включити деякі функції, для яких вищенаведений інтеграл не є скінченим, наприклад <math>f(r) = (1 + r)^{-3/2}</math>.

=== Альтернативні означення ===
За альтернативним означенням перетворення Ганкеля для функції <math>g(r)</math> це<ref>{{Cite book
|url=https://archive.org/details/hilbertspacesofe0000debr
|title=Hilbert spaces of entire functions
|last=Louis de Branges
|year=1968
|publisher=Prentice-Hall
|location=London
|page=[https://archive.org/details/hilbertspacesofe0000debr/page/189 189]
|isbn=978-0133889000
}}</ref>

: Якщо <math>g(r) = f(r) \sqrt r</math>, то <math>h_\nu(k) = F_\nu(k) \sqrt k.</math>

Ці два означення пов'язані між собою:

: <math>g(r) = \int_0^\infty h_\nu(k) J_\nu(kr) \,\sqrt{kr}\,\mathrm{d}k.</math>

Це означає, що, як в першому означенні, перетворення Ганкеля тут є оберненим до самого себе:

: <math>\int_0^\infty |g(r)| \,\mathrm{d}r < \infty,</math>

На області визначення виконується умова

: <math>\int_0^\infty f(r) g(r) \,r\,\mathrm{d}r = \int_0^\infty F_\nu(k) G_\nu(k) \,k\,\mathrm{d}k.</math>

Отже, перетворення Ганкеля можна розширити на ширший клас функцій. Відповідно до наведеного вище посилання, якщо взяти інтеграл як границю з верхньою межею, що прямує до нескінченності ([[невласний інтеграл]], а не [[інтеграл Лебега]]), то перетворення Ганкеля та відповідне обернене перетворення визначені для всіх функцій з простору [[Простір Lp|L <sup>2</sup>]]<math>(0;\infty)</math>.

== Перетворення рівняння Лапласа ==
Перетворення Ганкеля може бути використано для перетворення та розв’язання [[рівняння Лапласа]], записаного в циліндричних координатах. Під дією перетворення Ганкеля, оператор Бесселя домножується на <math>-q^2</math>.<ref>{{Cite book
|title=The transforms and applications handbook
|url=https://archive.org/details/transformsapplic0000unse_d5u6
|last=Poularikas, Alexander D.
|date=1996
|publisher=CRC Press
|location=Boca Raton Fla.
|isbn=0-8493-8342-0
|oclc=32237017
}}</ref> В осесиметричному випадку рівняння з частинними похідними набуває вигляду

: <math>\mathcal{H}_0 \left\{ \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac 1 r \frac{\partial u}{\partial r} 
+ \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2} \right\} = -q^2 U + \frac{\partial^2}{\partial z^2} U,</math>

що є звичайним диференціальним рівнянням відносно перетвореної змінній <math>U</math>.

== Ортогональність ==
Функції Бесселя утворюють [[ортогональний базис]] з ваговим коефіцієнтом <math>r</math>:<ref>{{Cite journal|last=Ponce de Leon|first=J.|year=2015|title=Revisiting the orthogonality of Bessel functions of the first kind on an infinite interval|journal=European Journal of Physics|volume=36|issue=1|pages=015016|bibcode=2015EJPh...36a5016P|doi=10.1088/0143-0807/36/1/015016}}</ref>

: <math>\int_0^\infty J_\nu(kr) J_\nu(k'r) \,r\,\mathrm{d}r = \frac{\delta(k - k')}{k}, \quad k, k' > 0.</math>

== Теорема Планшереля та теорема Персеваля ==
Якщо <math>f(r)</math> і <math>g(r)</math> є такими, що їх перетворення Ганкеля <math>F_{\nu}(k)</math> і <math>G_{\nu}(k)</math> є добре визначеним, то теорема Планшереля стверджує:

: <math>\int_{0}^{\infty}f(r)g(r)r\operatorname{d}r=\int_{0}^{\infty}F_{\nu}(k)G_{\nu}(k)\operatorname{d}k.</math>

[[Теорема Персеваля]], яка стверджує

: <math>\int_{0}^{\infty}|f(r)|^{2}r\operatorname{d}r=\int_{0}^{\infty}|F_{\nu}(k)|^{2}k\operatorname{d}k,</math>

є частинним випадком теореми Планшереля. Доведення цих теорем ґрунтується на властивостях ортогональності.

== Зв’язок з багатовимірним перетворенням Фур’є ==
Перетворення Ганкеля часто зустрічається у фізичних задачах із циліндричною або сферичною симетрією при записі багатовимірного перетворення Фур’є в [[Гіперсфера|гіперсферичних координатах]].

Розглянемо функцію <math>f(\mathbf{r})</math> <math display="inline">d</math>-вимірного вектора {{Math|'''r'''}}. Його <math display="inline">d</math>-вимірне перетворення Фур'є визначається як

<math>F(\mathbf{k})= \int_{\R^d} f(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \,\mathrm{d}\mathbf{r}.</math>

Для того, щоб переписати його в гіперсферичних координатах, можна використати розклад плоскої хвилі на <math display="inline">d</math>-вимірні гіперсферичні гармоніки <math>Y_{l,m}</math>:<ref>{{Cite book
|title=Hyperspherical harmonics and their physical applications
|last=Avery, James Emil, author.
|isbn=978-981-322-930-3
|oclc=1013827621
}}</ref>

<math>e^{-i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} = (2 \pi)^{d/2} (kr)^{1-d/2}\sum_{l= 0}^{+\infty}
(-i)^{l} J_{d/2-1+l}(kr)\sum_{m}
Y_{l,m}(\Omega_{\mathbf{k}}) Y^{*}_{l,m}(\Omega_{\mathbf{r}}),</math>

де <math display="inline">\Omega_{\mathbf{r}}</math> і <math display="inline">\Omega_{\mathbf{k}}</math> — набори всіх гіперсферичних кутів у <math>\mathbf{r}</math>-просторі та <math>\mathbf{k}</math>-просторі. Це дає наступне співвідношення для <math display="inline">d</math>-вимірного перетворення Фур’є в гіперсферичних координатах:

<math>F(\mathbf{k}) =(2 \pi)^{d/2} k^{1-d/2} \sum_{l = 0}^{+\infty} (-i)^{l} \sum_{m}Y_{l,m}(\Omega_{\mathbf{k}})
\int_{0}^{+\infty}J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm{d}r \int f(\mathbf{r}) Y_{l,m}^{*}(\Omega_{\mathbf{r}}) \mathrm{d}\Omega_{\mathbf{r}}. </math>

Якщо розкласти <math>f(\mathbf{r})</math> і <math>F(\mathbf{k})</math> через гіперсферичні гармоніки:

<math>f(\mathbf{r}) = \sum_{l= 0}^{+\infty} \sum_{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega_{\mathbf{r}}),\quad F(\mathbf{k}) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m} F_{l,m}(k) Y_{l,m}(\Omega_{\mathbf{k}}), </math>

то перетворення Фур'є в гіперсферичних координатах спрощується до

<math>k^{d/2-1}F_{l,m}(k)= (2 \pi)^{d/2}  (-i)^{l} 
\int_{0}^{+\infty}r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm{d}r. </math>

Це означає, що функції з кутовою залежністю у вигляді гіперсферичної гармоніки зберігають її при багатовимірному перетворенні Фур’є, тоді як радіальна частина змінюється при перетворенні Ганкеля (з точністю до деяких додаткових множників, таких як <math display="inline">r^{d/2-1}</math>).

=== Часткові випадки ===

==== Перетворення Фур'є розмірності 2 ====
Якщо двовимірну функцію {{Math|''f''('''r''')}} розкласти в [[Мультипольний момент|мультипольний ряд]]

: <math>f(r, \theta) = \sum_{m=-\infty}^\infty f_m(r) e^{im\theta_{\mathbf{r}}},</math>

тоді його двовимірне перетворення Фур'є задається формулою

<math>F(\mathbf k) = 2\pi \sum_m i^{-m} e^{im\theta_{\mathbf{k}}} F_m(k),</math>

де <math>F_m(k) = \int_0^\infty f_m(r) J_m(kr) \,r\,\mathrm{d}r</math> є перетворенням Ганкеля <math display="inline">m</math>-го порядку для <math>f_m(r)</math> (у цьому випадку <math display="inline">m</math> виконує роль кутового моменту, який було позначено як <math display="inline">l</math> у попередньому розділі).

==== Перетворення Фур'є розмірності 3 ====
Якщо тривимірну функцію {{Math|''f''('''r''')}} розкласти в [[Мультипольний момент|мультипольний ряд]] над [[Сферичні гармоніки|сферичними гармоніками]],

: <math>f(r,\theta_{\mathbf{r}},\varphi_{\mathbf{r}}) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m=-l}^{+l}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\theta_{\mathbf{r}},\varphi_{\mathbf{r}}),</math>

тоді його тривимірне перетворення Фур'є задається формулою

<math>F(k,\theta_{\mathbf{k}},\varphi_{\mathbf{k}}) = (2 \pi)^{3/2} \sum_{l = 0}^{+\infty} (-i)^{l} \sum_{m=-l}^{+l} F_{l,m}(k) Y_{l,m}(\theta_{\mathbf{k}},\varphi_{\mathbf{k}}),</math>

де <math>\sqrt{k} F_{l,m}(k) = 
\int_{0}^{+\infty}\sqrt{r} f_{l,m}(r)J_{l+1/2}(kr)r\mathrm{d}r.</math>⁣ — це перетворення Ганкеля для <math>\sqrt{r} f_{l,m}(r)</math> порядку <math display="inline">(l+1/2)</math>.

Цей вид перетворення Ганкеля напівцілого порядку також відомий як сферичне перетворення Бесселя.

==== Перетворення Фур'є розмірності {{Math|''d''}} (випадок радіальної симетрії) ====

Якщо {{Math|''d''}}-вимірна функція {{Math|''f''(''r'')}} не залежить від кутових координат, то її {{Math|''d''}}-вимірне перетворення Фур'є {{Math|''F''(''k'')}} також не залежить від кутових координат і визначається як<ref>{{Cite web|url=http://math.arizona.edu/~faris/methodsweb/hankel.pdf|title=Radial functions and the Fourier transform: Notes for Math 583A, Fall 2008|last=Faris|first=William G.|date=2008-12-06|website=University of Arizona, Department of Mathematics|accessdate=2015-04-25}}</ref>

<math>k^{d/2-1}F(k) = (2 \pi)^{d/2}
\int_{0}^{+\infty}r^{d/2-1}f(r)J_{d/2-1}(kr)r\mathrm{d}r,</math>

що є перетворенням Ганкеля <math>r^{d/2-1}f(r)</math> порядку <math display="inline">(d/2-1)</math> до множника <math>(2 \pi)^{d/2} </math>.

==== Двовимірні функції всередині обмеженого радіуса ====
Якщо двовимірну функцію {{Math|''f''('''r''')}} розширити в [[Мультипольний момент|мультипольний ряд,]] а коефіцієнти розкладу  {{Math|''f<sub>m</sub>''}} досить гладкі поблизу початку координат і дорівнюють нулю поза радіусом {{Mvar|R}}, радіальну частину {{Math|''f''(''r'')/''r<sup>m</sup>''}} можна розкласти до степеневого ряду за <math>1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 </math>:

: <math>f_m(r)= r^m \sum_{t \ge 0} f_{m,t} \left(1 - \left(\tfrac{r}{R}\right)^2 \right)^t, \quad 0 \le r \le R,</math>

то двовимірне перетворення Фур'є функції {{Math|''f''('''r''')}} має вигляд

: <math>\begin{align}
 F(\mathbf k)
 &= 2\pi\sum_m i^{-m} e^{i m\theta_k} \sum_t f_{m,t} \int_0^R r^m \left(1 - \left(\tfrac{r}{R}\right)^2 \right)^t J_m(kr) r\,\mathrm{d}r && \\
 &= 2\pi\sum_m i^{-m} e^{i m\theta_k} R^{m+2} \sum_t f_{m,t} \int_0^1 x^{m+1} (1-x^2)^t J_m(kxR) \,\mathrm{d}x && (x = \tfrac{r}{R})\\
 &= 2\pi\sum_m i^{-m} e^{i m\theta_k} R^{m+2} \sum_t f_{m,t} \frac{t!2^t}{(kR)^{1+t}} J_{m+t+1}(kR),
\end{align}</math>

де остання рівність випливає з §6.567.1.<ref>{{Cite book
|title=Table of Integrals, Series, and Products
|last=Gradshteyn
|first=I. S.
|last2=Ryzhik
|first2=I. M.
|date=2015
|editor-last=Zwillinger
|editor-first=Daniel
|publisher=Academic Press
|edition=Eighth
|page=687
|isbn=978-0-12-384933-5
}}</ref> Коефіцієнти розкладу {{Math|''f<sub>m,t</sub>''}} визначаються за допомогою [[Дискретне перетворення Фур'є|дискретних перетворень Фур'є]]:<ref>{{Cite journal|last=Secada|first=José D.|year=1999|title=Numerical evaluation of the Hankel transform|journal=Comp. Phys. Comm.|volume=116|issue=2&ndash;3|pages=278&ndash;294|bibcode=1999CoPhC.116..278S|doi=10.1016/S0010-4655(98)00108-8}}</ref> якщо радіальна відстань масштабується як

: <math>r/R\equiv \sin\theta,\quad 1-(r/R)^2 = \cos^2\theta,
</math>

то коефіцієнти ряду Фур’є–Чебишева {{Math|''g''}} виглядають як

: <math>
f(r)\equiv r^m \sum_j g_{m,j} \cos(j\theta)= r^m\sum_jg_{m,j} T_j(\cos\theta).
</math>

Використання додаткового розкладу в ряд

: <math>
\cos(j\theta) = 2^{j-1}\cos^j\theta-\frac{j}{1}2^{j-3}\cos^{j-2}\theta +\frac{j}{2}\binom{j-3}{1}2^{j-5}\cos^{j-4}\theta -\frac{j}{3}\binom{j-4}{2}2^{j-7}\cos^{j-6}\theta+\cdots
</math>

приводить до представлення {{Math|''f''<sub>''m,t''</sub>}} через суми {{Math|''g''<sub>''m,j''</sub>}}.

Це один із різновидів методів швидкого перетворення Ганкеля.

== Зв’язок з перетвореннями Фур’є та Абеля ==
Перетворення Ганкеля є одним із членів циклу Фур’є-Ганкеля-Абеля інтегральних операторів. У розмірності два, якщо визначити {{Mvar|A}} як оператор [[Інтегральне перетворення Абеля|інтегрального перетворення Абеля]], {{Mvar|F}} як оператор [[перетворення Фур'є]], а {{Mvar|H}} як оператор перетворення Ганкеля нульового порядку, то частинний випадок теореми про проєкційний зріз для циклічно-симетричних функцій стверджує, що

: <math>FA = H.</math>

Іншими словами, застосування перетворення Абеля до одновимірної функції, а потім застосування перетворення Фур’є до цього результату — це те саме, що застосування перетворення Ганкеля до цієї функції. Цей підхід можна розширити на вищі розмірності.

== Чисельне оцінювання ==

Простий та ефективний підхід до чисельної оцінки перетворення Ганкеля базується на спостереженні, що воно може бути представлено у вигляді [[Згортка (математичний аналіз)|згортки]] за допомогою логарифмічної заміни змінних<ref>{{Cite journal|last=Siegman|first=A. E.|date=1977-07-01|title=Quasi fast Hankel transform|journal=Optics Letters|volume=1|issue=1|pages=13|bibcode=1977OptL....1...13S|doi=10.1364/ol.1.000013|issn=0146-9592|pmid=19680315}}</ref>

<math>r=r_0 e^{-\rho},\quad k=k_0 e^{\kappa}.</math>

У цих нових змінних перетворення Ганкеля набуває вигляду

<math>{\tilde F}_\nu(\kappa) = \int_{-\infty}^\infty {\tilde f}(\rho) {\tilde J}_\nu(\kappa-\rho) \mathrm{d}\rho,</math>де<math>{\tilde f}(\rho) = (r_0 e^{-\rho})^{1-n}f(r_0 e^{-\rho}),\quad{\tilde F}_\nu(\kappa) = (k_0 e^{\kappa})^{1+n} F_\nu(k_0 e^{\kappa}),\quad {\tilde J}_\nu(\kappa-\rho) = (k_0 r_0 e^{\kappa-\rho})^{1+n} J_\nu(k_0 r_0 e^{\kappa-\rho}).</math>

Тепер інтеграл можна обчислити чисельно зі [[Теорія складності обчислень|складністю]] <math display="inline">O(N \log N)</math> при використанні [[Швидке перетворення Фур'є|швидкого перетворення Фур'є]]. Алгоритм можна додатково спростити, використовуючи відомий аналітичний вираз для перетворення Фур'є <math display="inline">{\tilde J}_\nu</math>:<ref>{{Cite journal|last=Talman|first=James D|date=October 1978|title=Numerical Fourier and Bessel transforms in logarithmic variables|journal=Journal of Computational Physics|volume=29|issue=1|pages=35–48|bibcode=1978JCoPh..29...35T|doi=10.1016/0021-9991(78)90107-9|issn=0021-9991}}</ref>

<math>\int_{-\infty}^{+\infty}{\tilde J}_\nu(x)e^{-i q x}\mathrm{d}x = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1+n-iq}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu+1-n+iq}{2}\right)}2^{n - iq}e^{iq \ln(k_0r_0)}.</math>

Оптимальний вибір параметрів <math display="inline">r_0,k_0,n</math> залежить від властивостей функції <math display="inline">f(r)</math>, зокрема, від її асимптотичної поведінки при <math display="inline">r \rightarrow 0</math> і <math display="inline">r \rightarrow \infty</math>.

Цей алгоритм відомий як “квазішвидке перетворення Ганкеля”, або просто “швидке перетворення Ганкеля”.

Оскільки алгоритм базується на [[Швидке перетворення Фур'є|швидкому перетворенні Фур'є]] в логарифмічних змінних, функція <math display="inline">f(r)</math> має бути визначена на логарифмічній сітці. Для функцій, визначених на однорідній сітці, існує ряд інших алгоритмів, включаючи безпосередню [[Чисельне інтегрування|квадратуру]], методи, що базуються на теоремі про проєкційний зріз, та методи, що використовують [[Функції Бесселя|асимптотичні розклади]] функцій Бесселя.<ref>{{Cite journal|last=Cree|first=M.J.|last2=Bones|first2=P.J.|date=July 1993|title=Algorithms to numerically evaluate the Hankel transform|url=https://archive.org/details/sim_computers-mathematics-with-applications_1993-07_26_1/page/n8|journal=Computers & Mathematics with Applications|volume=26|issue=1|pages=1–12|doi=10.1016/0898-1221(93)90081-6|issn=0898-1221}}</ref>

== Перетворення Ганкеля для деяких функцій ==
<ref>{{Cite book
|title=Systems and Transforms with Applications to Optics
|last=Papoulis
|first=Athanasios
|year=1981
|publisher=Krieger Publishing Company
|location=Florida USA
|pages=140–175
|isbn=978-0898743586
}}</ref>
{| class="wikitable"
!<math>f(r)</math>
!<math>F_0(k)</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>\frac{\delta(k)}{k}</math>
|-
|<math>\frac{1}{r}</math>
|<math>\frac{1}{k}</math>
|-
|<math>r</math>
|<math>-\frac{1}{k^3}</math>
|-
|<math>r^3</math>
|<math>\frac{9}{k^5}</math>
|-
|<math>r^m</math>
|<math>\frac{2^{m+1} \Gamma\left(\tfrac{m}{2} + 1\right)}{k^{m+2} \Gamma\left(-\tfrac{m}{2}\right)}, \quad -2 < \Re(m) < -\tfrac{1}{2}</math>
|-
|<math>\frac{1}{\sqrt{r^2 + z^2}}</math>
|<math>\frac{e^{-k|z|}}{k}</math>
|-
|<math>\frac{1}{z^2 + r^2}</math>
|<math>K_0(kz), \quad z \in \mathbf{C}</math>
|-
| rowspan="2" |<math>\frac{e^{iar}}{r}</math>
|<math>\frac{i}{\sqrt{a^2 - k^2}}, \quad a > 0, k < a</math>
|-
|<math>\frac{1}{\sqrt{k^2 - a^2}}, \quad a > 0, k > a</math>
|-
|<math>e^{-\frac{1}{2} a^2r^2}</math>
|<math>\frac{1}{a^2} e^{-\tfrac{k^2}{2a^2}}</math>
|-
|<math>\frac{1}{r} J_0(lr) e^{-sr}</math>
|<math>\frac{2}{\pi \sqrt{(k + l)^2 + s^2}} K\bigg(\sqrt{\frac{4kl}{(k + l)^2 + s^2}}\bigg)</math>
|-
|<math>-r^2 f(r)</math>
|<math>\frac{\mathrm{d}^2 F_0}{\mathrm{d}k^2} + \frac{1}{k} \frac{\mathrm{d}F_0}{\mathrm{d}k}</math>
|}
{| class="wikitable"
!<math>f(r)</math>
! <math>F_\nu(k)</math>
|-
| <math>r^s</math>
| <math>\frac{2^{s+1}}{k^{s+2}} \frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{2}(2 + \nu + s)\right)}{\Gamma(\tfrac{1}{2} (\nu - s))}</math>
|-
| <math>r^{\nu-2s} \Gamma(s, r^2 h)</math>
| <math>\tfrac{1}{2} \left(\tfrac k 2\right)^{2s-\nu-2} \gamma\left(1 - s + \nu, \tfrac{k^2}{4h}\right)</math>
|-
| <math>e^{-r^2} r^\nu U(a, b, r^2)</math>
| <math>\frac{\Gamma(2 + \nu - b)}{2\Gamma(2 + \nu - b + a)} \left(\tfrac k 2\right)^\nu e^{-\frac{k^2}{4}} \,_1F_1\left(a, 2 + a - b + \nu, \tfrac{k^2}4\right)</math>
|-
| <math>r^n J_\mu(lr) e^{-sr}</math>
| Виражається через [[еліптичні інтеграли]].<ref>{{Cite journal|last=Kausel|first=E.|last2=Irfan Baig|first2=M. M.|year=2012|title=Laplace transform of products of Bessel functions: A visitation of earlier formulas|url=http://dspace.mit.edu/bitstream/1721.1/78923/1/Kausel_Baig.pdf|journal=Quarterly of Applied Mathematics|volume=70|pages=77–97|doi=10.1090/s0033-569x-2011-01239-2}}</ref>
|-
| <math>-r^2 f(r)</math>
| <math>\frac{\mathrm{d}^2 F_\nu}{\mathrm{d}k^2} + \frac{1}{k} \frac{\mathrm{d}F_\nu}{\mathrm{d}k} - \frac{\nu^2}{k^2} F_\nu</math>
|}
<math>K_n(z)</math> — це [[Функції Бесселя другого роду|модифікована функція Бесселя другого роду]]. <math>K(z)</math> — [[Еліптичні інтеграли#Еліптичні інтеграли першого роду|повний еліптичний інтеграл першого роду.]]

Вираз

: <math>\frac{\mathrm{d}^2 F_0}{\mathrm{d}k^2} + \frac{1}{k} \frac{\mathrm{d}F_0}{\mathrm{d}k}</math>

співпадає з [[Оператор Лапласа|оператором Лапласа]] в [[Полярна система координат|полярних координатах]] <math>(k,\theta)</math>, який застосовано до сферично-симетричної функції <math>F_0(k)</math>.

Перетворення Ганкеля для поліномів Церніке є по суті функціями Бесселя (Noll 1976):

: <math>R_n^m(r) = (-1)^{\frac{n-m}{2}} \int_0^\infty J_{n+1}(k) J_m(kr) \,\mathrm{d}k</math>

для парної різниці {{Math|''n'' − ''m'' ≥ 0}}.

== Див. також ==

* [[Перетворення Фур'є]]
* [[Інтегральне перетворення]]
* [[Інтегральне перетворення Абеля]]
* {{нп|Ряд Фур'є — Бесселя|||Fourier–Bessel series}}
* {{нп|Поліном Неймана|||Neumann polynomial}}
* {{нп|Y та H перетворення|||Y and H transforms}}

== Примітки ==
{{примітки|2}}

[[Категорія:Інтегральні перетворення]]
[[Категорія:Варіаційне числення]]
[[Категорія:Диференціальні рівняння]]