Перегляд вихідного коду сторінки Паралелепіпед

'''Паралелепі́пед''' (від {{lang-el|παράλλος}}&nbsp;— паралельний і {{lang-el2|επιπεδον}}&nbsp;— площина)&nbsp;— [[Призма (математика)|призма]], основою для якої є [[паралелограм]].{{sfn|Бевз|2002|с=110}}{{sfn|Погорелов|2009|с=73—75}}

== Властивості ==
* Всі 6 [[Грань (геометрія)|граней]] паралелепіпеда є паралелограмами.{{sfn|Киселёв|1980|с=211}}
* Протилежні грані рівні та паралельні.{{sfn|Крамор|2008|с=188}}
* [[Діагональ|Діагоналі]] перетинаються в одній точці та діляться в ній навпіл.{{sfn|Крамор|2008|с=188}}

== Типи паралелепіпедів ==
[[Файл:Cuboid_01.svg|міні|260пкс|Прямокутний паралелепіпед і його виміри ''a'', ''b'', ''c'']]
Розрізняють декілька типів паралелепіпедів:
* Прямий паралелепіпед&nbsp;— паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи.{{sfn|Бевз|2002|с=110}} У прямих паралелепіпедів чотири грані є прямокутниками, а основи&nbsp;— паралелограмами.{{sfn|Киселёв|1980|с=211}} Паралелепіпеди, які не є прямими, називаються ''похилими''.
* [[Прямокутний паралелепіпед]]&nbsp;— прямий паралелепіпед, основою в якому є прямокутник.{{sfn|Киселёв|1980|с=211}} У прямокутного паралелепіпеда всі грані&nbsp;— прямокутники.{{sfn|Крамор|2008|с=188}} Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його ''вимірами''.{{sfn|Бевз|2002|с=110}} Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.{{sfn|Бевз|2002|с=112}} Моделями прямокутного паралелепіпеда може бути кімната, цеглина, сірникова коробка.
* [[Куб]]&nbsp;— прямокутний паралелепіпед з рівними сторонами.{{sfn|Киселёв|1980|с=211}} Всі шість граней куба&nbsp;— рівні [[квадрат]]и.

== Основні формули ==
=== Прямий паралелепіпед ===
# [[Площа]] бічної поверхні: 
#: {{math|''S''<sub>б</sub> {{=}} ''Р''<sub>о</sub> · ''h''}}, де {{math|''Р''<sub>о</sub>}}&nbsp;— [[периметр]] основи, {{math|''h''}}&nbsp;— висота.
# Площа повної поверхні:
#: {{math|''S''<sub>п</sub> {{=}} ''S''<sub>б</sub> + 2''S''<sub>о</sub>}}, де {{math|''S''<sub>о</sub>}}&nbsp;— площа основи.
# Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту:
#:{{math|''V'' {{=}} ''S''<sub>о</sub> · ''h''}}.

=== Прямокутний паралелепіпед ===
# Площа бічної поверхні:
#:{{math|''S''<sub>б</sub> {{=}} 2''c'' (''a'' + ''b'')}}, де {{math|''a''}}, {{math|''b''}}&nbsp;— сторони основи, {{math|''c''}}&nbsp;— бічне ребро прямокутного паралелепіпеда.
# Площа повної поверхні:
#:{{math|S<sub>п</sub> {{=}} 2(''ab'' + ''bc'' + ''ac'')}}.
# Об'єм:
#:{{math|''V'' {{=}} ''abc''}}, де {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}&nbsp;— виміри прямокутного паралелепіпеда.
# У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі {{mvar|d}} дорівнює сумі квадратів його вимірів:{{sfn|Бевз|2002|с=112}}
#:{{math|''d''<sup>2</sup> {{=}} ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup>}}.

=== Куб ===
# Площа повної поверхні:
#: {{math|''S''<sub>п</sub> {{=}} 6''a''<sup>2</sup>}}, де {{mvar|a}}&nbsp;— сторона.
# Об'єм:
#: {{math|''V'' {{=}} ''a''<sup>3</sup>}}.
# Діагональ:
#: {{math|''d'' {{=}} ''a''{{radical|3}}}}. 

== Формули векторної алгебри ==
[[Image:Parallelepiped volume.svg|right|thumb|260px|Паралелепіпед, який задається трьома векторами {{math|'''a'''}}, {{math|'''b'''}} і {{math|'''c'''}}.{{br}}Довжини векторних добутків {{math|'''a'''×'''b'''}} і {{math|'''b'''×'''c'''}} дорівнюють площам відповідних паралелограмів]]
Об'єм паралелепіпеда, побудованого на [[Вектор (математика)|векторах]] <math>\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)</math>, <math>\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)</math> і <math>\mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3)</math> розраховується як [[Модуль (математика)|модуль]] [[Мішаний добуток|мішаного добутку]] цих векторів:
: <math> V = \left| \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \right|
           = \left| \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \right|
           = \left| \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \right|,</math>
або
: <math> V = \left| \det \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \right|.</math>

== Паралелотоп ==
[[Гарольд Коксетер]] назвав узагальнення паралелепіпеда на вищі розмірності '''паралелотопом'''. В сучасній літературі термін "паралелепіпед" часто використовують і у вищих розмірностях .<ref>Morgan, C. L. (1974). Embedding metric spaces in Euclidean space. Journal of Geometry, 5(1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540</ref>

Конкретніше, паралелотоп в ''n''-вимірному просторі називається ''n''-вимірний паралелотоп, або просто {{mvar|n}}-паралелотоп (або {{mvar|n}}-паралелепіпед). Таким чином [[паралелограм]] це 2-паралелотоп, а паралепіпед - 3-паралелотоп.

Більш загально, паралелотоп,<ref>{{cite arXiv| title = Properties of parallelotopes equivalent to Voronoi's conjecture| eprint = math/0307170| last1 = Deza| first1 = Michel| last2 = Grishukhin| first2 = Viacheslav| year = 2003}}</ref> або ''паралелотоп Вороного'', має паралельні і конгруентні протилежні [[Фасета (геометрія)|фасети]]. Тож 2-паралелотоп - це [[паралелогон]] що також може включати деякі гексагони, а 3-паралелотоп це {{iw|паралелогранник|||Parallelohedron}}.

[[Діагоналі]] ''n''-паралелотопа перетинаються в одній точці, і ця точка ділить їх надвоє. [[Центральна симетрія|Інверсія]] в цій точці залишає ''n''-паралелотоп незміненим.

Ребра що виходять з однієї вершини ''k''-паралелотопа утворюють {{iw|k-репер|||k-frame}} <math>(v_1,\ldots, v_k)</math> векторного простору, і паралелотоп можна відтворити з цих векторів їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами в межах від 0 до 1.

''n''-об'єм ''n''-паралелотопа в просторі <math>\R^m</math> де <math>m \geq n</math> можна обчислити за допомогою [[Визначник Грама|визначника Грама]]. Як альтернатива, об'єм - це норма [[Зовнішній добуток|зовнішнього добутку]] векторів:
<math display="block"> V = \left\| v_1 \wedge \cdots \wedge v_n \right\| .</math>

Якщо {{math|1=''m'' = ''n''}}, це дорівнює абсолютному значенню визначника {{mvar|n}} векторів.

== Див. також ==
* [[Призма (математика)|Призма]]
* [[Прямокутний паралелепіпед]]
* [[Куб]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Література ==
* {{книга|автор=Бевз&nbsp;Г.&nbsp;П., Бевз&nbsp;В.&nbsp;Г., Владімірова&nbsp;Н.&nbsp;Г. |заголовок=Геометрія. Підручник для 10—11 класів загальноосвітніх навчальних закладів |посилання= |відповідальний= |місце=Київ |видавництво=«Вежа» |рік=2002 |том= |сторінок= |сторінки= |isbn=966-7091-31-7|ref=Бевз}}
* {{книга|автор=Погорелов&nbsp;А.&nbsp;В. |заголовок=Геометрия. 10—11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений |посилання= |відповідальний=|видання=9-е изд |місце=Москва |видавництво=Просвещение |рік=2009 |том= |сторінок=175 |сторінки= |isbn=978-5-09-021850-4|ref=Погорелов}}{{ref-ru}}
* {{книга|автор=Крамор&nbsp;В.&nbsp;С. |заголовок=Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии |посилання= |відповідальний= |видання=4-е изд |місце=Москва |видавництво=«Мир и Образование» |рік=2008 |том= |сторінок=336 |сторінки= |isbn=978-5-94666-476-9|ref=Крамор}}{{ref-ru}}
* {{книга|автор=Киселёв&nbsp;А.&nbsp;П. |заголовок=Элементарная геометрия. Книга для учителя |посилання= |відповідальний= |місце=Москва |видавництво=Просвещение |рік=1980 |том= |сторінок=287 |сторінки= |isbn=|ref=Киселёв}}{{ref-ru}}
{{Багатогранники}}
[[Категорія:Многогранники, які заповнюють простір|П]]
[[Категорія:Призматоїди]]