Перегляд вихідного коду сторінки П'ятикутний трапецоедр

{{без картки|поліедр}}
{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="410"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2| <span style="color: MediumBlue"><big><big>П'ятикутний трапецоедр</big></big> </span>
|-
|align=center colspan=2|[[Файл:5-трапецоедр..png|261x250пкс]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Тип'''||[https://polytope.miraheze.org/wiki/Uniform_dual Двоїстий до однорідного] <br/>[[Трапецоедр]]и
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Властивості'''||Напівправильний [[Опуклий політоп|опуклий]], рівногранний, [[ізоедр]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center"|<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''|| 10 [[Грань (геометрія)|граней]];<br/>20 [[Ребро (геометрія)|ребер]](10 коротких+10 довгих);<br/>12 [[Вершина (геометрія)|вершин]] (10 {3-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]]}+2{5-го}).
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Грань (геометрія)|Грані]]'''||
10 рівних [[дельтоїд]]ів
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Характеристика Ейлера]]'''||
<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>

|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Конфігурація вершини|Конфігурація грані]]'''|| V 5.3.3.3 (послідовне число граней біля кожної вершини навколо грані)
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center"|<big>'''Класифікація'''</big>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Позначення'''|| • [http://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C100dA5 dA<sub>5</sub>] (в {{Не перекладено|Нотація Конвея для багатогранників|3=en|4=Conway polyhedron notation|нотації Конвея}})
|-
|bgcolor=#e7dcc3| '''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]''' ||
{{ДКД|node_fh|2x|node_fh|10|node}} або (p2p10o)<br/>{{ДКД|node_fh|2x|node_fh|5|node_fh}} або (p2p5p)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''||{{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D<sub>5d</sub>|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, [2<sup>+</sup>,10], (2*5), порядок 20
(Діедрична симетрія 5-Антипризми)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Ортогональна група|Група поворотів]]'''|| D<sub>5</sub>, [5,2]<sup>+</sup>, (522), порядок 10
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий багатогранник]]'''||
[[П'ятикутна антипризма]]<br/>[[Файл:Pentagonal antiprism.png|80px|]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Розгортка]]'''|| [[Файл:Розгортка 5-трапецоедра.png|150px|]]
|}
'''П'ятикутний трапецоедр''' ('''п'ятикутний''' '''дельтоедр''', '''п'ятикутний''' '''антитегум'''<ref>[http://www.polytope.net/hedrondude/dice.htm] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170215074509/http://polytope.net/hedrondude/dice.htm|date=15 лютого 2017}} Джонатан Бауверс.</ref>)&nbsp;— опуклий [[Напівправильний многогранник|напівправильний]] [[Ізоедральне тіло|рівногранний]] багатогранник, двоїстий до однорідної п'ятикутної антипризми.

Цей багатогранник є [[Напівправильний многогранник|напівправильним багатогранником]], а отже, володіє такими властивостями:

# Всі грані є рівними багатокутниками (дельтоїди);
# Для будь-якої пари граней A і B існує симетрія всього тіла (тобто рух, що складається з поворотів та віддзеркалень), яка переводить A в B.

Він має 10 граней (тобто це {{Не перекладено|Десятигранник|десятигранник|en|Decahedron}}), які є [[Конгруентність (геометрія)|конгруентними]] дельтоїдами з трьома рівними кутами; всі двогранні кути рівні між собою.

Має 12 вершин: в 10 вершинах сходяться своїми більшими кутами по 3 грані (10 вершин 3-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]]), у 2 вершинах сходяться своїми меншими кутами по 5 граней (2 вершини 5-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]]).

Вершини п'ятикутного трапецоедра розташовані в чотирьох паралельних площинах.

П'ятикутний трапецоедр є третім у нескінченному ряду рівногранних багатогранників, що є двоїстими до однорідних [[Антипризма|антипризм]].
{| class="wikitable" width="300", heigth="200"
|+
|[[Файл:Розбиття 5-трапецоедра на піраміди та антипризму.png|ліворуч|міні|281x281пкс|'''Розбиття 5-трапецоедра на піраміди та антипризму''']]
|[[Файл:Розбиття 5-трапецоедра на піраміди та додекаедр.png|ліворуч|міні|308x308пкс|'''Розбиття 5-трапецоедра на піраміди та додекаедр''']]
|}

Його можна розкласти на дві прямі п'ятикутні [[Піраміда (геометрія)|піраміди]] і неоднорідну [[П'ятикутна антипризма|п'ятикутну антипризму]] між ними. Його також можна розкласти на дві п'ятикутні піраміди та [[Дванадцятигранник|додекаедр]] між ними.

Тобто 5-трапецоедр можна отримати з [[Правильний додекаедр|правильного додекаедра]] шляхом нарощення на двох його протилежних гранях п'ятикутних пірамід.

[[Файл:Spherical pentagonal trapezohedron.svg|міні|160x160пкс|Сферичний 5-трапецоедр|ліворуч]]5-трапецоедр також існує у вигляді [[Сферичний многогранник|сферичного багатогранника]] з 2 вершинами на полюсах і вершинами, що чергуються, які рівномірно розташовані над і під екватором.
{{Clear}}

== Формули ==
У всіх формулах нижче: <math> \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618033988749  </math>&nbsp;— відношення пропорції [[Золотий перетин|«золотого перетину»]]. ({{OEIS|A001622}}).

=== Грань 5-трапецоедра ===
[[Файл:Грань п'ятикутного трапецоедра.png|ліворуч|міні|269x269px|Грань трапецоедра&nbsp;— дельтоїд.]]Відношення між коротким <math>l</math> та довгим <math>L</math> ребрами 5-трапецоедра: <math display="block">\frac{L}{l} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \varphi +1\approx 2.618033988749</math>'''Гострий кут''' [[дельтоїд]]а:
<math>\alpha = 2\pi -3 \beta = \frac{\pi}{5}  rad = 36^\circ</math>;

'''Тупий кут''': <math>\beta = \arccos\left ( \frac{1}{2} - \cos\left ( \frac{\pi}{5} \right )\right ) =  \frac{3\pi}{5}  rad = 108^\circ</math>

'''[[Площа]] грані''': <math>S =\sqrt{\frac{25 +11\sqrt{15}}{8}} \cdot l^2= \frac{\varphi+1}{2}\cdot \sqrt{\varphi +2}  \cdot l^2 
\approx 2.48989828488278 \cdot l^2</math>

{{Clear}}

=== Діагоналі ===
Кількість [[Діагональ|діагоналей]] опуклого багатогранника: <math>\binom{B}{2} - P</math>,

де В&nbsp;— кількість вершин, Р&nbsp;— кількість ребер багатогранника.

Для п'ятикутного трапецоедра: <math>\binom{12}{2} - 20 = \frac{12}{2} \cdot \frac{11}{1} -20 = 46 </math> діагоналей (20 граневих та 26 просторових).
{| border="2"
|----
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" | Діагоналі 5-трапецоедра з довжиною короткого ребра <big><math>l</math></big>
|-
| rowspan="2" class="hintergrundfarbe5" | [[Файл:Діагоналі 5-трапецоїда.png|284x284пкс]]
| '''Граневі діагоналі<ref>{{Cite web|url=https://bendwavy.org/klitzing/incmats/p2p5p.htm|title=pentagonal antitegum|website=bendwavy.org|language=англ.}}</ref>'''
|<math>CE= \frac{\sqrt{5}+1}{2} \cdot l = \varphi \cdot l \approx 1.61803398874989 \cdot l</math> <br /> <math>AD=\sqrt{5+2\sqrt{5}}\cdot l = \varphi\cdot\sqrt{2+\varphi} \approx 3.07768353717 \cdot l</math>
|-
| '''Просторові діагоналі'''
|<math>CF=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot l= \sqrt{2}\cdot \varphi \cdot l 
\approx 2.28824561127073 \cdot l</math> <br /> <math> GF=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot l= \varphi^2 \cdot l 
\approx 2.61803398874989 \cdot l </math><br /><math>CK= 2~R_3 =\frac{\sqrt{3} +\sqrt{15}}{2}\cdot l= \sqrt{3}\cdot \varphi \cdot l 
\approx 2.8025170768881 \cdot l</math><br /><math>AB= 2~R_5 =\sqrt{\frac{25 +11\sqrt{15}}{2}} \cdot l= (\varphi+1)\cdot \sqrt{\varphi +2}  \cdot l 
\approx 4.97979656976556 \cdot l</math>
|}

=== Метричні характеристики ===
{| border="2"
! colspan="5" bgcolor="#c0c0ff" |Якщо коротке ребро 5-трапецоедра дорівнює <big><math>l</math></big>, то:
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Вписана сфера|вписаної сфери]]'''
(дотикається до всіх граней)
|<math>r=\frac{\sin \left ( \frac{\pi}{5} \right ) \cdot \sqrt{\left ( \sec^2\left ( \frac{\pi}{10} \right )-4 \right ) \left ( 2\cos \left ( \frac{\pi}{5} \right )-3 \right )}  }
{4\left (4-5~ \cos \left ( \frac{\pi}{5} \right ) +\cos \left ( \frac{2\pi}{5} \right )  \right )} \cdot l</math>
|<math>r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{25 +11\sqrt{15}}{10}} \cdot l </math>
|<math>= \frac{2 \varphi+1}{2\sqrt{\varphi+2}} \cdot l </math>
|<math>\approx 1.1135163 \cdot l </math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]]'''
(дотикається до всіх ребер)
| rowspan="2" |<math>\rho=\frac{1}{4} \csc \left ( \frac{\pi}{10} \right ) \cdot 
\sqrt{ 2\cos \left ( \frac{\pi}{5} \right )+1 } \cdot l</math>
| rowspan="2" |<math>\rho = \frac{3+\sqrt{5}}{4} \cdot l  </math>
| rowspan="2" |<math>= \frac{\varphi+1}{2}  \cdot l </math>
| rowspan="2" |<math>\approx 1.30901699 \cdot l </math>
|-
|bgcolor="#DC DC DC"|'''[[Описана сфера|Описаної сфери]] 5-трапецоедр не має'''
|-
| rowspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Радіус сфери ''R''<big><sub>3</sub></big> та ''R''<sub>5</sub>'''(відстань від центра
до вершин 3-го степеня та, відповідно, 5-го степеня)
|= радіусу описаної сфери вписаного додекаедра
|<math>R_3= \frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{4} \cdot l </math>
|<math>= \frac{\sqrt3}{2} \cdot \varphi  \cdot l </math>
|<math>\approx 1.40125853 \cdot l </math>
|-
|<math>R_5= \frac{1}{8} \csc^3 \left ( \frac{\pi}{10} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{\pi}{5} \right ) \cdot l </math>
|<math>R_5= \sqrt{\frac{25 +11\sqrt{15}}{8}} \cdot l </math>
|<math>= \frac{\varphi+1}{2}\cdot \sqrt{\varphi +2}  \cdot l  </math>
|<math>\approx 2.48989828 \cdot l </math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Площа поверхні]]'''
|<math>S = \frac{5}{4} \csc^2\left ( \frac{\pi}{10}\right ) 
\sqrt{1+4~ \cos \left ( \frac{\pi}{5} \right ) -2\cos \left ( \frac{2\pi}{5} \right )}
\cdot l^2
 </math>
|<math>S = 5~ \sqrt{\frac{25 +11\sqrt{15}}{2}} \cdot l^2 </math>
|<math>= 5(\varphi+1)\cdot \sqrt{\varphi +2}  \cdot l ^2 </math>
|<math>\approx 24.898982 \cdot l^2 </math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Об'єм]]'''
|<math>V=\frac{5 \cot \left ( \frac{\pi}{10} \right ) \cdot 
\csc^2\left ( \frac{\pi}{10} \right ) \cdot \left ( 2\cos \left ( \frac{\pi}{5} \right )+1 \right )}
{24\cdot \sqrt{2+2\cos \left ( \frac{\pi}{5}\right )} } 
\cdot l^3
 </math>
|<math>V = \frac{5\cdot(11+5\sqrt{5})}{12} \cdot l^3</math>
|<math>= \frac{5}{6}(3\varphi+2)\cdot \sqrt{\varphi +1}  \cdot l ^3 </math>
|<math>\approx 9.2418082 \cdot l^3 </math>
|}

{| class="wikitable" border="2"
! colspan="3" bgcolor="#c0c0ff" |Якщо ребро канонічно двоїстої 5-антипризми дорівнює <big><math>a</math></big>, то для 5-трапецоедра справедливі формули<ref>{{Cite web|url=http://dmccooey.com/polyhedra/PentagonalTrapezohedron.html|title=Dipyramids & Trapezohedra|website=dmccooey.com|language=англ.}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.redcrab-software.com/en/Calculator/Pentagonal-Trapezohedron|title=Pentagonal Trapezohedron Calculator|language=англ.|website=www.redcrab-software.com}}</ref>:
|-
|bgcolor="#ececec" |'''Довжини ребер'''
|<math>l = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot a =   (\varphi -1) \cdot a </math><br/>
<math>L = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \cdot a = \varphi \cdot a </math>
|<math>\approx 0.6180339\cdot a</math>

<math>\approx 1.6180339\cdot a</math>
|-
|bgcolor="#ececec" |'''Граневі діагоналі'''
|<math>d = a</math>

<math>D= \sqrt {\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \cdot a </math>
|<math> \approx 1.902113 \cdot a </math>
|-
|bgcolor="#ececec" |'''Площа грані'''
|<math>S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \cdot a^2 </math>
|<math>\approx 0.95105651 \cdot a^2 </math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Вписана сфера|вписаної сфери]]'''
(дотикається до всіх граней)
|<math>r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}} \cdot a </math>
|<math>\approx 0.68819096 \cdot a </math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]]'''
(дотикається до всіх ребер)
|<math>\rho = \frac{1+\sqrt{5}}{4} \cdot a = \frac{\varphi}{2}  \cdot a </math>
|<math>\approx 0.80901699 \cdot a </math>
|-
| rowspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Радіус сфери ''R''<big><sub>3</sub></big> та <big>''R''<sub>5</sub></big>'''(відстань від центра
до вершин 3-го степеня

та відповідно, 5-го степеня)
|<math>R_3= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a </math>
|<math>\approx 0.8660254 \cdot a </math>
|-
|<math>R_5= \frac{1}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \cdot a </math>
|<math>\approx 1.5388417 \cdot a </math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Площа поверхні]]'''
|<math>S = 5 \cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \cdot a^2 </math>
|<math>\approx 9.5105651 \cdot a^2 </math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Об'єм]]'''
|<math>V = \frac{5\cdot(3+\sqrt{5})}{12} \cdot a^3</math>
|<math>\approx 2.18169499 \cdot a^3 </math>
|}

=== Кути ===
{| border="2"
! colspan="3" style="background:#c0c0ff" |<big>Кути багатогранника</big>
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями'''
|<math>\alpha= \arccos \left ( -\frac{\sqrt{5}}{5} \right )=2\cdot \arctan\left ( \varphi \right )  </math>
|'''≈''' '''2.034443935795 rad'''
'''≈''' '''116° 33′ 54.18423748′′'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині 5-го степеня'''
|<math> \Omega_5 = 2\pi - 10\cdot \arcsin \left(\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2}\right)</math><math>  = 2 \pi - 10\cdot \arccsc \left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)</math>
|<math> \Omega_5 \thickapprox 1.760400835667 </math> '''[[Стерадіан|ср]]'''
|-
|class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині 3-го степеня'''
|<math> \Omega_3 =\arccos \left(- \frac{11\sqrt{5}}{25} \right) = \pi - \arctan \left(\frac{2}{11} \right)</math>
|<math> \Omega_3 \thickapprox 2.961739153797 </math> '''ср'''
|}

== Граф п'ятикутного трапецоедра ==
[[Файл:Граф 5-трапецоедра.png|ліворуч|безрамки|226x226пкс]]
В [[Теорія графів|теорії графів]] граф п'ятикутного трапецоедра<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/TrapezohedralGraph.html|title=Trapezohedral Graph|website=mathworld.wolfram.com|language=англ.}}</ref>&nbsp;— це граф з 12 вершинами та 20 ребрами, що має [[N-кістяк|кістяк]] 5-трапецоедра.

10 вершин мають [[Степінь вершини (теорія графів)|степінь]] 3, 2 вершини мають степінь 5.

Деякі властивості:&nbsp;[[Двочастковий граф|двочастковий]], [[Планарний граф|планарний]], [[Багатогранний граф|багатогранний]], [[Досконалий граф|досконалий]], [[Граф без трикутників|без трикутників]], [[Однозначно розфарбовуваний граф|однозначно розфарбовуваний]], простежуваний

Граф є [[Гамільтонів граф|Гамільтоновим]] і має <math>(5+1)(5+2)=42
 </math>  гамільтонових циклів та <math>2\cdot5\cdot(3\cdot5^2-7\cdot5+6)=460
 </math> [[Гамільтонів граф|гамільтонових шляхів]].

{{Clear}}

== Споріднені багатогранники ==
П'ятикутний трапецоедр належить до нескінченного ряду рівногранних багатогранників, двоїстих однорідним антипризмам.
{{Трапецоедри}}

== Примітки ==
{{примітки}}

== Джерела ==

* {{Книга
|автор = Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett
|заголовок = Mathematical Models
|рік = 1961
|тираж = 
|серія = 
|allpages = 286
|columns = 
|pages = 117
|мова = англ.
|isbn = 
|том = 
|видавництво = Oxford University Press / Clarendon
|частина = 
|місце = 
|видання = 2-ге
|відповідальний = 
|посилання = https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/VariosNiveles/iCartesiLibri/recursos/Curvas_y_Superficies_Parametricas/docs/cundy.pdf
|оригінал = 
|посилання частина = 
|ref = Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett
|назва = Mathematical Models
}}

== Посилання ==
* [https://www.academia.edu/11805176/Mathematical_analysis_of_uniform_polyhedron_trapezohedron_having_2n_congruent_right_kite_faces_4n_edges_and_2n_2_vertices_lying_on_a_spherical_surface_generalized_formula_for_uniform_polyhedrons_with_congruent_right_kite_faces_ Generalized formula of uniform polyhedron (trapezohedron) having 2n congruent right kite faces] from [[Academia.edu]]
* {{MathWorld|urlname=Trapezohedron|title=Трапецоедр}}
* {{Dmccooey|urlname=PentagonalTrapezohedron|title=Pentagonal Trapezohedron}}

[[Категорія:Многогранники]]

[[sv:Tärning#Tiosidig tärning]]