Перегляд вихідного коду сторінки Ортогональність

[[File:Perpendicular-coloured.svg|thumb|right|220px|Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного.]]
'''Ортогональність''' (від {{lang-el|ὀρθός}}&nbsp;— прямий і {{lang-el|γωνία}}&nbsp;— кут)&nbsp;— термін, який узагальнює [[перпендикулярність]] [[Вектор (математика)|векторів]] на [[білінійна форма|білінійні форми]].

== Визначення ==

Нехай <math>R</math>&nbsp;— [[прегільбертів простір]]. Елементи <math>x \in R</math>, <math>y \in R</math> називаються ''ортогональними'', якщо їх [[скалярний добуток]] дорівнює 0:
:<math>\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = 0</math>,

що позначається <math>x \perp y</math>.<ref>{{Дороговцев.Математичний аналіз.ч2}}</ref>

Множина векторів називається ''ортогональною,'' якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини [[одиничний вектор|одиничні]], то вона називається множиною ''ортнормованих'' векторів. Не-нульові ортогональні вектори [[лінійно незалежні вектори|лінійно незалежні]].

Якщо для системи векторів <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> простору <math>R</math> [[визначник Грама]] дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.

== В Евклідовому просторі ==

В 2- або 3- вимірному [[Евклідів простір|Евклідовому просторі]] два вектори ортогональні, якщо [[скалярний добуток]] цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 [[радіан]]. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

В Евклідових підпросторах [[ортогональне доповнення|ортогональним доповненням]] прямої є площина, і навпаки.

== Ортогональні функції ==
{{main|Ортогональні функції|Ортогональні поліноми}}
Дві дійсні функції <math>f(x)</math> та <math>g(x)</math> є ортогональними одна щодо одної у інтервалі <math>a\leq x\leq b,</math> якщо
:<math>\langle f,g\rangle =\int^{b}_{a} f(x)g(x)dx=0.</math>

Скалярний добуток двох функцій можна ввести також і з деякою [[Вагова функція|ваговою функцією]] w(x):
:<math>\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.</math>

Подібно до векторів, набір функцій можна [[Ортогоналізація|ортогоналізувати]] використовуючи, наприклад,  [[процес Грама — Шмідта]]. 

[[Норма (математика)|Норму]] можна визначити через скалярний добуток:
:<math>\|f\|_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}</math>

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Перпендикулярність]]
* [[Базис (математика)]]
* [[Ряд Фур'є]], [[Ряд Тейлора]]
* [[Ортогональна група]]
* [[Ортогональна матриця]]
* [[Ортогональність (хімія)]]

== Посилання ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}

{{Лінійна алгебра}}

[[Категорія:Орієнтація]]
[[Категорія:Лінійна алгебра]]