Перегляд вихідного коду сторінки Опукла функція

[[Файл:Convex-function-graph-1.png|thumb|350px|right|Опукла функція однієї змінної]]
'''Опукла функція''', або '''опукла вниз функція'''<ref>{{Cite book|title=Математичний аналіз|url=https://archive.org/details/isbn_9789663463230|last=Заболоцький|first=М. В.|last2=Сторож|first2=О. Г.|last3=Тарасюк|first3=С. І.|year=2008|publisher=Знання|location=Київ|pages=[https://archive.org/details/isbn_9789663463230/page/n420 421]|chapter=7.3. Опуклість функції (с. 133)|language=|isbn=978-966-346-323-0}}</ref>&nbsp;— [[Функція (математика)|функція]], яка визначена на [[Опукла множина|опуклій множині]] лінійного простору, і задовольняє [[нерівність|нерівності]]
:<math> f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \leqslant\lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y), \quad \forall \lambda \in [0;1]. </math>

Нехай [[область визначення]] опуклої функції <math>f(x)</math> лежить в [[Скінченновимірний простір|скінченновимірному просторі]], тоді <math>f(x)</math> неперервна в будь-якій [[внутрішня точка|внутрішній точці]] цієї області.

== Властивості опуклих функцій ==
Нехай <math>x_1, \ldots, x_n</math>&nbsp;— будь-які точки із області визначення опуклої функції <math>f(x)</math>, <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math>&nbsp;— невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють <math>1</math>. Тоді
: <math> f \left(\sum_{i = 1}^n \lambda_i x_i \right) \leqslant \sum_{i=1}^m \lambda_i f(x_i)</math>.

Якщо <math>f(x)</math>&nbsp;— двічі [[неперервно-диференційована функція|неперервно-диференційована]] опукла функція, то [[Матриця (математика)|матриця]] її [[друга похідна|других похідних]] не від'ємно визначена.

== Сильно опукла функція ==
Поняття сильно опуклої функції розширює та параметризує поняття строгої опуклості. Сильно опукла  функція також є строго опуклою, але не навпаки.

Диференційовна функція {{mvar|f}} називається сильно опуклою з параметром {{math|''m'' > 0}} якщо для всіх точок {{math|''x'', ''y''}} в її домені зберігається наступна нерівність:<ref name="bertsekas">{{cite book|page=[https://archive.org/details/convexanalysisop00bert_266/page/n87 72]|title=Convex Analysis and Optimization|url=https://archive.org/details/convexanalysisop00bert_266|author=Dimitri Bertsekas|others=Contributors: Angelia Nedic and Asuman E. Ozdaglar|publisher=Athena Scientific|year=2003|isbn=9781886529458}}</ref>
:<math> ( \nabla f(x) - \nabla f(y) )^T (x-y) \ge m \|x-y\|_2^2 </math>
або більш загально,
:<math> \langle \nabla f(x) - \nabla f(y),  (x-y) \rangle \ge m \|x-y\|^2 </math>
де <math>\|\cdot\|</math> будь-яка [[Норма (математика)|норма]].

==Операції, що зберігають опуклість==
*Якщо {{mvar|f}} і {{mvar|g}} є опуклими функціями, тоді <math>m(x) = \max\{f(x),g(x)\}</math> і <math>h(x) = f(x) + g(x)</math> також опуклі.
*Якщо {{mvar|f}} і {{mvar|g}} є опуклими функціями і {{mvar|g}} є неспадною, тоді <math>h(x) = g(f(x))</math> є опуклою. Наприклад, якщо {{math|''f''(''x'')}} є опуклою, тоді <math>e^{f(x)}</math>, також опукла, тому що <math>e^x</math> є опуклою і монотонно висхідною.
*Якщо {{mvar|f}} є угнутою і {{mvar|g}} є опуклою і невисхідною, тоді <math>h(x) = g(f(x))</math> є опуклою.
*Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо {{math|''f''}} є опуклою із [[Область визначення|областю визначення]] <math>D_f \subseteq \mathbf{R}^m</math>, тоді <math>g(x) = f(Ax+b)</math> також опукла, де <math>A\in\mathbf{R}^{m \times n}, b\in\mathbf{R}^m</math> з областю визначення <math>D_g \subseteq \mathbf{R}^n</math>.
*Якщо {{math|''f''(''x'', ''y'')}} є опуклою по {{mvar|x}} тоді <math>g(x) = \sup_{y\in C} f(x,y)</math> є опуклою по ''x'', якщо <math>g(x) > -\infty</math> для якогось {{mvar|x}}, навіть якщо ''C'' не є опуклою множиною.
*Якщо {{math|''f''(''x'')}} є опуклою, тоді її перспектива <math>g(x, t) = t f(x/t)</math> (чия область визначення&nbsp;— <math>\left\lbrace (x, t) | \tfrac{x}{t} \in \text{Dom}(f), t > 0 \right\rbrace</math>) є опуклою.
* [[Протилежне число|Протилежна]] до опуклої функції функція є [[угнута функція|угнутою]].
* Якщо <math> f(x) </math> є опуклою дійснозначимою функцією, тоді <math> f(x) = \sup_n (a_nx + b_n) </math> для зліченного набору дійсних чисел <math> (a_n, b_n) .</math>

== Див. також ==
* [[Увігнута функція]]
* [[Точка перегину]]
* [[Опукла множина]]
* [[Задача опуклого програмування]]
* [[Квазіопукла функція]]
* [[Субдиференціал]]
* [[Опуклий аналіз]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Опуклість та вгнутість функції|сторінки=317}}
* [[Енциклопедія кібернетики]], [[Пшеничний Борис Миколайович|Пшеничний Б. М.]], т. '''1''', ст. 198.

{{Math-stub}}

[[Категорія:Опуклий аналіз]]
[[Категорія:Типи функцій]]