Перегляд вихідного коду сторінки Оператор сліду

[[Файл:Trace_operator_illustration.png|right|thumb|Функція, визначена на прямокутнику (вгорі&nbsp;— червоний колір) та її слід (червоний внизу)]]
'''Оператор сліду''' — розширення поняття [[звуження функції]] на границю області для класичних функцій на випадок класів функцій із [[Простір Соболєва|просторів Соболєва]].

Якщо <math>\Omega </math>&nbsp;— область в [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] <math>\R^n</math> і функція <math>U \in C(\bar{\Omega }) </math>, то <math>U</math> приймає значення на границі <math>\partial \Omega </math> , яке позначається <math>U|_{d\Omega }</math>. Виникає питання: чи можна визначити коректно значення на границі <math>\partial \Omega</math> для довільної функції <math>U \in W^{1,p}(\Omega )</math> (така функція не є [[Неперервна функція|неперервною]] та визначається з точністю до [[Міра множини|міри нуль]], а [[міра Лебега]] множини <math>\partial \Omega</math> дорівнює нулю).

== Теорема ==
 Нехай <math>\Omega </math> — обмежена область і <math>\partial \Omega </math> є <math>C^1; p\in[1,\infty)</math>. Тоді існує такий [[лінійний оператор]] 
<math>T:W^{1,p}(\Omega ) \mapsto L^p(\partial \Omega ) </math>, що:
     1)<math>T_U=U|_{d\Omega }</math>, якщо <math>U \in W^{1,p}(\Omega ) \cap C(\bar{\Omega })</math>;
     2)<math>\exists C>0 \forall U \in W^{1,p}(\Omega ): \|T_U\|_{L^p(\partial \Omega )} \leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}</math>.

== Означення ==
 Оператор <math>T</math> визначений у теоремі, називається '''оператором сліду''', а <math>T_U</math>&nbsp;— '''слідом функції''' на границі <math>\partial \Omega </math>.

== Доведення ==
1. Припустимо спочатку, що <math>U \in C^1(\Omega )</math> і границя області <math>\Omega </math> є плоскою в деякому околі точки <math>x^0</math>, тобто існує таке число <math>r>0</math>, що <math>B_r(x^0) \cap (\bar{\Omega }) = B_r(x^0) \cap \{x: x_n \geqslant 0\} =:B_r^+</math>.

Позначимо <math>B_r^- := B_r(x^0) \cap \{x: x_n \leqslant 0\}. </math>

Виберемо функцію <math>\zeta \in C_0^\infty(B_r(x^0))</math> таку, що <math>\zeta \geqslant 0 </math> на <math>B_r(x^0)</math> і <math>\zeta \equiv 1</math> на <math>B_{r/2}(x^0)</math>. Позначимо <math>\Gamma := B_{r/2}(x^0) \cap \{x: x_n = 0\}</math> i <math>x^\prime = (x_1,...,x_{n-1}) \in \R^{n-1} = \{x_n=0 \}</math>. Застосовуючи [[нерівність Юнга]], виводимо
      <math> \int\limits_\Gamma|U|^p~dx^\prime \leqslant \int\limits_{\{x_n = 0\}} \zeta|U|^p~dx^\prime  = -\int\limits_{B_r^+}\partial x_n (\zeta |U|^p) dx = - \int\limits_{B_r^+}(|U|^p \partial x_n \zeta+ \zeta p |U|^{p-1}\sgn(U) \partial x_nU )dx \leqslant C\int\limits_{B_r^+}(|U|^p+\sum^{n}_{i=1} |\partial x_iU|^p)dx \leqslant C\| U\|_{W^{1,p}(B_r^+)}^p </math>   (*)

2. Якщо межа не є плоскою в околі <math> B_r(x^0)</math> точки <math>x^0 \in \partial \Omega 
</math>, то розпрямляючи межу за допомогою вектор-відображення <math>F: B_r(x^0) \mapsto \R^n</math> i застосувавши (*) виводимо нерівність
      <math> \int\limits_\Gamma |U|^pd\sigma_x \leqslant C\| U\|_{W^{1,p}(\Omega )}^p</math>
де <math>\Gamma = \partial \Omega  \cap B_{r/2}(x^0) </math>.

3.Оскільки <math>\partial \Omega </math>&nbsp;— [[Компактний простір|компакт]], то існує скінченне число точок <math>x_i^0 \in \partial \Omega , i=1,...N</math> і відкритих множин <math>\Gamma_i</math> , які містять <math>x_i^0</math> і
 
<math>\partial \Omega  \subset \bigcup^N_{i=1}\Gamma_i</math> та <math>\| U\|^p_{L^p(\Gamma_i)} \leqslant C_i\|U\|^p_{W^{1,p}(\Omega )}</math>.
Підсумовуючи останні нерівності за <math>i=1,...N</math> отримаємо нерівність

      <math>\| U\|_{L^p(\partial \Omega )} \leqslant C_i\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}</math>

Для довільної функції <math>U \in C^1(\Omega )</math> визначимо оператор <math>T_U := U|_{\partial \Omega}</math>. Очевидно, що він є лінійним і

      <math>\| T_U\|_{L^p(\partial \Omega )} \leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}</math>  (**)

4. Тепер розглянемо довільну функцію <math>U\in W^{1,p}(\Omega )</math>. Існує [[послідовність]] <math>\{U_m\}_{m=1}^\infty \subset C^\infty (\bar \Omega )</math> така, що

<math>U_m \longrightarrow U</math> в <math>W^{1,p}(\Omega )</math> при <math>m \longrightarrow +\infty</math>

Для кожної функції <math>U_m</math> визначена функція <math>T_{U_m} \in L^p(\partial \Omega )</math> і має місце нерівність (**). Тоді

      <math>\|T_{U_m} - T_{U_k}\|_{L^p(\partial \Omega )} \leqslant C\|U_m-U_k\|_{W^{1,p}( \Omega )}</math>.

Отже, <math>\{T_{U_m}\}_{m=1}^\infty</math>&nbsp;— [[фундаментальна послідовність]] у <math>L^p(\partial \Omega )</math>. Границею цієї послідовності позначимо через <math>T_U</math>, тобто <math>T_U :=\lim_{m \mapsto \infty}T_{U_m}</math>. Очевидно, що дана границя не залежить від вибору апроксимуючої послідовності. Перейшовши до границі в нерівності
  
<math>\|T_{U_m}\|_{L^p(\partial \Omega )} \leqslant C \|U_m\|_{W^{1,p}(\Omega )}</math> при <math> m \longrightarrow \infty</math>, отримаємо
     <math>\|T_U\|_{{L^p}(\partial \Omega )} \leqslant C \|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}</math>.   <math> \Box </math>

== Див. також ==
* [[Звуження функції]]
* [[Простір Соболєва]]

== Література ==
''[[Мельник Тарас Анатолійович|&nbsp;Мельник Т.А]], Креневич А.П.'' [http://www.matfiz.univ.kiev.ua/uploads/books/Melnik_Krenevych_Sobolev_spaces_and_generalized_solutions_of_boundary_value_problems.pdf Теорія просторів Соболєва та узагальнені розв’язки крайових задач: підручник] – К.: ВПЦ "Київський Університет", 2017.
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Простори Соболєва]]