Перегляд вихідного коду сторінки Ознаки збіжності

{{Числення|expanded=Рядів}}
'''Ознаки збіжності''' рядів — ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового [[Ряд (математика)|ряду]]. Нехай дано ряд
:<math>U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+\dots+U_n+\cdots. \qquad (1)</math>
Частковими сумами цього ряду будуть:
:<math>S_1=U_1, \qquad S_2=U_1+U_2, \qquad S_3=U_1+U_2+U_3, \qquad \dots, \qquad S_n=U_1+U_2+\dots+U_n.</math>
Ряд (1) є '''збіжним''', якщо існує скінченна границя [[Послідовність (математика)|послідовності]] його часткових сум, тобто
:<math>\lim_{n \to \infty}S_n=S.</math>
Число <math>S</math> є сумою ряду, отже:
:<math>U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+\dots+U_n+\dots=\sum_{n=1}^\infty U_n=S.</math>
Коли ж [[границя]] часткових сум не існує або дорівнює [[Нескінченність в математиці|нескінченності]], то ряд є '''розбіжним'''.

== Класифікація ознак збіжності ==
Ознаки збіжності рядів поділяються на необхідні й достатні.

'''Необхідна умова збіжності''' означає:
* якщо вона виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним,
* якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним.
Можна сказати, що необхідна умова збіжності ряду є достатньою умовою його розбіжності.

'''Достатня умова збіжності''' означає:
* якщо вона виконується, то ряд є збіжним,
* якщо вона не виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним.
У залежності від того, збіжність яких рядів доводиться, ознаки поділяються на ознаки збіжності для [[знакододатний ряд|знакододатних рядів]], [[знакопереміжний ряд|знакопереміжних рядів]], [[функціональний ряд|функціональних рядів]], [[Ряд Фур'є|рядів Фур'є]].

==Список ознак==
=== Необхідна умова збіжності ===
{{main|Границя доданків ряду}}
Якщо границя послідовності утвореної членами ряду є невизначеною або відмінною від нуля, так що <math>\lim\limits _{n\to \infty }a_{n}\neq 0</math>, то ряд є розбіжним. У цьому сенсі, часткові суми ряду утворюють  [[Фундаментальна послідовність|фундаментальну послідовність]] [[Тоді й лише тоді|лише тоді]] , коли ця границя існує та рівна нулю. Ця ознака не є достатньою: про збіжність або розбіжність ряду не можна стверджувати на основі цієї ознаки, якщо граничне значення члену ряду рівне нулю.

== Критерій збіжності ==
{{main|Критерій збіжності додатного ряду}}
Додатній ряд <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> збігається [[тоді й лише тоді]], коли [[послідовність]] його [[часткова сума|часткових сум]] <math>S(n)=\sum_{k=1}^n a_k</math> обмежена зверху.

=== Ознаки порівняння ===
{{main|Пряма ознака порівняння}}
Якщо ряд <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}</math> є [[Абсолютна збіжність|абсолютно збіжним]] та <math>|a_{n}|\leq |b_{n}|</math> для достатньо великих <math>n</math>, то ряд <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}</math> є абсолютно збіжним.

{{main|Гранична ознака порівняння}}
Якщо <math>\{a_n\},\{b_n\}>0</math> (тобто всі елементи обох послідовностей додатні) та границя <math>\lim\limits_{t \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}</math> існує, є скінченною та відмінною від нуля, тоді ряд <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}</math> є розбіжним [[тоді й лише тоді]], коли ряд <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}</math> є розбіжним.

=== Ознака д'Аламбера ===
{{main|Ознака д'Аламбера}}
Припустимо, що існує таке <math>r</math>, що  <math>\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.</math>

Якщо <math>r<1</math>, то ряд є абсолютно збіжним. Якщо <math> r > 1 </math>, то ряд є розбіжним. Якщо <math> r = 1 </math>, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

=== Радикальна ознака Коші ===
{{main|Радикальна ознака Коші}}
Нехай  <math>r=\limsup_{n \to \infty}{\sqrt[n]{|a_{n}|}},</math>  де <math>\limsup</math>  позначає [[Верхня і нижня границі|верхню границю послідовності]] (можливо <math>\infty</math>; якщо границя існує, то вона має таке ж значення).

Якщо <math>r<1</math>, то ряд є збіжним. Якщо <math>r>1</math>, то ряд є розбіжним. Якщо <math>r = 1</math>, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Радикальна ознака є більш сильною ніж ознака д'Аламбера: якщо збіжність (розбіжність) доведена на основі ознаки д'Аламбера то вона завжди може бути доведена і на основі радикальної ознаки Коші , але не навпаки.<ref>{{cite web|url=http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/t_ratio.html|title=MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test|first=Bert G.|last=Wachsmuth|website=www.mathcs.org}}</ref> Наприклад, ряд  <math> 1 + 1 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}25 + 0{,}125 + 0{,}125 + \cdots = 4</math>  є збіжним за радикальною ознакою, але за ознакою д'Аламбера про збіжність (розбіжність) цього ряду стверджувати не можна.

=== Інтегральна ознака Маклорена — Коші ===
{{main|Інтегральна ознака Маклорена — Коші}}
Ряд можна порівнювати із інтегралом, для того, щоб визначити збіжність або розбіжність. Нехай <math>f\colon [1,\infty)\rightarrow \mathbb{R}_{+}</math> невід'ємна та [[Монотонна функція|монотонно-спадна функція]], така що <math>f(n)=a_{n}</math>. Якщо <math>\int_{1}^{\infty}f(x)\,{\rm d}x = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t}f(x)\,{\rm d}x < \infty,</math>  то ряд є збіжним. Але якщо інтеграл є розбіжним, то ряд також є розбіжним. Іншими словами, ряд <math>\sum \limits _{n=1}^{\infty} a_{n}</math> є збіжним [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]], коли відповідний [[невласний інтеграл]] є збіжним.

==== Ознака збіжності узагальнених гармонічних рядів ====
{{main|Гармонічний ряд}}
Загальновживаним наслідком інтегральної ознаки є ознака збіжності для узагальненого гармонічного ряду. Нехай <math>k>0</math>. Тоді  <math>\sum_{n=k}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{p}}\right)</math>  збігається, якщо  <math>p > 1</math>. При <math>p = 1</math>, <math>k = 1</math> отримуємо гармонічний ряд, який є розбіжним.  При <math>p = 2</math>, <math>k = 1</math>  отримуємо [[Ряд обернених квадратів|ряд обернених квадратів]] (задача Базеля) і цей ряд є збіжним до <math>\frac{\pi^2}{6}</math>. У загальному випадку, для <math>p > 1</math>, <math>k = 1</math> ряд співпадає з [[Дзета-функція Рімана|дзета-функцією Рімана]] від <math>p</math>, тобто <math>\zeta(p)</math>.

=== Ознака стиснення Коші ===
{{main|Ознака стиснення Коші}}
Нехай <math>\{a_n\}</math> є незростаючою послідовністю. Тоді сума <math>A=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}</math> збігається [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]], коли сума <math>A^{*}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}</math> збігається. Більше того, якщо вони збігаються, то справедлива нерівність <math>A\leq A^{*}\leq 2A</math>.

=== Ознака Абеля ===
{{main|Ознака Абеля}}
Нехай справедливі наступні твердження:
* <math>\sum a_n</math> – збіжний ряд,
* <math>\{b_{n}\}</math> є монотонною послідовністю та
* <math>\{b_{n}\}</math> є обмеженою.
Тоді ряд <math>\sum a_{n}b_{n}</math> також є збіжним.

=== Ознака абсолютної збіжності ===
Будь-який [[Абсолютна збіжність|абсолютно збіжний]] ряд є збіжним.

=== Ознака Лейбніца ===
{{main|Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів}}
Припустимо, що справедливі наступні твердження:
* <math>\lim\limits_{n \to \infty}a_n = 0</math> та
* для будь-якого <math>n</math>, <math>a_{n+1} \leq a_n</math>.
Тоді ряди <math>\sum\limits_{n=k}^{\infty} (-1)^{n}a_{n}</math> та <math>\sum\limits_{n=k}^{\infty} (-1)^{n+1}a_{n}</math> є збіжними.

===Ознака Діріхле===
{{main|Ознака Діріхле}}
Якщо <math>\{a_{n}\}</math> [[Послідовність|послідовність]] [[Дійсне число|дійсних чисел]] та <math>\{b_{n}\}</math> послідовність [[Комплексне число|комплексних чисел]], які задовольняють такі умови:
* <math>a_{n}\geq a_{n+1}</math>,
* <math>\lim\limits_{n \to \infty}a_{n} = 0</math>,
* <math>\bigg|\sum\limits_{n=1}^{N}b_n\bigg|\leq M</math>, для всякого натурального <math>N</math>,
де <math>M</math> – деяка стала, тоді ряд  <math> \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}</math>  є збіжним.

=== Ознака Раабе–Дюамеля ===
{{main|Ознака Раабе–Дюамеля}}
Нехай <math>a_n > 0</math>. Визначимо <math>b_n</math> як  <math> b_n=n\left( \frac{a_n}{a_{n+1}-1}\right),</math>  якщо  <math> L = \lim_{n \to \infty} b_n</math>  існує, то можливі такі варіанти:
* <math>L > 1</math> — ряд є збіжним,
* <math>L < 1</math> — ряд є розбіжним,
* <math>L = 1</math> — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.
Існує альтернативне формулювання цієї ознаки. Нехай <math>\{a_n\}</math> - послідовність дійсних чисел. Тоді, якщо існують такі <math>b > 1</math> та <math>K</math> ([[Натуральні числа|натуральне число]]), що
:<math>\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \leq 1 - \frac{b}{n}</math>, для всіх <math>n > K,</math>
то ряд <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}</math> є збіжним.

=== Ознака Бертрана===
{{main|{{li|Ознака Бертрана|Ознака Бертрана|Q1789454}} }}
Нехай <math>\{a_n\}</math> послідовність [[Додатне число|додатних чисел]].  Визначимо <math>b_n</math> як
:<math>b_n = \ln{n} \left( n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1 \right).</math>
Якщо
:<math>L = \lim_{n \to \infty} b_{n}</math>
існує, то можливі такі випадки:<ref>František Ďuriš, ''[http://oldwww.dcs.fmph.uniba.sk/bakalarky/obhajene/getfile.php/new.pdf?id=90&fid=228&type=application%2Fpdf Infinite series: Convergence tests]'', pp. 24–9.  Bachelor's thesis.</ref><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsTest.html|title=Bertrand's Test|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-04-16}}</ref>
* <math>L > 1</math> — ряд є збіжним,
* <math>L < 1</math> — ряд є розбіжним,
* <math>L = 1</math> — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.

=== Ознака Гауса ===
{{main|{{li|Ознака Гауса|Ознака Гауса|Q727729}} }}
Нехай <math>\{a_n\}</math> послідовність додатних чисел. Якщо  <math>\frac{a_n}{a_{n+1}} = 1 + \frac{\alpha}{n}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{\beta}}\right),</math>  для певного <math>\beta > 1</math>, то ряд <math>\sum a_n</math> є збіжним, якщо <math>\alpha > 1</math>, і є розбіжним, якщо <math>\alpha \leq 1</math>.<ref>* {{SpringerEOM |id=Gauss_criterion&oldid=39905 |title=Gauss criterion}}</ref>

=== Ознака Куммера ===
Нехай { ''a''<sub>''n''</sub> } - послідовність додатніх чисел. Тоді:<ref>{{Cite journal|date=1835-01-01|title=Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen.|url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1835.13.171/html|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=1835|issue=13|pages=171–184|doi=10.1515/crll.1835.13.171|s2cid=121050774|issn=0075-4102}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Tong|first=Jingcheng|date=1994|title=Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series|url=https://www.jstor.org/stable/2974907|journal=The American Mathematical Monthly|volume=101|issue=5|pages=450–452|doi=10.2307/2974907|jstor=2974907}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Samelson|first=Hans|date=1995|title=More on Kummer's Test|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.1995.12004667|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=102|issue=9|pages=817–818|doi=10.1080/00029890.1995.12004667|issn=0002-9890}}</ref>

(1)  <math> \sum a_n</math> є збіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність <math>b_{n}</math> додатніх чисел і дійсне число ''c'' > 0 таке що <math>b_k (a_{k}/a_{k+1}) - b_{k+1} \ge c</math>.

(2)  <math> \sum a_n</math> є розбіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність <math>b_{n}</math> додатніх чисел таких що <math>b_k (a_{k}/a_{k+1}) - b_{k+1} \le 0</math>

і <math> \sum 1/b_{n}</math> розбігається.

===Примітки===
* Для деяких особливих типів рядів є більш спеціалізовані ознаки. Наприклад, для [[Ряд Фур'є|рядів Фур'є]] існує [[ознака Діні]].

==Приклади==
Розглянемо ряд
{{NumBlk|:|<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}.</math>|{{EquationRef|i}}}}
З [[Ознака стиснення Коші|ознаки стиснення Коші]] випливає, що ({{EquationNote|i}}) є скінченно збіжним, якщо
{{NumBlk|:|<math> \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n}\right)^\alpha </math>|{{EquationRef|ii}}}} 
є скінченно збіжним. Оскільки 
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\left(\frac{1}{2^{n}}\right)^{\alpha}=\sum_{n=1}^{\infty}2^{n-na}=\sum_{n=1}^{\infty}2^{(1-a)n},</math>
то ({{EquationNote|ii}}) є геометричним рядом  зі знаменником <math>2^{(1-\alpha)}</math>. ({{EquationNote|ii}}) є скінченно збіжним, коли [[знаменник]] геометричного ряду менший від одиниці (а саме, коли <math>\alpha>1</math>). Отже, ({{EquationNote|i}}) є скінченно збіжним [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]], коли <math>\alpha>1</math>.

==Збіжність добутків==
Хоча більшість ознак визначають збіжність (розбіжність) нескінченних рядів, вони також можуть бути застосовані для визначення збіжності чи розбіжності [[Нескінченний добуток|нескінченних добутків]]. Цього можна досягти шляхом застосування наступної теореми: нехай <math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</math> послідовність додатних чисел. Тоді нескінченний добуток

<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n)</math> є збіжним [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]], коли ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n\quad \text{є збіжним.}</math> Аналогічно,  якщо виконується умова <math>0<a_n<1</math>, то <math>\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1-a_n)</math> прямує до відмінної від нуля границі тоді і лише тоді, коли  ряд <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n</math> є збіжним.
Це може бути доведено за допомогою логарифмування добутку та застосування ознаки граничного порівняння.<ref>{{cite web|url=https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/26/convergence-of-infinite-products/|title=Convergence of Infinite Products|first=Jim|last=Belk|date=26 січня 2008}}</ref>

== Див. також ==
* [[Числовий ряд]]
* [[Абсолютна збіжність]]
* [[Правило Лопіталя]]
* {{нп|Shift rule|Правило зсуву}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* Wachsmuth, Bert G. [http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/t_ratio.html «MathCS.org&nbsp;— Real Analysis: Ratio Test]»[http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/t_ratio.html]. www.mathcs.org.
* František Ďuriš, [http://oldwww.dcs.fmph.uniba.sk/bakalarky/obhajene/getfile.php/new.pdf?id=90&fid=228&type=application\%2Fpdf Infinite series: Convergence tests], pp. 24–9. Bachelor's thesis
* {{MathWorld|urlname=BertrandsTest}}
* «[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Gauss_criterion Gauss criterion]»[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Gauss_criterion], «[[Encyclopedia of Mathematics]]», [[Європейське математичне товариство#Публікації|«EMS Press]]», 2001 [1994]
* Belk, Jim (26 January 2008)."[https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/26/convergence-of-infinite-products/ Convergence of Infinite Products]"[https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/26/convergence-of-infinite-products/]
* {{cite book
|first=
|last=
|author-link={{нп|Louis Leithold}}
|title=The Calculus, with Analytic Geometry
|url=https://archive.org/details/calculuswithanal00leit_460
|location=New York
|publisher=Harper & Row
|edition=2nd
|year=1972
|isbn=0-06-043959-9
|pages=[https://archive.org/details/calculuswithanal00leit_460/page/n669 655]–737
}}

== Посилання ==
* [http://www.essuir.sumdu.edu.ua/retrieve/44907/Ogloblina.pdf Вища математика, О. І. Оглобліна, Л. І. Брацихіна]
* [http://www.math.tamu.edu/~austin/serieschart.pdf Flowchart for choosing convergence test]

{{Ознаки збіжності рядів}}

[[Категорія:Ознаки збіжності]]
[[Категорія:Ряди та послідовності]]