Перегляд вихідного коду сторінки Ознака д'Аламбера

{{Числення|expanded=Рядів}}
'''Ознака Д’Аламбера''' — [[ознаки збіжності|ознака збіжності]] [[числовий ряд|числових рядів]] встановлена [[Жан Лерон д'Аламбер|Жаном Д’Аламбером]] в [[1768]] році:

{{рамка}}
Якщо для числового ряду
: <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
існує таке число <math>q</math>, <math>0 < q < 1</math>, що починаючи з
деякого номера виконується [[нерівність]]
: <math>\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \le q,</math>
то даний ряд [[абсолютна збіжність|абсолютно збігається]]; якщо ж, починаючи
з деякого номера
: <math>\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \ge 1,</math>
то ряд розбігається.    
{{/рамка}}

Зокрема, якщо існує границя

{{NumBlk|:|<math>\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right|,</math>|{{EquationRef|1}}}}

то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо <math>\rho < 1</math>, а якщо <math>\rho > 1</math> — розбіжний (''ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі''). Якщо <math>\rho = 1</math> або границя не існує - тест не дає результату, бо ряди які відповідають таким випадкам можуть бути як збіжні, так і розбіжні.

Ознаку д'Аламбера можна застосувати і в випадках, коли границя <math>\rho</math> не існує або дорівнює одиниці, якщо використати [[Верхня і нижня границі|верхню і нижню границі]]. Нехай:

:<math>R = \varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math>
:<math>r = \varliminf_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math>.

Тоді:<ref>{{harvnb|Rudin|1976|loc=§3.34}}</ref><ref>{{harvnb|Apostol|1974|loc=§8.14}}</ref>
* якщо ''R'' < 1, ряд абсолютно збіжний;
* якщо ''r'' > 1, ряд розбіжний;
* якщо <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge 1</math> для всіх великих ''n'' (незалежно від значення ''r''), ряд теж розбіжний тому що <math>|a_n|</math> ненульове і зрозстаюче, а тому {{mvar|a<sub>n</sub>}} не наближається до нуля;
* інакше результат не визначений.

Якщо границя <math>\rho</math> в ({{EquationNote|1}}) існує, то <math>\rho = R = r</math>. Таким чином ознака з верхньою і нижньою границею включає в себе ознаку зі звичайною границею.


== Приклади ==
1. Ряд
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {n!}</math>
абсолютно збіжний для всіх комплексних <math>z</math>, бо
: <math>\lim \left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right|
        = \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,</math>
2. Ряд
: <math>\sum_{n=0}^\infty n! \; z^n</math> 
розбігається при всіх <math>z\not=0</math>, бо
: <math>\lim \left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right|
        = \lim |(n+1)z| = \infty.</math>

3. Якщо <math>\rho = 1</math>, то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac 1 n</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;і &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n^2}</math>
задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.

== Розширення для ρ = 1 ==
Як було видно вище, ознака не визначена коли границя дорівнює 1. Розширення ознаки д'Аламбера іноді дозволяють розібратися з такими випадками.<ref name="Bromwich1908">{{cite book |last=Bromwich |first=T. J. I'A |date=1908 |title=An Introduction To The Theory of Infinite Series |publisher=Merchant Books |author-link= Thomas John I'Anson Bromwich}}</ref><ref name="Knopp">{{cite book |last=Knopp |first=Konrad |date=1954 |title=Theory and Application of Infinite Series |url=https://archive.org/details/theoryandapplica031692mbp/page/n5 |location=London |publisher=Blackie & Son Ltd. |author-link=Konrad Knopp }}</ref><ref name="Tong1994">
{{cite journal |last1=Tong |first1=Jingcheng|date=May 1994|title=Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1994-05_101_5/page/450 |jstor=2974907|journal=The American Mathematical Monthly |volume=101 |issue=5 |pages=450–452 |doi=10.2307/2974907 }}</ref><ref name="Ali2008">{{cite journal |last1=Ali |first1=Sayel A. |date=2008 |title=The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series |url=http://web.mnstate.edu/alis/mth_ratio_test_monthly514-524.pdf |journal=The American Mathematical Monthly |volume=115 |issue=6 |pages=514–524 |doi=10.1080/00029890.2008.11920558 |s2cid=16336333 |access-date=21 листопада 2018 |url-status=dead }}</ref><ref name="Samelson1995">
{{cite journal |last1=Samelson |first1=Hans|date=November 1995|title=More on Kummer's Test|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1995-11_102_9/page/817 |jstor=2974510|journal=The American Mathematical Monthly |volume=102 |issue=9 |pages=817–818 |doi=10.2307/2974510 }}</ref><ref name="Blackburn2012">{{cite web |url= http://sites.math.washington.edu/~morrow/336_12/papers/kyle.pdf|title= The mth Ratio Convergence Test and Other Unconventional Convergence Tests|last= Blackburn|first=Kyle |date=4 травня 2012 |publisher=University of Washington College of Arts and Sciences |access-date= 27 листопада 2018 }}</ref><ref name="Duris2009">{{cite thesis |last1=Ďuriš |first1=František |date=2009 |title=Infinite series: Convergence tests |type=Bachelor's thesis |publisher=Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava |url= http://www.dcs.fmph.uniba.sk/bakalarky/obhajene/Detail.php?id=90|access-date= 28 листопада 2018 }}</ref><ref name="Duris2018">{{cite arXiv |last1=Ďuriš |first1=František |date= 2 лютого 2018 |title=On Kummer's test of convergence and its relation to basic comparison tests |eprint=1612.05167 |class=math.HO }}</ref>

У всіх ознаках нижче, вважаємо що Σ''a''<sub>''n''</sub> це сума додатніх ''a''<sub>''n''</sub>. Такі ознаки можна також застосовувати до будь-яких рядів зі скінченним числом від'ємних членів. Такі ряди можна записати як:

:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^N a_n+\sum_{n=N+1}^\infty a_n</math>

де ''a<sub>N</sub>'' - це від'ємний елемент з найбільшим індексом. <!-- The first expression on the right is a partial sum which will be finite, and so the convergence of the entire series will be determined by the convergence properties of the second expression on the right, which may be re-indexed to form a series of all positive terms beginning at ''n''=1.

Each test defines a test parameter (ρ<sub>n</sub>) which specifies the behavior of that parameter needed to establish convergence or divergence. For each test, a weaker form of the test exists which will instead place restrictions upon lim<sub>n->∞</sub>ρ<sub>n</sub>.

All of the tests have regions in which they fail to describe the convergence properties of Σa<sub>n</sub>. In fact, no convergence test can fully describe the convergence properties of the series.<ref name="Bromwich1908"/><ref name="Duris2009"/> This is because if Σa<sub>n</sub> is convergent, a second convergent series Σb<sub>n</sub> can be found which converges more slowly: i.e., it has the property that lim<sub>n->∞</sub> (b<sub>n</sub>/a<sub>n</sub>) = ∞. Furthermore, if Σa<sub>n</sub> is divergent, a second divergent series Σb<sub>n</sub> can be found which diverges more slowly: i.e., it has the property that lim<sub>n->∞</sub> (b<sub>n</sub>/a<sub>n</sub>) = 0. Convergence tests essentially use the comparison test on some particular family of a<sub>n</sub>, and fail for sequences which converge or diverge more slowly. -->

{{section-stub}}

== Див. також ==
* [[Радикальна ознака Коші]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Ознака Даламбера (теорема)|сторінки=505}}
*{{citation | last1=d'Alembert| first1=J.|author-link=Jean le Rond d'Alembert| year=1768 | title=Opuscules |volume=V|pages=171–183| url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192}}.
*{{Citation | last1=Apostol | first1=Tom M. | author1-link=Tom M. Apostol | title=Mathematical analysis | publisher=[[Addison-Wesley]] | edition=2nd | isbn=978-0-201-00288-1 | year=1974}}: §8.14.
* {{citation<!--Deny Citation Bot-->|last=Knopp|first=Konrad|title=Infinite Sequences and Series|location=New York |publisher=Dover Publications|year=1956|isbn=978-0-486-60153-3|bibcode=1956iss..book.....K}}: §3.3, 5.4.
* {{citation|last=Rudin|first=Walter|author-link=Walter Rudin|title=Principles of Mathematical Analysis|edition=3rd|publisher=McGraw-Hill, Inc.|location=New York|year=1976|isbn=978-0-07-054235-8}}: §3.34.
* {{springer|title=Bertrand criterion|id=p/b015780}}
* {{springer|title=Gauss criterion|id=p/g043420}}
* {{springer|title=Kummer criterion|id=p/k055950}}
* {{citation|last2=Whittaker|first2=E. T.|last1=Watson|first1=G. N.|title=A Course in Modern Analysis|edition=4th|publisher=Cambridge University Press|year=1963|isbn=978-0-521-58807-2}}: §2.36, 2.37.

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Ознаки збіжності рядів}}

[[Категорія:Ознаки збіжності]]