Перегляд вихідного коду сторінки Однорідні диференціальні рівняння

{{Диференціальні рівняння|Види рівнянь}}
[[Диференціальне рівняння]] називається '''однорідним''' у одному з двох аспектів.

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку називається ''однорідним'', якщо його можна записати у вигляді
:<math> f(x,y) \mathrm{d}y=g(x,y) \mathrm{d}x, </math>
де <math>f</math> та <math>g</math> &nbsp;— [[Однорідна функція|однорідні функції]] від <math>x</math> і <math>y</math> однакового степеня.<ref name="Zill2012">{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=A First Course in Differential Equations with Modeling Applications|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&q=homogeneous|date=15 березня 2012|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-285-40110-2}}</ref> У цьому випадку підстановка <math>y=ux</math> приводить до рівняння вигляду
:<math>\frac{\mathrm{d}x}{x}=h(u) \mathrm{d}u,</math>
що легко розв'язується [[Інтеграл|інтегруванням]] лівої та правої частин.

Інакше, диференціальне рівняння називається ''однорідним'', якщо воно є однорідною функцією від невідомої функції та її похідних.
У випадку [[Лінійне диференціальне рівняння|лінійних диференціальних рівнянь]] це означає відсутність вільного члена.
Таким чином, рівняння
:<math>a_n(x)y^{(n)}+ \cdots +a_2(x)y''+ a_1(x)y' +a_0(x)y = b(x)</math>
є однорідним, якщо <math>b(x)\equiv0</math>.  У випадку <math>b(x)\neq0</math> таке рівняння називають ''неоднорідним''.

Розв'язки будь-якого лінійного [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайного диференціального рівняння]] будь-якого порядку можна вивести інтегруванням з розв'язку відповідного однорідного рівняння, отриманого вилученням вільного члена.

==Історія==

Поняття ''однорідності'' було вперше застосовано до диференціальних рівнянь [[Йоганн Бернуллі|Йоганном Бернуллі]] у дев'ятому розділі його статті 1726 року ''De integraionibus aequationum differentialium'' (Про інтегрування диференціальних рівнянь).<ref>{{cite journal |date=June 1726 |title=De integraionibus aequationum differentialium |url=https://archive.org/details/commentariiacade01impe |journal=Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae |volume=1|pages=167–184}}</ref>

==Однорідні диференціальні рівняння першого порядку==
[[Звичайне диференціальне рівняння]] першого порядку вигляду

:<math>M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0</math>

є однорідним, якщо обидві функції <math>M(x,y),~N(x,y)</math> є [[Однорідна функція|однорідними]] однакового степеня <math>n</math>.
Таким чином, помноживши кожну змінну на параметр <math>\lambda</math>, маємо

:<math>M(\lambda x, \lambda y)= \lambda ^{n}M(x,y)</math> і

:<math>N(\lambda x, \lambda y)= \lambda ^{n}N(x,y) .</math>

Отже,

:<math>\frac{M(\lambda x, \lambda y)}{N( \lambda x, \lambda y)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}.</math>

===Спосіб розв'язання===

У співвідношенні
 
:<math>\frac{M( t x, t y)}{N( t x, t y)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}</math>

покладемо <math>t=\frac{1}{x}</math>, щоб перейти до функції однієї змінної <math>\frac{y}{x}</math>:

:<math>\frac{M(x,y)}{N(x,y)} = \frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)} = \frac{M(1,y/x)}{N(1,y/x)}=f(y/x) .</math>

Тобто

:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -f(y/x).</math>

Робимо [[Підстановка|підстановку]] <math>y=ux</math>; диференціюємо застосовуючи [[правило добутку]]:

:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(ux)}{\mathrm{d}x} = x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} = x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u.</math>

Таким чином, у рівнянні [[Розділення змінних|відокремлено]] змінні:

:<math>x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -f(u) - u</math>

або

:<math>\frac 1x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} = \frac{-1}{f(u) + u},</math>

яке вже можна проінтегрувати.

===Особливий випадок===

Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

:<math>\left(ax + by + c\right) \mathrm{d}x + \left(ex + fy + g\right) \mathrm{d}y = 0,</math>

де <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>e</math>, <math>f</math>, <math>g</math> &nbsp;— константи та <math>af \neq be</math>, може бути зведено до однорідного за допомогою лінійної заміни змінних:

:<math>t=x+ \alpha;\quad z=y+ \beta ,</math>

де <math>\alpha</math> та <math>\beta</math> &nbsp;— константи.

==Лінійні однорідні диференціальні рівняння==
{{seealso|Лінійне диференціальне рівняння}}

Лінійне диференціальне рівняння є '''однорідним''', якщо воно є [[Система лінійних алгебраїчних рівнянь#Множина розв'язків|однорідним лінійним рівнянням]] від невідомої функції та її похідних. 
З цього випливає, що якщо <math>\varphi (x)</math> є розв'язком такого рівняння, то і <math>c\varphi (x)</math> також є його розв'язком для будь-якої відмінної від нуля константи <math>c</math>.
Щоб ця умова виконувалася, кожен ненульовий член лінійного диференціального рівняння повинен залежати від невідомої функції або від будь-якої її похідної.
Лінійне диференціальне рівняння, для якого ця умова не виконується, називається '''неоднорідним'''.

[[Лінійне диференціальне рівняння]] може бути представлене як [[лінійний оператор]], що діє на <math>y(x),</math> де <math>x</math> зазвичай є незалежною змінною, а <math>y</math>  &nbsp;— залежною змінною. 
Таким чином, загальна форма [[Лінійне диференціальне рівняння#Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами|лінійного однорідного диференціального рівняння]] має вигляд

:<math>L(y)=0,</math>

де <math>L</math> &nbsp;— [[диференціальний оператор]], тобто сума похідних (у цьому випадку визначаємо «нульову похідну» як початкову функцію), помножених на функції <math>f_{i}</math>, що залежать від <math>x</math>:

:<math>L = \sum_{i=0}^n f_i(x)\frac{\mathrm{d}^i}{\mathrm{d}x^i}  ,</math>

де функції <math>f_{i}</math> можуть бути константами, але не можуть усі одночасно дорівнювати нулю.

Наприклад, таке лінійне диференціальне рівняння є однорідним:

:<math>\operatorname{tg}(2x) \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + 2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 3y = 0 ,
</math>
тоді як наступні два рівняння є неоднорідними:

:<math>\operatorname{tg}(2x) \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + 2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 3y = \cos(x) ;</math>

:<math>x^3 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} - 3 x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + xy = 2 .</math>

Присутність вільного члена є достатньою умовою того, що рівняння є неоднорідним.

== Див. також ==
* [[Розділення змінних]]
* [[Звичайні диференціальні рівняння]]
* [[Лінійне диференціальне рівняння]]
* [[Інтеграл]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

==Література==
* {{Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння}}
* {{citation | last1=Boyce | first1=William E. | last2=DiPrima | first2=Richard C. | title = Elementary differential equations and boundary value problems | year=2012 | publisher=Wiley | isbn=978-0470458310 | edition=10th}}.
* {{citation | last1=Ince | first1=E. L. | title=Ordinary differential equations | url=https://archive.org/details/ordinarydifferen029666mbp | year=1956 | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=0486603490}}.
* {{cite book|author1=Andrei D. Polyanin|author2=Valentin F. Zaitsev|title=Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems|url=https://books.google.com/books?id=L3JQDwAAQBAJ&q=homogeneous|date=15 листопада 2017|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4665-6940-9}}
* {{cite book|author1=Matthew R. Boelkins|author2=Jack L. Goldberg|author3=Merle C. Potter|title=Differential Equations with Linear Algebra|url=https://books.google.com/books?id=s1-mZMg5fLgC&q=homogeneous&pg=PA274|date=5 листопада 2009|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-973666-9|pages=274–}}

== Посилання ==
*[http://mathworld.wolfram.com/HomogeneousOrdinaryDifferentialEquation.html Homogeneous differential equations at MathWorld]
*[http://en.wikibooks.org/wiki/Ordinary_Differential_Equations/Substitution_1 Wikibooks: Ordinary Differential Equations/Substitution 1]

[[Категорія:Диференціальні рівняння]]
[[Категорія:Звичайні диференціальні рівняння]]