Перегляд вихідного коду сторінки Обмежена множина

'''Обмежена множина''' у [[Математичний аналіз|математичному аналізі]], і прилеглих розділах [[Математика|математики]] — множина, яка у певному сенсі має скінченний розмір. Базовим є поняття обмеженості [[Дійсне число|числової множини]], яке узагальнюється на випадок довільного [[Метричний простір|метричного простору]], а також на випадок довільної [[Частково впорядкована множина|частково упорядкованої множини]]. Поняття обмеженості множини не має сенсу у загальних [[топологічний простір|топологічних просторах]], без [[метричний простір|метрики]].

== Обмежена числова множина ==
Множина дійсних чисел <math>X \subset \mathbb{R}</math> називається ''обмеженою зверху'', якщо існує число <math>b</math>, таке що всі елементи <math>X</math> не перевищують <math>b</math>:
:<math>
\exists b \; \forall x \; (x \in X \Rightarrow x \leqslant b)
</math>

Множина дійсних чисел <math>X \subset \mathbb{R}</math> називається ''обмеженою знизу'', якщо існує число <math>b</math>, таке що всі елементи <math>X</math> не менше <math>b</math>:
<math>
\exists b \; \forall x \; (x\in X \Rightarrow x \geqslant b)
</math>

Множина <math>X \subset \mathbb{R}</math>, обмежена зверху і знизу, називається ''обмеженою''.

Множина <math>X \subset \mathbb{R}</math>, що не є обмеженою, називається ''необмеженою''. Як випливає з означення, множина не обмежена тоді й тільки тоді, коли вона ''не обмежена зверху'' або ''не обмежена знизу''.

Прикладом обмеженої множини є відрізок <math>[a, b] = \{ a \leqslant x \leqslant b\}</math>,
: необмеженої — множина всіх цілих чисел <math>\mathbb{Z} = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}</math>,
: обмеженої зверху, але необмеженої знизу — промінь <math>x < 0</math>,
: обмеженої знизу, але необмеженої зверху — промінь <math>x > 0</math>.

== Варіації та узагальнення ==

=== Обмежена множина у метричному просторі ===

Нехай <math>(X, \rho)</math> — [[метричний простір]]. Множина <math>M \subset X</math> називається ''обмеженої'', якщо вона міститься у деякій [[Куля (метрична геометрія)|кулі]] <math>B_r(a)</math>:
:<math>
\exists a \in X \; \exists (r > 0) \; \forall x \in X (x \in M \Rightarrow \rho(a, x) < r)
</math>
Множина, що не є обмеженою, називається ''необмеженою''.

На відміну від числової прямої, у довільному метричному просторі можна ввести поняття обмеженої зверху й обмеженої знизу множин.

Крім поняття обмеженої множини для довільного метричного простору існує більш спеціальне поняття [[Цілком обмежена множина|цілком обмеженої множини]]. У випадку числових множин це поняття збігається з поняттям обмеженої множини.

=== Обмеженість у частково впорядкованій множині ===
Поняття обмеженої зверху, обмеженої знизу і просто обмеженої множини можна ввести у довільній [[Частково впорядкована множина|частково впорядкованій множині]]. Ці визначення буквально повторюють відповідні визначення для числових множин.

Нехай <math>(P, \leqslant)</math> — частково впорядкована множина, <math>S \subset P</math>. Множена <math>S</math> називається ''обмеженою зверху'', якщо
:<math>
\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \leqslant b)
</math>
''обмеженою знизу'', якщо
:<math>
\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \geqslant b)
</math>
Множина, обмежена і зверху і знизу, називається ''обмеженою''.

== Див. також ==
* [[Супремум]]
* [[Інфімум]]
{{Без джерел|дата=лютий 2025}}
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Метрична геометрія]]