Перегляд вихідного коду сторінки Обернені тригонометричні функції

{{unibox}}{{Вікіфікувати|дата=листопад 2015}}
{{Тригонометрія}}
'''Обернені тригонометричні функції''' (''аркфункції'') — [[функція (математика)|математичні функції]], що є [[обернена функція|оберненими]] до [[тригонометричні функції|тригонометричних функцій]].

До обернених тригонометричних функцій відносять 6 функцій:
* '''аркси́нус''' (''arcsin'')
* '''аркко́синус''' (''arccos'')
* '''аркта́нгенс''' (''arctg''; в іноземній літературі ''arctan'')
* '''арккота́нгенс''' (''arcctg''; в іноземній літературі arccot чи ''arccotan'')
* '''арксе́канс''' (''arcsec'')
* '''арккосе́канс''' (''arccosec''; в іноземній літературі arccsc)

Назва оберненої тригонометричної функції утворюється від назви тригонометриної функції за допомогою префікса «арк-» (від {{lang-la|arc}} — дуга). Це тому, що геометрично значення оберненої тригонометричної функції рівне дузі одиничного кола (чи кутові, що стягує цю дугу), яка опирається на заданий відрізок.

==Основні властивості==

===Головні значення===
Оскільки жодна із тригонометричних функції не є [[Ін'єкція (математика)|однозначною]], вони мають обмеження для того, щоб мати обернені функції. Тому [[Область значень|області значень]] обернених функцій є відповідними [[підмножина]]ми [[область визначення|області визначення]] початкових функцій.

Функцію {{math|''y'' {{=}} arcsin(''x'')}} можна визначити як таку, що sin(''y'') = ''x''. Для даного дійсного числа ''x'', в діапазоні −1 ≤ ''x'' ≤ 1, існує декілька (на справді, нескінченно багато) чисел ''y'', таких що {{math|sin(''y'') {{=}} ''x''}}; наприклад, {{math|sin(0) {{=}} 0}}, але і {{math|sin(&pi;) {{=}} 0}}, {{math|sin(2&pi;) {{=}} 0}}, і так далі. Якщо необхідно отримати лише одне значення, функцію можна обмежити до її головної області. Із таким обмеженням, для кожного ''x'' вираз {{math|arcsin(''x'')}} буде обчислювати лише одне значення, яке називається {{нп|Головне значення функції|головним значенням|en|principal value}}. Ці властивості застосовується до всіх обернених тригонометричних функцій.

Головні області значень зворотніх функцій наведені у таблиці.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
!Назва
!Позначення
!Визначення
!Можливі дійсні значення аргументу функції <br />
![[Область значень]] <br /> ([[радіан]]и)
!Область значень <br /> ([[градус (геометрія)|градуси]])
|-
| '''арксинус''' || ''y'' = arcsin&nbsp;''x'' || ''x'' = [[синус|sin]]&nbsp;''y'' || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || −π/2 ≤ ''y'' ≤ π/2 || −90° ≤ ''y'' ≤ 90°
|-
| '''арккосинус''' || ''y'' = arccos&nbsp;''x'' || ''x'' = [[косинус|cos]]&nbsp;''y'' || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤ π || 0° ≤ ''y'' ≤ 180°
|-
| '''арктангенс''' || ''y'' = arctg&nbsp;''x'' || ''x'' = [[тангенс|tg]]&nbsp;''y'' || всі дійсні числа || −π/2 < ''y'' < π/2 || −90° < ''y'' < 90°
|-
| '''арккотангенс''' || ''y'' = arcctg&nbsp;''x'' ||''x'' = [[котангенс|ctg]]&nbsp;''y'' || всі дійсні числа
|  0 < ''y'' < π || 0° < ''y'' < 180°
|-
| '''арксеканс''' || ''y'' = arcsec&nbsp;''x'' || ''x'' = [[секанс|sec]]&nbsp;''y'' || ''x'' ≤ −1 або 1 ≤ ''x'' ||  0 ≤ ''y'' < π/2  або π/2 < ''y'' ≤ π || 0° ≤ ''y'' < 90° або 90° < ''y'' ≤ 180°
|-
| '''арккосеканс''' || ''y'' = arccosec&nbsp;''x'' || ''x'' = [[косеканс|cosec]]&nbsp;''y'' || ''x'' ≤ −1 або 1 ≤ ''x'' || −π/2 ≤ ''y'' < 0 або 0 < ''y'' ≤ π/2 || -90° ≤ ''y'' < 0° або 0° < ''y'' ≤ 90°
|-
|}

== Основні відношення ==
[[Файл:Arcsine Arccosine.svg|168px|right|thumb|Головні значення функцій arcsin(''x'') та arccos(''x'').]]
[[Файл:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|right|thumb|Головні значення функцій arcsec(''x'') та arccsc(''x'').]]

Доповнювальний кут:
:<math>\arccos{x} = \frac{\pi}{2} - \arcsin{x} </math>
:<math>\arccot{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan{x} </math>
:<math>\arccsc{x} = \frac{\pi}{2} - \arcsec{x} </math>

Від'ємний аргумент:
:<math>\arcsin{(-x)} = - \arcsin{x} \!</math>
:<math>\arccos{(-x)} = \pi - \arccos{x} \!</math>
:<math>\arctan{(-x)} = - \arctan{x} \!</math>
:<math>\arccot{(-x)} = \pi - \arccot{x} \!
</math>
:<math>\arcsec{(-x)} = \pi - \arcsec{x} \!</math>
:<math>\arccsc{(-x)} = - \arccsc{x} \!</math>

[[Обернене число|Обернений]] аргумент:
:<math>\arccos (1/x) \,= \arcsec x \,</math>
:<math>\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \,</math>
:<math>\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x > 0 \,</math>
:<math>\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x < 0 \,</math>
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x > 0 \,</math>
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x < 0 \,</math>
:<math>\arcsec (1/x) = \arccos x \,</math>
:<math>\arccsc (1/x) = \arcsin x \,</math>

Якщо наявна тільки частина таблиці для sine:

:<math>\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if }0 \leq x \leq 1 </math>
:<math>\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} </math>

Із [[формула половинного кута|формули половинного кута]] <math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} </math>, отримаємо:

:<math>\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}</math>
:<math>\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 < x \leq +1 </math>
:<math>\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}</math>

== Відношення між оберненими тригонометричними та тригонометричними функціями ==
Тригонометричні функції, аргументом яких є зворотні тригонометричні функції, приведені в таблиці нижче. Їх можна швидко вивести із геометрії [[Правильний трикутник|правильного трикутника]], одна із сторін якого має довжину 1, а інша сторона має довжину ''x'' (будь-яке [[дійсне число]] що приймає значення від 0 до 1), і застосувавши [[Теорема Піфагора|Теорему Піфагора]] і визначення тригонометричних співвідношень. 

{|class="wikitable"
|-
!<math>\theta</math>
!<math>\sin(\theta)</math>
!<math>\cos(\theta)</math>
!<math>\tan(\theta)</math>
!Діаграми
|-
!<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\sin(\arcsin(x)) = x </math>
|<math>\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\tan(\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse3.svg|150px]]
|-
!<math>\arccos(x)</math>
|<math>\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\cos(\arccos(x)) = x </math>
|<math>\tan(\arccos(x)) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse.svg|150px]]
|-
!<math>\arctan(x)</math>
|<math>\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan(\arctan(x)) = x</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse2.svg|150px]]
|-
!<math>\arccsc(x)</math>
|<math>\sin(\arccsc(x)) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\cos(\arccsc(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\tan(\arccsc(x)) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse5.svg|150px]]
|-
!<math>\arcsec(x)</math>
|<math>\sin(\arcsec(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\cos(\arcsec(x)) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\tan(\arcsec(x)) = \sqrt{x^2-1}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse6.svg|150px]]
|-
!<math>\arccot(x)</math>
|<math>\sin(\arccot(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos(\arccot(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan(\arccot(x)) = \frac{1}{x}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse4.svg|150px]]
|-
|}

== [[Диференціювання тригонометричних функцій]] ==

[[Похідна]] для дійсних та комплексних значень ''x'':
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\
\frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{x\,\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{x\,\sqrt{x^2-1}}
\end{align}</math>
Тільки для дійсних значень ''x'':
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1
\end{align}</math>

Приклад знаходження похідної: нехай <math>\theta = \arcsin x \!</math>, отримаємо:
:<math>\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

==Застосування==
===Знаходження кутів прямокутного трикутника===
[[Image:Trigonometry triangle.svg|right|thumb|Прямокутний трикутник: ''a'' - протилежний катет, ''b'' - прилеглий катет і ''h''- гіпотенуза.]]
Обернені тригонометричні функції є корисними, коли необхідно визначити два не прямі кути [[Прямокутний трикутник|прямокутного трикутника]] при відомих довжинах сторін трикутника. Якщо для прямокутного трикутника згадати визначення синуса, наприклад, буде отримане наступне

:<math>\theta = \arcsin \left( \frac{\text{a}}{\text{h}} \right) \, .</math>

Часто, [[гіпотенуза]] є не відомою і перед застосуванням функцій арксинуса або арккосинуса її необхідно розрахувати використовуючи [[Теорема Піфагора|теорему Піфагора]]: <math>a^2+b^2=h^2</math> де <math>h</math> це довжина гіпотенузи. Арктангенс стає корисним в такій ситуації, оскільки довжина гіпотенузи не є необхідною.

:<math>\theta = \arctan \left( \frac{\text{a}}{\text{b}} \right) \, .</math>

Наприклад, допустимо дах має ''висоту'' в 8 метрів і просувається в ''довжину'' на 20 метрів. Дах утворює кут ''θ'' із горизонталлю, де ''θ'' можна розрахувати наступним чином:

:<math>\theta
= \arctan \left( \frac{\text{a}}{\text{b}} \right)
= \arctan \left( \frac{\text{висота}}{\text{довжина}} \right)
= \arctan \left( \frac{8}{20} \right) \approx 21.8^{\circ} \, .</math>

===У комп'ютерній науці і інженерії===

====Варіант арктангенсу з двома аргументами====

Функція з двома аргументами {{нп|atan2||en|atan2}} розраховує арктангенс ''y'' / ''x'' для заданих ''y'' і ''x'', але в діапазоні (−{{pi}},&nbsp;{{pi}}]. Іншими словами, atan2(''y'',&nbsp;''x'') повертає кут між додатною частиною осі ''x'' на площині і точкою (''x'',&nbsp;''y'') на ній, і повертає додані значення для кутів проти годинникової стрілки ([[Верхня півплощина|верхній півплощині]], ''y''&nbsp;>&nbsp;0), і від'ємні значення для кутів за годинниковою стрілкою (нижньої півплощини, ''y''&nbsp;<&nbsp;0). Вперше така функція з'явилася в комп'ютерних мовах програмування, але зараз вона є відомою і в інших областях науки і інженерії.
 
Через стандартну функцію '''arctan''', у діапазоні (−{{sfrac|{{pi}}|2}}, {{sfrac|{{pi}}|2}}), її можна задати наступним чином:

:<math>\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
  \arctan(\frac y x) & \quad x > 0 \\
  \arctan(\frac y x) + \pi & \quad y \ge 0 \; , \; x < 0 \\
  \arctan(\frac y x) - \pi & \quad y < 0 \; , \; x < 0 \\
  \frac{\pi}{2} & \quad y > 0 \; , \; x = 0 \\
  -\frac{\pi}{2} & \quad y < 0 \; , \; x = 0 \\
  \text{undefined} & \quad y = 0 \; , \; x = 0
\end{cases}</math>

Це також дорівнює {{нп|Головне значення функції|головному значенню|en|principal value}} {{нп|Аргумент (комплексний аналіз)|аргумента|en|arg (mathematics)}} [[Комплексне число|комплексного числа]] ''x''&nbsp;+&nbsp;'''i'''''y''.

Цю функцію також можна визначити із використанням [[Формула тангенса половинного кута|формули тангенса половинного кута]] наступним чином:
:<math>\operatorname{atan2}(y, x) = 2\arctan\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}\right)</math>
за умови, що ''x''&nbsp;>&nbsp;0 або ''y''&nbsp;≠&nbsp;0. Однак, значення буде не коректним якщо x&nbsp;≤&nbsp;0 і y&nbsp;=&nbsp;0 тому такий вираз не є корисним для розрахунків.

Вищезгаданий порядок аргументів (''y'', ''x'') є найбільш загальним, і зокрема використовується в [[Міжнародна організація зі стандартизації|ISO стандартах]] що застосовуються, наприклад в [[C (мова програмування)|мові програмування C]], але деякі автори можуть використовувати порядок навпаки (''x'', ''y''), тому потрібно приділяти увагу.

====Числова точність====
Для кутів близькими за значенням до 0 і {{pi}}, '''arccosine''' є [[Число обумовленості|погано обумовленим]] і тому обчислення кута буде відбуватися із зменшеною точністю при реалізації на комп'ютері (через обмежену кількість розрядів).<ref name="Gade_2010"/> Аналогічно, '''arcsine''' є неточним для кутів близьких до &minus;{{pi}}/2 and {{pi}}/2.

== Див. також ==
* [[Тригонометрія]]
* [[Тригонометричні функції]]
* [[Список тригонометричних тотожностей]]
* [[Таблиця інтегралів тригонометричних функцій]]
* [[Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій]]
* [[Інтегральні тригонометричні функції]]
* [[Обернені гіперболічні функції]]

== Джерела ==
* {{MathWorld |urlname=InverseTrigonometricFunctions|title=Inverse Trigonometric Functions}}
* Аркфункція: від А до Я / О. С. Істер. — Вид. 2-ге. — Тернопіль : Навч. кн.—Богдан, 2012. — 175 с. : іл., табл. ; 20 см. — (Бібліотечка фізико-математичної школи, ISBN 978-966-10-0742-9). — ISBN 978-966-10-2985-8
* {{Клепко_ВМ|частина=Обернені тригонометричні функції|сторінки=182}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}

== Примітки ==
{{reflist|refs=
<ref name="Gade_2010">{{cite journal |author-last=Gade |author-first=Kenneth |date=2010 |title=A non-singular horizontal position representation |journal=The Journal of Navigation |publisher=[[Cambridge University Press]] |volume=63 |issue=3 |pages=395–417 |url=http://www.navlab.net/Publications/A_Nonsingular_Horizontal_Position_Representation.pdf |format=PDF |doi=10.1017/S0373463309990415}}</ref>
}}

{{Математика-доробити}}

[[Категорія:Тригонометрія]]
[[Категорія:Спеціальні функції]]