Перегляд вихідного коду сторінки Обернений оператор

[[Файл:Inverse_Operator.png|міні|Якщо a відображає X на Y, то A<sup>−1</sup> відображає Y на X]]
'''Обернений оператор''' до [[Оператор (математика)|оператора]] <math>A</math>&nbsp;— оператор, який кожному <math>y</math> із множини значень <math>\mbox{Im}\,A</math> оператора <math>A</math> ставить у відповідність єдиний [[Множина|елемент]] <math>x</math> із [[Область визначення|області визначення]] <math>\mathcal D (A)</math> оператора <math>A</math>, який є розв'язком [[рівняння]] <math>A x = y</math>. Якщо оператор <math>A</math> має обернений, тобто рівняння <math> A x = y</math> має єдиний розв'язок за будь-якого <math>y</math> із <math>\mbox{Im}\,A</math>, то <math>A</math> називають '''оборотним'''. Обернений оператор позначають <math>A^{-1}</math>{{Sfn|Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа|1976|с=225}}.

== Визначення та умови існування ==
Інше визначення: оператор <math>B</math> називають оберненим до оператора <math>A</math>, якщо <math> B A = I, \, A B = I </math>, де <math>I</math>&nbsp;— [[Оператор (математика)|одиничний оператор]]. Якщо виконується тільки співвідношення <math>B A = I</math> або тільки <math>A B = I,</math> то оператор <math>B</math> називають ''лівим оберненим'' або ''правим оберненим'' відповідно. Якщо оператор <math>A</math> має лівий обернений і правий обернений, то вони рівні між собою, а оператор <math>A</math> є оборотним{{Sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=128}}. Якщо обернений оператор існує, він визначається єдиним чином{{Sfn|Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу|1979|с=168}}.

Оператор <math>A</math> оборотний, якщо він відображає <math>\mathcal D(A)</math> на <math>\mbox{Im}\, A</math> взаємно однозначно, тобто за різних <math>x \in \mathcal D(A)</math> набуває різних значень <math> y </math>{{Sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=351}}. Якщо оператор <math>A</math>&nbsp;— [[Лінійне відображення|лінійний]], то для існування оберненого оператора достатньо, щоб <math>A x = 0</math> виконувалося тільки при <math>x = 0</math>{{Sfn|Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу|1979|с=319}}.

[[Лінійне відображення|Лінійний оператор]] (навіть [[Обмежений оператор|обмежений]]) може мати обернений, визначений не на всьому [[Простір (математика)|просторі]]. Наприклад, у [[Простір Lp|просторі <math>\ell_2</math>]] [[Лінійне відображення|лінійний оператор]]

: <math> A (x_1, x_2, x_3, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots) </math>

має обернений, який визначено для [[Вектор (математика)|векторів]] із першою [[Система координат|координатою]] рівною нулю: <math>x_1 = 0</math>{{Sfn|Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу|1979|с=319}}.

== Властивості ==

* <math>(A^{-1})^{-1} = A.</math>{{Sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=154}}
* <math>(A_1 A_2)^{-1} = A_2^{-1} A_1^{-1}.</math>{{Sfn|Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу|1979|с=168}}
* Оператор <math>A^{-1}</math>, обернений до [[Лінійне відображення|лінійного оператора]], також лінійний{{Sfn|Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа|1976|с=225}}.
* <math>(A^{-1})^* = (A^*)^{-1}</math>, <math>A^*</math>&nbsp;— [[спряжений оператор]]{{Sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=207}}.

== Теореми про обернений оператор ==

=== Теорема Банаха ===
{{Рамка}}
Нехай <math>A</math>&nbsp;— [[лінійний оператор|лінійний]] [[обмежений оператор]], який взаємно однозначно відображає [[Банахів простір]] <math>E</math> на [[Банахів простір]] <math>E_1</math>. Тоді обернений оператор <math>A^{-1}</math> обмежений.
{{/рамка}}
Теорема [[Стефан Банах|Банаха]] є одним з основних принципів лінійного аналізу. З неї випливає [[Теорема Банаха про обернений оператор|теорема про відкрите відображення]]: [[Лінійний неперервний оператор|лінійне неперервне відображення]] <math>A</math> Банахового простору <math>E</math> на (всі) Банахові простори <math>E_1</math> відкрите{{Sfn|Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа|1976|місце=глава IV, §5, п. 4}}.

=== Достатня умова існування оберненого оператора ===

* Нехай [[Лінійне відображення|лінійний оператор]] <math>A</math>, який відображає [[Векторний простір|лінійний]] [[нормований простір]] <math>E</math> на лінійний нормований простір <math>E_1</math>, задовольняє для будь-якого <math>x \in E</math> умові

: <math> \| A x \| \ge m \| x\|, </math>

де <math>m > 0</math>&nbsp;— деяка [[Математична константа|константа]]. Тоді існує обернений [[Лінійний неперервний оператор|обмежений лінійний оператор]] <math>A^{-1}</math>{{Sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=155}}.

* Нехай <math>A</math>&nbsp;— [[Лінійний неперервний оператор|лінійний обмежений]] оборотний оператор, що діє з [[Банахів простір|Банахового простору]] <math>E</math> в Банахів простір <math>E_1</math> і <math>\Delta A</math>&nbsp;— лінійний обмежений оператор з <math>E</math> в <math>E_1</math> такий, що <math> \| \Delta A \| < 1/\| A^{-1} \|</math>. Тоді оператор <math>B = A + \Delta A</math> має обмежений обернений, причому

: <math> \| B^{-1} - A^{-1} \| \le \frac{\| \Delta A \|}{1 - \| A^{-1} \| \| \Delta A \|} \| A^{-1} \|^2</math>{{Sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=157}}{{Sfn|Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа|1976|с=229}}.

* Нехай <math>E</math>&nbsp;— [[Банахів простір]], <math>I</math>&nbsp;— [[Оператор (математика)|тотожний оператор]] в <math>E</math>, а <math>A</math>&nbsp;— такий лінійний обмежений оператор, який відображає <math>E</math> в себе, що <math>\| A \| < 1</math>. Тоді оператор <math>(I - A)^{-1}</math> існує, [[Обмежений оператор|обмежений]] і подається у вигляді [[Ряд (математика)|ряду]]

: <math> (I - A)^{-1} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} A^k</math>{{Sfn|Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа|1976|с=230}}.

== Приклади ==

=== Перетворення Фур'є ===
{{Докладніше|Перетворення Фур'є}}

: <math> g(\lambda) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\lambda t} dt </math>

можна розглядати як лінійний обмежений оператор, що діє з [[Простір Lp|простору <math>L_2(-\infty, \infty)</math>]] в себе. Оберненим оператором для нього є обернене перетворення Фур'є

: <math> f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(\lambda) e^{i \lambda t} d\lambda</math>{{Sfn|Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа|1976|місце=глава VIII}}.

=== Оператори інтегрування та диференціювання ===
Для оператора інтегрування

: <math>A x = \int\limits_0^t x(\tau) \, d\tau,</math>

який діє в [[Простір неперервних функцій|просторі неперервних функцій]] <math>C[0, 1]</math>, оберненим буде оператор [[Похідна|диференціювання]]:

: <math> A^{-1} y = \frac{d}{dt} y(t), </math>

визначений на [[Афінний простір|лінійному многовиді]] [[Гладка функція|неперервно диференційовних функцій]], таких що <math>y(0) = 0</math>{{Sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=161}}.

=== Оператор Штурма&nbsp;— Ліувілля ===
Для [[Диференціальний оператор|диференціального оператора]] Штурма&nbsp;— Ліувілля

<math> Ax = \frac{d}{dt} \left\{ p(t) \frac{dx}{dt}\right\} + q(t) x,</math>

визначеного на [[Афінний простір|лінійному многовиді]] двічі [[Гладка функція|неперервно диференційовних функцій]] таких, що <math>x(0) = x(1) = 0</math>, оберненим оператором є інтегральний оператор

: <math> A^{-1} y = \int\limits_0^1 G(t, \tau) y(\tau) \, d\tau, </math>

де <math>G(t, \tau)</math>&nbsp;— [[функція Гріна]]. <math>A^{-1}</math>&nbsp;— лінійний обмежений оператор у <math>C[0, 1]</math>{{Sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=161}}.

=== Інтегральний оператор ===
Нехай

: <math> A x = \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) \, ds </math>

— інтегральний оператор у [[Простір неперервних функцій|просторі безперервних функцій]] <math>C[0, 1]</math>. За достатньо малих значень параметра <math>\lambda</math> оператор <math>(I - \lambda A)</math> (де <math>I</math>&nbsp;— [[Оператор (математика)|одиничний оператор]]) має обмежений обернений

: <math> (I - \lambda A)^{-1} y = y(t) + \lambda \int\limits_0^1 R(t, s, \lambda) y(s) \, ds </math>,

де <math>R(t, s, \lambda)</math>&nbsp;— [[Резольвента інтегрального рівняння|резольвента]] [[Ядро інтегрального оператора|ядра]] <math>K(t, s)</math>. Знаючи резольвенту, можна знайти розв'язок [[Інтегральне рівняння|інтегрального рівняння]]

: <math>x(t) = y(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) \, ds</math>

за будь-якого вільного члена <math> y(t)</math>{{Sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=163}}.

== Обернений оператор у скінченновимірному просторі ==
Оператор у [[Скінченновимірний простір|скінченновимірному просторі]] оборотний [[тоді й лише тоді]], коли його [[Ранг (лінійна алгебра)|ранг]] збігається з [[Розмірність простору|розмірністю простору]]. Інакше кажучи, [[визначник]] його [[Матриця (математика)|матриці]] відмінний від нуля. Оберненому оператору відповідає [[обернена матриця]]<ref>{{Книга
|автор = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|Ильин В. А.]], [[Позняк, Эдуард Генрихович|Позняк Э. Г.]]
|заголовок = Линейная алгебра. Учеб. для вузов
|видання = 5-e изд.
|місце = М.
|видавництво = Физматлит
|рік = 2002
|сторінок = 320
|ISBN = 5-9221-0129-3
}}</ref>.

== Див. також ==
* [[Лінійне відображення]]
* [[Обернена функція]]
* [[Ізоморфізм]]
* [[Банахів простір]]
* [[Лінійний неперервний оператор]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{Колмогоров.Фомин}}
* {{Книга
|автор = [[Люстерник Лазар Аронович|Люстерник Л. А.]], {{нп|Соболєв Володимир Іванович |Соболев В. И.|ru|Соболев, Владимир Иванович (математик)}}
|рік = 1965
|видання = Изд. 2-е, перераб.
|місце = {{М.}}
|видавництво = [[Наука (видавництво)|Наука]]
|сторінок = 520
|ref = Люстерник Л. А., Соболев В.&nbsp;И.&nbsp;Элементы функционального анализа
|назва = Элементы функционального анализа
}}
* {{Книга
|автор = {{нп|Фрідьош Ріс|Рисс Ф.|ru|Рис, Фридьеш}}, {{нп|Бела Сьокефальві-Надь|Сёкефальви-Надь Б.|ru|Сёкефальви-Надь, Бела}}
|місце = {{М.}}
|видавництво = [[Мир (видавництво)|Мир]]
|рік = 1979
|сторінок = 592
|ref = Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу
|назва = Лекции по функциональному анализу
}}
* {{нп|Соболєв Володимир Іванович|Соболев В. И.|ru|Соболев, Владимир Иванович (математик)}} Обратное отображение // Математическая энциклопедия / И.&nbsp;М.&nbsp;Виноградов (гл. ред.).&nbsp;— М.: Советская энциклопедия, 1982.&nbsp;— Т. 3.&nbsp;— 592 с.&nbsp;— 150 000 экз.

[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Теорія операторів]]