Перегляд вихідного коду сторінки Обернена теорема Фур'є

У [[Математика|математиці]] '''обернена теорема Фур'є''' стверджує, що багато типів функцій можливо відновити, використовуючи їх [[Перетворення Фур'є|перетворення Фур'є]].
Інтуїтивно це твердження можна зрозуміти так: якщо відома [[Частота|частота]] та [[Фаза (коливання)|фаза]] коливань хвилі, то можливо відновити початковий стан цієї хвилі.

Теорема стверджує, якщо функція <math>f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}</math> задовольняє певні умови, то з перетворення Фур'є функції <math>f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}</math>
:<math>(\mathcal{F}f)(\xi):=\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}y\cdot\xi}f(y)\,{\rm d}y</math>
випливає, що
:<math>f(x)=\int_{\mathbb{R}}{\rm e}^{2\pi{\rm i}x\cdot\xi}(\mathcal{F}f)(\xi)\,{\rm d}\xi.</math>
Іншими словами, теорема стверджує, що
:<math>f(x)=\iint_{{\mathbb{R}}^2}{\rm e}^{2\pi{\rm i}(x-y)\cdot\xi}f(y)\,{\rm d}y\,{\rm d}\xi.</math>
Останню рівність називають ''інтегральною теоремою Фур'є''.

Інше формулювання теореми полягає у тому, що якщо <math>R</math> — фліп-оператор, тобто <math>(Rf)(x):=f(-x)</math>, то
:<math>\mathcal{F}^{-1}=\mathcal{F}R=R\mathcal{F}.</math>
Теорема виконується для тих функцій <math>f</math> та їх перетворень Фур'є, які є {{нп|Абсолютно інтегровні функції|абсолютно інтегровними||Absolutely integrable function}} ([[Інтеграл Лебега|за Лебегом]]), і функцій <math>f</math> неперервних у точці <math>x</math>.
Однак, навіть за більш загальних умов обернена теорема Фур'є має місце.
У цих випадках інтеграли, вказані вище, можуть не збігатися у звичайному сенсі.

==Твердження==
Нехай <math>f</math> — інтегровна неперервна функція. Використовуємо наступне [[Перетворення Фур'є|позначення для перетворень Фур'є]]:
:<math>(\mathcal{F}f)(\xi):=\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}y\cdot\xi}f(y)\,{\rm d}y.</math>
Більше того, вважаємо, що перетворення Фур'є також є інтегровним.

===Обернене перетворення Фур'є як інтергал===
Найбільш поширеним формулюванням оберненої теореми Фур'є є твердження про обернене перетворення як інтеграл.
Нехай для будь-якої інтегровної функції <math>g</math> та  довільного <math>x\in \mathbb{R}^n</math>
:<math>\mathcal{F}^{-1}g(x)=\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{2\pi{\rm i}x\cdot\xi}g(\xi)\,{\rm d}\xi,</math>
тоді для довільного <math>x\in \mathbb{R}^n</math> маємо, що
:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)(x)=f(x).</math>

===Інтегральна теорема Фур'є===
Теорему можна переформулювати як
:<math>f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{2\pi{\rm i}(x-y)\cdot\xi}f(y)\,{\rm d}y\,{\rm d}\xi.</math>
Якщо <math>f</math> — дійснозначна функція, то, прирівнявши дійсні частини рівності, отримуємо
:<math>f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\cos(2\pi(x-y)\cdot\xi)f(y)\,{\rm d}y\,{\rm d}\xi.</math>

===Обернене перетворення як фліп-оператор===
Для довільної функції <math>g</math> визначимо фліп-оператор<ref group="note">[[Оператор (математика)|Оператор]] — це перетворення, що переводить функцію у функцію. Фліп-оператор, перетворення Фур'є, обернене перетворення Фур'є та тотожний оператор --- приклади операторів.</ref> <math>R</math> такий, що <math>Rg(x):=g(-x)</math>.
Тоді можна визначити
:<math>\mathcal{F}^{-1}f=R\mathcal{F}f=\mathcal{F}Rf.</math>
Ця формула одразу випливає із означення перетворення Фур'є та фліп-оператора <math>R</math>. Перетворення <math>\mathcal{F}Rf</math> та <math>R\mathcal{F}f</math> відповідають перетворенню <math>\mathcal{F}^{-1}f</math>, дорівнюють одне одному та задовольняють рівність
:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)(x)=f(x).</math>
Оскільки <math>Rf=R\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f=RR\mathcal{F}\mathcal{F}f</math>,  то <math>R=\mathcal{F}^2</math> і <math>\mathcal{F}^{-1}=\mathcal{F}^3</math>.

===Двостороння оборотність===
Вище викладене типове формулювання теореми має вигляд
:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)(x)=f(x).</math>
Іншими словами, <math>\mathcal{F}^{-1}</math> є лівим оберненим оператором для перетворення Фур'є.
Водночас він також є правим оберненим оператором для перетворення Фур'є, тобто
:<math>\mathcal{F}\left(\mathcal{F}^{-1}f\right)(\xi)=f(\xi).</math>
Оскільки оператор <math>\mathcal{F}^{-1}</math> — подібний до оператора <math>\mathcal{F}</math>, то попередня рівність випливає з оберненої теореми Фур'є (за допомогою заміни змінних <math>\xi=-\zeta</math>)
:<math>\begin{align}
f&=\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{2\pi{\rm i}x\cdot\xi}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}y\cdot\xi}f(y)\,{\rm d}y\,{\rm d}\xi=\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}x\cdot\zeta}{\rm e}^{2\pi{\rm i}y\cdot\zeta}f(y)\,{\rm d}y\,{\rm d}\zeta=
=\mathcal{F}\left(\mathcal{F}^{-1}f\right)(x).
\end{align}</math>
З іншого боку, це випливає з відношення між оператором <math>\mathcal{F}^{-1}</math> та фліп-оператором <math>R</math>, та [[Асоціативність|асоціативності]]
[[Композиція функцій|композиції функцій]], оскільки
:<math>f=\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)=\mathcal{F}R\mathcal{F}f=\mathcal{F}\left(\mathcal{F}^{-1}f\right).</math>

==Умови на функцію==
Використовуючи обернену теорему Фур'є у фізиці та інженерії, часто припускають, що все "відбувається добре".
У математиці подібні евристичні міркування не дозволяються, а обернена теорема Фур'є передбачає специфікацію класів функцій, для яких виконуються умови теореми.
Однак не існує "найкращого" класу функцій для розгляду, тому існує кілька варіантів формулювання оберненої теореми Фур'є, хоч і з подібними висновками.

===Функції Шварца===
Обернена теорема Фур'є виконується для всіх [[Простір Шварца|функцій Шварца]] (грубо кажучи, всіх швидко спадних гладких функцій, всі похідні яких теж є швидко спадними).
Ця умова має перевагу в тому, що вона стосується лише функції (без накладання умови на її перетворення Фур'є), а інтеграл, що визначає її перетворення Фур'є, та інтеграл, що визначає обернене перетворення Фур'є, є абсолютно інтегровними.
Це формулювання використовується для доведення оберненої теореми Фур'є для узагальнених функцій.

===Інтегровні функції з інтегровними перетвореннями Фур'є===
Обернена теорема Фур'є виконується для всіх неперервних абсолютно інтегровних функцій (тобто функцій з <math>L^1(\mathbb{R}^n)</math>) з абсолютно інтегровними перетвореннями Фур'є.
Вони включають у себе всі функції Шварца, тому це більш строге формулювання теореми, ніж наведене вище.
Ця умова використовується вище, у пункті [[Обернена теорема Фур'є#твердження|твердження]].

Можливий варіант — опустити умову про неперервність функції <math>f</math>, але все одно вимагати абсолютну інтегровність функції та її перетворення Фур'є.
Тоді <math>f=g</math> [[Майже скрізь|майже скрізь]], де <math>g</math> — неперервна функція і <math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)(x)=g(x)</math> для довільного <math>x\in \mathbb{R}^n</math>.

===Інтегровні функції від однієї змінної===
====Кускова гладкість, одна змінна====
Якщо функція від однієї змінної абсолютно інтегровна (тобто <math>f\in L^1(\mathbb{R}^n)</math>) та кусково-гладка, то тоді має місце версія оберненої теореми Фур'є.
У цьому випадку визначаємо
:<math>\mathcal{F}^{-1}g(x):=\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R}{\rm e}^{2\pi{\rm i}x\cdot\xi}g(\xi)\,{\rm d}\xi.</math>
Тоді для довільного <math>x\in\mathbb{R}^n</math>
:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)=\frac{1}{2}(f(x_-)+f(x_+)),</math>
тобто, <math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)</math> дорівнює середньому арифметичному лівосторонньої та правосторонньої границь функції <math>f</math> у точці <math>x</math>.
У точках, де функція <math>f</math> — неперервна, <math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)=f(x)</math>.

Для більшої кількості змінних дане формулювання теореми також має місце, але, за словами Фолланда (1992), є "досить делікатним і не дуже корисним".

====Кускова неперервність, одна змінна====
Якщо функція від однієї змінної абсолютно інтегровна (тобто <math>f\in L^1(\mathbb{R}^n)</math>) та кусково-неперервна, то тоді все ще має місце версія оберненої теореми Фур'є.
У цьому випадку інтеграл оберненого перетворення Фур'є визначається за допомогою більш гладкої, ніж розривної, функції відтинання.
Більш точно,
:<math>\mathcal{F}^{-1}g(x):=\lim_{R\to\infty}{\int_{\mathbb{R}}\varphi\left(\frac{\xi}{R}\right){\rm e}^{2\pi{\rm i}x\cdot\xi}g(\xi)\,{\rm d}\xi},\quad
\varphi(\xi):={\rm e}^{-\xi^2}.</math>
Висновок теореми такий же, як і для кусково-гладких функцій від однієї змінної, що наведений вище.

====Неперервність, випадок багатьох змінних====
Якщо функція <math>f</math> — неперервна та абсолютно інтегровна на <math>\mathbb{R}^n</math>, то обернена теорема Фур'є має місце доти, поки можна визначити обернене перетворення з гладкою функцією відтинання, тобто
:<math>\mathcal{F}^{-1}g(x):=\lim_{R\to\infty}{\int_{\mathbb{R}^n}\varphi\left(\frac{\xi}{R}\right){\rm e}^{2\pi{\rm i}x\cdot\xi}g(\xi)\,{\rm d}\xi},\quad \varphi(\xi):={\rm e}^{-|{\xi}|^2}.</math>
Висновок тепер простіший, для довільного <math>x \in \mathbb{R}^n</math>
:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)(x)=f(x).</math>

====Без умов регулярності, випадок багатьох змінних====
Якщо відкинути всі припущення про (часткову) неперервність функції <math>f</math> та припустити, що функція лише абсолютно інтегровна, то тоді все ще має місце версія оберненої теореми Фур'є.
Обернене перетворення знову визначається за допомогою гладкої функції відтинання, але у результаті отримаємо, що
:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)(x)=f(x)</math>
для [[Майже скрізь|майже всіх]] <math>x \in \mathbb{R}^n</math>.<ref group="note">"DMat0101, Notes 3: The Fourier transform on <math>L^1</math>". I Woke Up In A Strange Place. 2011-03-10. Retrieved 2018-02-12.</ref>

===Квадратично інтегровні функції===
У цьому випадку перетворення Фур'є не можна безпосередньо визначити як інтеграл, так як він може не бути абсолютно збіжним, тому воно визначається у термінах щільності
(див. [[Перетворення Фур'є|перетворення Фур'є]]). Наприклад, поклавши
:<math>g_k(\xi):=\int_{\{y \in \mathbb{R}^n\colon |y|\leq k\}}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}y\cdot\xi}g(y)\,{\rm d}y,\quad k \in \mathbb{N},</math>
маємо, що <math>\mathcal{F}f:=\lim\limits_{k\to\infty}g_k</math>, де границя береться у нормі простору <math>L^2</math>.
Обернене перетворення також можна визначити через щільність, або через перетворення Фур'є та фліп-оператор <math>R</math>.
Тоді маємо
:<math>f(x)=\mathcal{F}\left(\mathcal{F}^{-1}f\right)(x)=\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)(x)</math>
у [[Простір Lp|середньоквадратичній нормі]].
Для функцій однієї змінної (і лише однієї змінної) можна довести збіжність для [[Майже скрізь|майже всіх]] <math>x \in \mathbb{R}</math>.
Це твердження є {{нп|Теорема Карлесона|теоремою Карлесона||Carleson's theorem}}, її набагато важче довести, ніж збіжність у середньоквадратичній нормі.

===Узагальнені функції===
Перетворення Фур'є можна визначити на [[Перетворення Фур'є|просторі узагальнених функцій]] <math>S'(\mathbb{R}^n)</math> завдяки дуальності перетворень Фур'є на просторі функцій Шварца.
Конкретніше, для функції <math>f \in S'(\mathbb{R}^n)</math> та всіх тестових функцій <math>\varphi \in S(\mathbb{R}^n)</math> покладемо
:<math>\langle\mathcal{F}f, \varphi\rangle:=\langle f, \mathcal{F}\varphi\rangle,</math>
де <math>\mathcal{F}f</math> визначається за допомогою інтегральної формули.
Якщо <math>f \in L^1(\mathbb{R}^n)\bigcap L^2(\mathbb{R}^n)</math>, то це узгоджується із звичайним означенням.
Можна визначити обернене перетворення <math>\mathcal{F}^{-1}\colon S'(\mathbb{R}^n) \rightarrow S'(\mathbb{R}^n)</math> або аналогічно через дуальність оберненого перетворення на просторі функцій Шварца, або через фліп-оператор <math>R</math> (де фліп-оператор визначається за допомогою дуальності).
Тоді маємо
:<math>\mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}=\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}=\operatorname{Id}_{S'(\mathbb{R}^n)}.</math>

==Зв'язок з рядами Фур'є==
{{hatnote|Розглядаючи ряд Фур'є деякої функції, зазвичай розглядають як область визначення відрізок <math>[0, 2\pi]</math> (або період <math>2\pi</math>). Нижче використовується дещо незвична домовленість, відповідно до якої функція <math>f</math> діє на відрізку
<math>[0, 1]</math>, оскільки це відповідає домовленості щодо перетворення Фур'є, що використовується тут.}}

Обернена теорема Фур'є — аналог [[Ряд Фур'є#Збіжність рядів Фур'є|збіжності рядів Фур'є]].
У випадку перетворення Фур'є маємо
:<math>\begin{align}
&f \colon \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C},\quad \hat{f} \colon \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C},\\
&\hat{f}(\xi):=\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}y\cdot\xi}f(y)\,{\rm d}y,\\
&f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{2\pi{\rm i}x\cdot\xi}\hat{f}(\xi)\,{\rm d}\xi.
\end{align}</math>
Замість цього, у випадку рядів Фур'є маємо
:<math>\begin{align}
&f\colon \ [0, 1] \rightarrow \mathbb{C}, \quad \hat{f} \colon \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C},\\
&\hat{f}(k):=\int_{{[0, 1]}^n}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}y\cdot k}f(y)\,{\rm d}y,\\
&f(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}{\rm e}^{2\pi{\rm i}x\cdot k}\hat{f}(k).
\end{align}</math>
Зокрема, в одновимірному випадку <math>k \in \mathbb{Z}</math> і підсумовування відбувається від <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math>.

==Застосування==
[[File:Commutative diagram illustrating problem solving via the Fourier transform-Ukr.png|thumb|400px|Деякі задачі, зокрема і деякі види диференціальних рівнянь, простіше розв'язати, застосувавши перетворення Фур'є. У цьому випадку розв'язок початкової задачі відновлюється за допомогою оберненого перетворення Фур'є.]]

У [[Перетворення Фур'є|застосуваннях перетворень Фур'є]] обернена теорема Фур'є часто відіграє істотну роль.
У багатьох випадках загальний алгоритм такий: використати перетворення Фур'є, виконати певні перетворення або спрощення, а потім використати обернене перетворення Фур'є.

Більш абстрактно, обернена теорема Фур'є — це твердження про перетворення Фур'є як [[Оператор (математика)|оператор]] (див. [[Перетворення Фур'є|перетворення Фур'є на функціональних просторах]]).
Наприклад, обернена теорема Фур'є для функцій <math>f \in L^2(\mathbb{R}^n)</math> стверджує, що перетворення Фур'є є унітарним оператором на просторі <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math>.

==Властивості оберненого перетворення==
Обернене перетворення Фур'є дуже подібне до звичайного перетворення Фур'є: як обговорювалося вище вони відрізняються лише застосуванням фліп-оператора.
Тому [[Перетворення Фур'є#Властивості|властивості перетворення Фур'є]] зберігаються і для оберненого перетворення Фур'є, наприклад, {{нп|Теорема про згортку|теорема про згортку||Convolution theorem}} і [[Лема Рімана — Лебега|лема Рімана—Лебега]].

[[Перетворення Фур'є#Таблиці образів деяких функцій|Таблиці перетворень Фур'є]] можна легко використати для оберненого перетворення Фур'є, за допомогою композиції шуканої функції та фліп-оператора <math>R</math>.
Наприклад, дивлячись на перетворення Фур'є для [[Прямокутна функція|прямокутної функції]], маємо
:<math>f(x)=\operatorname{rect}(ax) \quad \Rightarrow \quad (\mathcal{F}f)(\xi)=\frac{1}{|a|}\operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right),</math>
тому відповідне обернене перетворення має вигляд
:<math>g(\xi)=\operatorname{rect}(a\xi) \quad \Rightarrow \quad \left(\mathcal{F}^{-1}g\right)(x)=\frac{1}{|a|}\operatorname{sinc}\left(-\frac{x}{a}\right).</math>

==Доведення==
Для доведення використовується декілька властивостей з використанням функції <math>f(y)</math> та <math>\mathcal{F}f(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}y\cdot\xi}f(y)\,{\rm d}y</math>:
#Якщо <math>x \in \mathbb{R}^n</math> та <math>g(\xi)={\rm e}^{-2\pi{\rm i}x\cdot\xi}\psi(x)</math>, то <math>(\mathcal{F}g)(y)=(\mathcal{F}\psi)(y-x).</math>
#Якщо <math>\varepsilon \in \mathbb{R}</math> та <math>\psi(\xi)=\varphi(\varepsilon \xi)</math>, то <math>(\mathcal{F}\psi)(y)=(\mathcal{F}\varphi)\frac{(\frac{y}{\varepsilon})}{|\varepsilon|}.</math>
#Для функцій <math>f, g \in L^1(\mathbb{R}^n)</math> з [[Теорема Фубіні|теореми Фубіні]] випливає, що <math>\int g(\xi)\cdot(\mathcal{F}f)(\xi)\,{\rm d}\xi=\int (\mathcal{F}g)(y)\cdot f(y)\,{\rm d}y.</math>
#Нехай <math>\varphi(\xi)=\rm e^{-\pi(|\xi|)^2}</math>, тоді <math>(\mathcal{F}\varphi)(y)=\varphi(y)</math>.
#Нехай <math>\varphi _{\varepsilon}(y) =\dfrac{\varphi(\frac{y}{\varepsilon})}{\varepsilon^{n}}</math>.
Символом <math>*</math> позначимо [[Згортка (математичний аналіз)|згортку]] функцій, <math>\varphi_{\varepsilon}</math> — {{нп|Згладжувальний оператор|згладжувальний оператор||Dirac delta function#nascent delta function}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Dirac delta function#nascent delta function]] перекладена як [[Дельта-функція Дірака]], хоча хотіли [[Згладжувальний оператор]] (SashkoR0B0T)-->: для будь-якої неперервної функції <math>f \in L^1(\mathbb{R}^n)</math> та точки <math>x \in \mathbb{R}^n</math> має місце рівність <math>\lim\limits_{\varepsilon \to 0}{(\varphi_{\varepsilon}*f)(x)}=f(x)</math> (де збіжність є поточковою).

Оскільки, за припущенням, <math>\mathcal{F}f \in L^1(\mathbb{R}^n)</math>, то з [[Теорема Лебега про мажоровану збіжність|теореми Лебега про мажоровану збіжність]] випливає, що
:<math>\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{2\pi{\rm i}x\cdot\xi}(\mathcal{F}f)(\xi)\,{\rm d}\xi=\lim_{\varepsilon \to 0}\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2 + 2\pi{\rm i}x\cdot\xi}(\mathcal{F}f)(\xi)\,{\rm d}\xi.</math>
Нехай <math>g_{x}(\xi )={\rm e}^{-\pi \varepsilon^{2}|\xi|^{2}+2\pi{\rm i}x\cdot\xi}</math>.
Використовуючи властивості 1, 2 та 4, за необхідності повторно для кратних інтегралів, отримаємо
:<math>({\mathcal{F}}g_{x})(y)={\frac{1}{\varepsilon^{n}}}{\rm e}^{-{\frac{\pi}{\varepsilon^{2}}}|x-y|^{2}}=\varphi_{\varepsilon }(x-y).</math>
Використовуючи властивість 3 для функцій <math>f</math> та <math>g_x</math>, для довільного <math>x \in \mathbb{R}^n</math> маємо
:<math>\int_{\mathbb{R}^{n}}{\rm e}^{-\pi\varepsilon^{2}|\xi|^{2}+2\pi{\rm i}x\cdot\xi}({\mathcal{F}}f)(\xi)\,{\rm d}\xi=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\frac {1}{\varepsilon^{n}}}{\rm e}^{-{\frac{\pi}{\varepsilon^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,{\rm d}y=(\varphi_{\varepsilon }*f)(x),</math>
або згортку функції <math>f</math> та згладжувального оператора.
Але оскільки <math>f \in L^1(\mathbb{R}^n)</math>, то з властивості 5 випливає, що
:<math>\lim_{\varepsilon \to 0}(\varphi_{\varepsilon}*f)(x)=f(x).</math>
Збираючи все разом, отримаємо, що
:<math>\int_{\mathbb{R}^n}{\rm e}^{2\pi{\rm i}x\cdot\xi}(\mathcal{F}f)(\xi)\,{\rm d}\xi=f(x).</math>

==Примітки==
{{Reflist|group=note}}

==Література==
* {{cite book|last=Folland|first=G. B.|year=1992|title=Fourier Analysis and its Applications|publisher=Wadsworth|location=Belmont, CA, USA|isbn=0-534-17094-3}}
* {{cite book|last=Folland|first=G. B.|year=1995|title=Introduction to Partial Differential Equations|url=https://archive.org/details/introductiontopa0002foll|edition=2nd|publisher=Princeton Univ. Press|location=Princeton, USA|isbn=978-0-691-04361-6}}

[[Категорія:Аналіз Фур'є]]