Перегляд вихідного коду сторінки Нуль (комплексний аналіз)

'''Нуль''' [[Голоморфна функція|голоморфної функції]] <math>f(z)</math>&nbsp;— у [[Теорія функцій комплексної змінної|комплексному аналізі]] [[число]] <math>z=a</math> таке, що обертає функцію в нуль:<math>f(a)=0</math>. При цьому нуль може бути як [[Дійсні числа|дійсним]], так і [[Комплексні числа|комплексним]] числом.

== Обчислення нулів ==
Якщо <math>z=a \ne \infty</math>&nbsp;— нуль, і функція <math>f(z)</math> має розвинення в [[ряд Тейлора]] у вигляді <math>\sum_{n=0}^{\infty}C_n(z-a)^n</math>, то <math>C_0=f(a)=0</math>. Якщо <math>C_m</math> перший відмінний від нуля коефіцієнт розвинення, тобто <math>f(z)=C_m(z-a)^m+C_{m+1}(z-a)^{m+1}+...</math>, то число ''m''&nbsp;— '''порядок''', або '''кратність''' нуля функції <math>f(z)</math>.

Оскільки <math>C_k=\frac {f^{(k)}(a)}{k!}</math>, то порядок нуля дорівнює порядку [[Похідна|похідної]], відмінної від нуля в точці ''a''.

Точка <math>z=a \ne \infty</math> є нулем порядку ''m'' тоді і тільки тоді, коли функція перетворюється у вигляд <math>f(z)=(z-a)^m g(z), \quad g(a) \ne 0</math>, а <math>g(z)</math>&nbsp;— голоморфна в точці ''а''.

== Існування нулів ==
[[Основна теорема алгебри]] стверджує, що відмінний від сталої [[многочлен]] має хоча б один нуль у [[Комплексні числа|комплексній площині]]. На відміну від [[Дійсні числа|дійсних]] функцій, які нулів можуть і не мати, наприклад, <math>f(x)=x^2+1</math> не має нулів у дійсній множині.

== Властивості ==
Нулі голоморфної функції завжди ізольовані. Тобто існує такий окіл ''а'', в якому немає інших нулів функції <math>f(z)</math> відмінних від ''а''.

== Див. також ==
* [[Полюс (комплексний аналіз)]]

== Джерела ==
* ''Грищенко А. О., Нагнибіда М. І., Настасів П. П.'' Теорія функцій комплексної змінної.&nbsp;— К.: Вища школа, 1994.&nbsp;— 375 ст.
[[Категорія:Комплексний аналіз]]