Перегляд вихідного коду сторінки Нечітка множина

'''Нечітка множина'''&nbsp;— поняття, введене [[Лотфі Заде]] в 1965 році в статті «Fuzzy Sets» в журналі {{iw|Information and Control}}, в якому він розширив класичне поняття [[Множина|множини]], допустивши, що [[Характеристична функція|характеристична функція]] множини (названа Заде [[Функція належності|функцією належності]] для нечіткої множини) може набувати будь-яких значень в інтервалі [0,1], а не тільки значень 0 або 1. Є базовим поняттям [[нечітка логіка|нечіткої логіки]].

== Визначення ==
Нехай <math>\mho</math>&nbsp;— [[множина]] (класична). Нечітка множина <math>\mathbf A</math> задається своєю [[Функція приналежності|функцією належності]]:
: <math> \mu_{\mathbf{A}}:\quad \mho \to [0; 1] </math><br/>
[[Порожня множина]] <math>\mu_{\varnothing}(x) =0</math>, [[універсальна множина]] <math>\mu_\mho(x) = 1</math>.

Якщо <math> \mu_{\mathbf{A}} </math> набуває значень <math>\{0, 1\}</math>, то множина <math>\mathbf A</math>&nbsp;— це класична підмножина, <math>\mathbf A \subseteq\mho</math>, в іншому випадку множина <math>\mathbf A</math> є нечіткою.
Можна казати, що <math>\mu_{\mathbf{A}}(x)</math>&nbsp;— це ступінь належності елемента <math>x</math> до множини <math>\mathbf A</math>.

''Носій нечіткої множини'' <math>\mathbf A</math>&nbsp;— це
: <math>
\mathrm{supp}\ \mathbf A = \left\{ x \in \mho \mid \mu_{\mathbf{A}} > 0 \right\}
</math>

Множина рівня <math>\alpha</math>, де <math>\alpha\in [0; 1]</math> — це
: <math>
\mathbf{A}_{\alpha} = \left\{ x \in \mho \mid \mu_{\mathbf{A}} \geq \alpha \right\}
</math>

Тоді
: <math>
\mathrm{supp}\ \mathbf A = \bigcup_{\alpha >0} \mathbf{A}_\alpha
</math>

Якщо <math>\mho \subseteq \mathbb R</math>, то [[Зв'язний простір|зв'язні]] нечіткі множини називають {{iw2|нечітке число|''нечіткими числами''||fuzzy number}}.

Оскільки [[Інтервал (математика)|інтервали]] можна розглядати як нечіткі числа, то '''арифметика нечітких чисел є узагальненням [[Інтервальна арифметика|інтервальної арифметики]]'''.

== Операції над нечіткими множинами ==

=== ''Домінування (Вміщення)'' ===

Нехай <math>\mathbf A</math> і <math>\mathbf B</math>&nbsp;— нечіткі множини на універсальній множині <math>\mathbf E</math>.

Говорять, що <math>\mathbf A</math> міститься в <math>\mathbf B</math>, якщо <math>\forall x\in \mathbf E: \mu_{\mathbf{A}}(x) < \mu_{\mathbf{B}}(x)</math>.

Позначення: <math>\mathbf A\subset\mathbf B</math>.

Інколи використовують термін «домінування», тобто у випадку, якщо <math>\mathbf A\subset\mathbf B</math>, говорять, що <math>\mathbf B</math> домінує <math>\mathbf A</math>.
 
=== ''Рівність'' ===

<math>\mathbf A</math> і <math>\mathbf B</math> рівні, якщо <math>\forall x\in \mathbf E: \mu_{\mathbf{A}}(x) = \mu_{\mathbf{B}}(x)</math>.

Позначення: <math>\mathbf A = \mathbf B</math>.

=== ''Доповнення'' ===

Нехай µ = [0, 1], <math>\mathbf A</math> і <math>\mathbf B</math> — нечіткі множини, задані на <math>\mathbf E</math>. <math>\mathbf A</math> і <math>\mathbf B</math> доповнюють один одного, якщо 
: <math>\forall x\in \mathbf E: \mu_{\mathbf{A}}(x) = 1-\mu_{\mathbf{B}}(x)</math>.
<!--
Позначення: <math>B= \dot{B}</math> або <math>A= \dot{A}</math>

Очевидно, що <math>\dot{A} =A</math>. (Доповнення визначене для µ = [0, 1], але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого M).
-->
Доповнення нечіткої множини А позначається символом <math>\overline{A}</math>.<!-- і визначається

<math>\overline{A} = \int_{U}^{} \frac{1-\mu\_A(u)}{u}</math-->

Операція доповнення відповідає логічному запереченню.

=== ''Перетин'' ===

Перетин <math>\mathbf A</math> і <math>\mathbf B</math> позначається <math>\mathbf A \cap \mathbf B</math> і визначається
: <math>\mu_{\mathbf A \cap \mathbf B}(x) = \min (\mu_{\mathbf A}(x), \ \mu_{\mathbf B}(x))</math>.
<!--
<math>A \cap B = \int_{U}^{} \frac{\left (\mu\_A(u) \widehat{I}\mu\_B(u)  \  \right)}{u} </math>
-->
Перетин відповідає логічній зв'язці «і». <math>\mathbf A \cap \mathbf B</math>&nbsp;— найменша нечітка підмножина, яка міститься одночасно в <math>\mathbf A</math> і <math>\mathbf B.</math>

=== ''Об'єднання'' ===

Об'єднання нечітких множин А і В (А + В)

<math>A + B = \int_{U}^{} \frac{\left (\mu\_A(u) \widehat{I}\mu\_B(u)  \  \right)}{u} </math>

Об'єднання відповідає логічній зв'язці «або».

А ∪ В&nbsp;— найбільша нечітка підмножина, яка включає як А, так і В, з функцією приналежності:

µA ∪ B(x)= max(µA(x), µ B(x)).

=== ''Диз'юнктивна сума'' ===

<math>\mathbf A \oplus \mathbf B = 
\mathbf {(A-B)} \cup \mathbf {(B-A)} = 
(\mathbf A \cup \mathbf B)-(\mathbf A \cap \mathbf B).</math>

: <!--math>\mu_{\mathbf А\oplus\mathbf B}(x) = \max \left[ \min (\mu_{\mathbf А}(x), 1 — \mu_{\mathbf B}(x)), \min (1-\mu_{\mathbf А}(x), \mu_{\mathbf B}(x))\right].</math-->

А⊕B = (А&nbsp;— B) ∪ (B&nbsp;— А) = (А ∩) ∪ ∩ B) з функцією приналежності:

µA&nbsp;— B(x) = max {[min {µA(x), 1&nbsp;— µB(x)}];

[min {1&nbsp;— µA(x), µB(x)}] }

=== ''Добуток А і В позначається АВ і визначається'' ===

<math>AB = \int_{U}^{} \frac{\left (\mu\_A(u) \mu\_B(u)  \  \right)}{u} </math>

=== ''Піднесення до степеня'' ===

<math>a>0, A^e=\int_{U}^{} \frac{\left (\mu\_A(u) \  \right)^e}{u}  </math>

=== ''Концентрація (частковий випадок піднесення до степеня):'' ===

<math> CON (A) = A^2 </math>

=== ''Розтягування (розмивання):'' ===

<math> DIL(A) = \sqrt{A} </math>

== Чітке відображення ==
{{refimprovesect|дата=січень 2020}}

Нехай X і Y&nbsp;— дві заданих універсальних множини. Говорять, що наявна [[функція]], визначена на X зі значенням у Y, якщо, у силу деякого закону f, кожному елементу <math> X\in\mathbb{X}</math> відповідає елемент <math>y\in\mathbb{Y}</math>.

Коли функцію f : <math> X \to\mathbb{Y}</math> називають [[відображення]]м, значення <math>f(x)\in\mathbb{Y}</math>, якого вона набуває на елементі <math>x\in\mathbb{X}</math>, звичайно називають образом елемента x.

Образом множини <math>A\in\mathbb{X}</math> при відображенні <math>c\in\mathbb{Y}</math> називають множину <math>f(A)\in\mathbb{Y}</math> тих елементів Y, що є образами елементів множини А.

Дане класичне визначення відображення, яке у теорії нечітких множин називають '''чітким відображенням'''.

== Нечітке відображення ==
{{refimprovesect|дата=січень 2020}}

'''Нечітке відображення'''— це {{нп|Відображення (математика)|відображення||Map (mathematics)}} виду:
: <math> \varphi: \quad \mathbf{X}_1\times\mathbf{X}_2\times\cdots\times\mathbf{X}_n\to\mathbf{Y} </math><br/>

Нечіткі відображення задаються [[Функція належності|функціями належності]] образів нечітких множин.

Тобто, якщо <math>~\mu_k(x_k)</math>&nbsp;— функція належності множини <math>\mathbf{A}_k</math> та нехай
: <math> \mathbf{B}\subset\mathbf{Y},\quad \mathbf{A}_1\subset\mathbf{X}_1,\quad \mathbf{A}_2\subset\mathbf{X}_2, \quad \ldots, \quad \mathbf{A}_n\subset\mathbf{X}_n </math><br/>
Тоді функція належності множини '''B''' задається у вигляді:
: <math>
\mu_\mathbf{B} = \mathrm{supp}_{x_1,x_2, \ldots, x_n \in \mathbf{X}}
\min \Big(
\mu_1(x_1) \mu_2(x_2) \ldots \mu_n(x_n) \mu_\varphi(x_1\ldots x_n y)
\Big)
</math>

Або:
: <math>
\mu_{\varphi(x_1 \ldots x_n)} = 
\mathrm{supp}_{x_1, \ldots, x_n \atop \varphi(x_1 \ldots x_n)} 
\min \Big( \mu_{a_1}(x_1),\ldots,\mu_{a_n}(x_n) \Big)
</math>

== Джерела ==

* {{cite book
|автор = О. Ф. Волошин, С. О. Мащенко
|title = Моделі та методи прийняття рішень
|дата = 2011
|знаходження = Київ}}
* {{cite book
|автор = В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков;
|title = Нечіткі множини в системах управління: навч. посібник [Електронний ресурс] 
|дата = 2001
}}
{{Set-theory-stub}}

{{Теорія множин}}
{{Некласична логіка}}

[[Категорія:Нечітка логіка]]
[[Категорія:Системи теорії множин]]