Нечітка множина

Нечітка множина — поняття, введене Лотфі Заде в 1965 році в статті «Fuzzy Sets» в журналі Шаблон:Iw, в якому він розширив класичне поняття множини, допустивши, що характеристична функція множини (названа Заде функцією належності для нечіткої множини) може набувати будь-яких значень в інтервалі [0,1], а не тільки значень 0 або 1. Є базовим поняттям нечіткої логіки.

Визначення

Нехай $\mho$ — множина (класична). Нечітка множина $𝐀$ задається своєю функцією належності:

${\mu }_{𝐀}:\mho \to [0;1]$

Порожня множина ${\mu }_{\varnothing }(x)=0$, універсальна множина ${\mu }_{\mho }(x)=1$.

Якщо ${\mu }_{𝐀}$ набуває значень $\{0,1\}$, то множина $𝐀$ — це класична підмножина, $𝐀\subseteq \mho$, в іншому випадку множина $𝐀$ є нечіткою. Можна казати, що ${\mu }_{𝐀}(x)$ — це ступінь належності елемента $x$ до множини $𝐀$.

Носій нечіткої множини $𝐀$ — це

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}𝐀=\{x\in \mho \mid {\mu }_{𝐀}>0\}$

Множина рівня $\alpha$, де $\alpha \in [0;1]$ — це

${𝐀}_{\alpha }=\{x\in \mho \mid {\mu }_{𝐀}\ge \alpha \}$

Тоді

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}𝐀=\bigcup _{\alpha >0}{𝐀}_{\alpha }$

Якщо $\mho \subseteq ℝ$, то зв'язні нечіткі множини називають Шаблон:Iw2.

Оскільки інтервали можна розглядати як нечіткі числа, то арифметика нечітких чисел є узагальненням інтервальної арифметики.

Операції над нечіткими множинами

Домінування (Вміщення)

Нехай $𝐀$ і $𝐁$ — нечіткі множини на універсальній множині $𝐄$.

Говорять, що $𝐀$ міститься в $𝐁$, якщо $\mathrm{\forall }x\in 𝐄:{\mu }_{𝐀}(x)<{\mu }_{𝐁}(x)$.

Позначення: $𝐀\subset 𝐁$.

Інколи використовують термін «домінування», тобто у випадку, якщо $𝐀\subset 𝐁$, говорять, що $𝐁$ домінує $𝐀$.

Рівність

$𝐀$ і $𝐁$ рівні, якщо $\mathrm{\forall }x\in 𝐄:{\mu }_{𝐀}(x)={\mu }_{𝐁}(x)$.

Позначення: $𝐀=𝐁$.

Доповнення

Нехай µ = [0, 1], $𝐀$ і $𝐁$ — нечіткі множини, задані на $𝐄$. $𝐀$ і $𝐁$ доповнюють один одного, якщо

$\mathrm{\forall }x\in 𝐄:{\mu }_{𝐀}(x)=1-{\mu }_{𝐁}(x)$.

Доповнення нечіткої множини А позначається символом $\bar{A}$.

Операція доповнення відповідає логічному запереченню.

Перетин

Перетин $𝐀$ і $𝐁$ позначається $𝐀\cap 𝐁$ і визначається

${\mu }_{𝐀\cap 𝐁}(x)=\min ({\mu }_{𝐀}(x),{\mu }_{𝐁}(x))$.

Перетин відповідає логічній зв'язці «і». $𝐀\cap 𝐁$ — найменша нечітка підмножина, яка міститься одночасно в $𝐀$ і $𝐁.$

Об'єднання

Об'єднання нечітких множин А і В (А + В)

$A+B=\underset{U}{\overset{}{\int }}\frac{(\mu \mathrm{\_}A(u)\hat{I}\mu \mathrm{\_}B(u))}{u}$

Об'єднання відповідає логічній зв'язці «або».

А ∪ В — найбільша нечітка підмножина, яка включає як А, так і В, з функцією приналежності:

µA ∪ B(x)= max(µA(x), µ B(x)).

Диз'юнктивна сума

$𝐀\oplus 𝐁=\mathbf{(}𝐀\mathbf{-}𝐁\mathbf{)}\cup \mathbf{(}𝐁\mathbf{-}𝐀\mathbf{)}=(𝐀\cup 𝐁)-(𝐀\cap 𝐁).$

А⊕B = (А — B) ∪ (B — А) = (А ∩) ∪ ∩ B) з функцією приналежності:

µA — B(x) = max {[min {µA(x), 1 — µB(x)}];

[min {1 — µA(x), µB(x)}] }

Добуток А і В позначається АВ і визначається

$AB=\underset{U}{\overset{}{\int }}\frac{(\mu \mathrm{\_}A(u)\mu \mathrm{\_}B(u))}{u}$

Піднесення до степеня

$a>0,A^e=\underset{U}{\overset{}{\int }}\frac{{(\mu \mathrm{\_}A(u))}^e}{u}$

Концентрація (частковий випадок піднесення до степеня):

$CON(A)=A^2$

Розтягування (розмивання):

$DIL(A)=\sqrt{A}$

Чітке відображення

Нехай X і Y — дві заданих універсальних множини. Говорять, що наявна функція, визначена на X зі значенням у Y, якщо, у силу деякого закону f, кожному елементу $X\in 𝕏$ відповідає елемент $y\in 𝕐$.

Коли функцію f : $X\to 𝕐$ називають відображенням, значення $f(x)\in 𝕐$, якого вона набуває на елементі $x\in 𝕏$, звичайно називають образом елемента x.

Образом множини $A\in 𝕏$ при відображенні $c\in 𝕐$ називають множину $f(A)\in 𝕐$ тих елементів Y, що є образами елементів множини А.

Дане класичне визначення відображення, яке у теорії нечітких множин називають чітким відображенням.

Нечітке відображення

Нечітке відображення— це Шаблон:Нп виду:

$\phi :{𝐗}_1\times {𝐗}_2\times \cdots \times {𝐗}_n\to 𝐘$

Нечіткі відображення задаються функціями належності образів нечітких множин.

Тобто, якщо ${\mu }_k(x_k)$ — функція належності множини ${𝐀}_k$ та нехай

$𝐁\subset 𝐘,{𝐀}_1\subset {𝐗}_1,{𝐀}_2\subset {𝐗}_2,\dots ,{𝐀}_n\subset {𝐗}_n$

Тоді функція належності множини B задається у вигляді:

${\mu }_{𝐁}={\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}}_{x_1,x_2,\dots ,x_n\in 𝐗}\min ({\mu }_1(x_1){\mu }_2(x_2)\dots {\mu }_n(x_n){\mu }_{\phi }(x_1\dots x_{n}y))$

Або:

${\mu }_{\phi (x_1\dots x_n)}={\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1,\dots ,x_n}{\phi (x_1\dots x_n)}}\min ({\mu }_{a_1}(x_1),\dots ,{\mu }_{a_n}(x_n))$

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book