Перегляд вихідного коду сторінки Нерівність Шура

В [[Математика|математиці]], [[нерівність]] Шура, названа в честь німецького математика [[Іссаї Шур|Іссаї Шура]], стверджує, що для довільного додатнього [[Дійсні числа|дійсного]] [[Число|числа]] <math>t</math> та довільних невід'ємних дійсних чисел <math>x, y, z</math> справджується наступна нерівність:

<math>x^t(x - y)(x - z) + y^t(y - x)(y - z) + z^t(z - x)(z - y) \geqslant 0 </math>

причому, рівність досягається [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли або <math>x = y = z</math> або два з чисел <math>x,  y,  z</math> рівні між собою, а третє є нулем.

Найбільш вживаним та відомим є випадок при <math>t = 1</math>, коли дана нерівність набуває вигляду

<math>x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz \geqslant x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x +z^2y </math>

== Доведення ==
Оскільки нерівність [[Симетричний многочлен|симетрична]] відносно змінних <math>x, y, z </math>, то без обмеження загальності, вважатимемо <math>x \geqslant y\geqslant z</math>. Тоді нерівність Шура стає рівносильною наступній нерівності:

<math>(x-y)[x^t(x-z) - y^t(y-z)] + z^t(z-x)(z-y) \geqslant 0</math>

яка виконується з огляду на те, що <math>x^t(x-z) \geqslant x^t(y-z) \geqslant y^t(y-z)</math>. Також, очевидно що рівність можлива лиш при <math>x = y = z</math> або <math>x = y </math> та <math>z = 0</math>. Врахувавши симетричні варіанти, маємо, що в початковій нерівності рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або <math>x = y = z</math> або два з чисел <math>x, y, z</math> рівні між собою, а третє є нулем, що і треба було довести.

== Узагальнення ==
[[Узагальнення|Узагальненням]] нерівності Шура є наступна нерівність: для дійсних чисел <math>x, y, z</math> та невід'ємних дійсних <math>a, b, c</math>:

<math>a(x-y)(x-z) + b(y-x)(y-z) + c(z-x)(z-y) \geqslant 0</math>

яка справджується коли виконується хоч одна з наступних умов:
* <math>x \geqslant y\geqslant z</math> та <math>a \geqslant b</math>
* <math>x \geqslant y\geqslant z</math> та <math>c \geqslant b</math>
* <math>x \geqslant y\geqslant z</math> та <math>a + c \geqslant b</math>
* <math>x \geqslant y \geqslant z \geqslant 0</math> та <math>ax \geqslant by</math>
* <math>x \geqslant y \geqslant z \geqslant 0</math> та <math>cz  \geqslant by</math>
* <math>x \geqslant y \geqslant z \geqslant 0</math> та <math>ax + cz \geqslant by</math>
* <math>a, b, c</math>  - сторони деякого трикутника<!-- можливо, виродженого -->
* <math>a, b, c</math> - квадрати сторін деякого трикутника<!-- можливо, виродженого -->
* <math>ax, by, cz</math> - сторони деякого трикутника<!-- можлвио, виродженого -->
* <math>ax, by, cz</math> - квадрати сторін деякого трикутника<!-- можливо, виродженого -->
* Існує [[опукла функція]] або [[Монотонна функція|монотонна]] <math>f : I \longrightarrow  R^+</math> , де <math>I</math>- це [[Інтервал (математика)|інтервал]], що містить числа <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, причому <math>a = f(x)</math>, <math>b = f(y)</math>, <math>c = f(z)</math>
В 2007 році румунський математик [[Валентин Ворніку]] показав, що наступне [[узагальнення]] нерівності Шура справджується:

Якщо <math> a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}</math>, причому <math>a \geqslant b \geqslant c</math> та або <math>x \geqslant y \geqslant z</math> чи <math>z \geqslant y \geqslant x</math> і <math>k \in \mathbb{Z}^{+}</math> та <math> f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}</math> є або опуклою, або монотонною, то справджується наступна нерівність:

<math>{f(x)(a-b)^k(a-c)^k+f(y)(b-a)^k(b-c)^k+f(z)(c-a)^k(c-b)^k \geq 0}.\,</math>

Неважко переконатись, що при <math>x = a, y = b, z = c, k = 1, f(n)=n^r</math> ця нерівність перетворюється в нерівність Шура.

== Див. також ==
* [[Нерівність]]
* [[Нерівність Коші — Буняковського]]
* [[Нерівність Гельдера]]
* [[Нерівність трикутника]]
* [[Нерівність Єнсена]]

== Посилання ==
# https://web.archive.org/web/20160426234320/http://web.mit.edu/~darij/www/VornicuS.pdf
# http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Vornicu-Schur_Inequality
# http://www.imomath.com/index.php?options=596


[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Нерівності]]