Перегляд вихідного коду сторінки Нерівність Бішопа — Громова

'''Нерівність Бішопа&nbsp;— Громова'''&nbsp;— теорема порівняння в [[Ріманова геометрія|рімановій геометрії]]. Є ключовим твердженням у доведенні [[Теорема Громова про компактність (ріманова геометрія)|теореми Громова про компактність]]<ref>[[Бураго Юрій Дмитрович|Бураго Ю. Д.]], [[Залгаллер Віктор Абрамович|Залгаллер В. А.]], Введение в риманову геометрию 1991, с. 320, (22.5)</ref>.

Нерівність названа на честь {{Нп|Річард Бішоп|Річарда Бішопа|en|Richard L. Bishop}} та [[Громов Михайло Леонідович|Михайла Громова]].

== Формулювання ==
Нехай <math>M</math>&nbsp;— повний ''n''-вимірний ріманів многовид з обмеженою знизу [[Тензор Річчі|кривиною Річчі]], тобто

: <math>\mathrm{Ric} \geqslant (n-1) K</math>

для сталої <math>K\in \mathbb{R}</math>.

Позначимо через <math>B(p,r)_M</math> кулю радіуса ''r'' навколо точки ''p'', визначену відносно [[Ріманів многовид|ріманової функції відстані]].

Нехай <math>\mathbb{M}^n(K)</math> позначає ''n''-вимірний модельний простір. Тобто <math>\mathbb{M}^n(K)</math>&nbsp;— повний ''n''-вимірний [[Однозв'язна область|однозв'язний]] простір сталої секційної кривини <math>K</math>. Таким чином,

* <math>\mathbb{M}^n(K)</math> є [[Гіперсфера|''n''-сферою]] радіуса <math>1/\sqrt{K}</math>, якщо <math>K>0</math>, або
* ''n''-вимірним [[Евклідів простір|евклідовим простором]], якщо <math>K=0</math>, або
* [[гіперболічний простір|гіперболічним простором]] з кривиною <math>K<0</math>.

Тоді для будь-яких <math>p\in M</math> і <math>\tilde p\in\mathbb{M}^n(K)</math> функція

: <math> \phi(r) = \frac{\operatorname{Vol} B(p,r)_M}{\operatorname{Vol} B(\tilde p,r)_{\mathbb{M}^n(K)}} </math>

не зростає в інтервалі <math>(0,\infty)</math>.

=== Зауваження ===

* При <math>K=0</math> нерівність можна записати так
*: <math>\operatorname{Vol} B(p,\lambda\cdot r)_M\leqslant \lambda^n\cdot \operatorname{Vol} B(p,r)_M</math>

: при <math>\lambda\geqslant 1</math> .

* Якщо ''r'' прямує до нуля, то співвідношення наближається до одиниці, отже разом із монотонністю це означає, що
*: <math>\operatorname{Vol}B(p,r)_M \leqslant \operatorname{Vol} B(\tilde p,r)_{\mathbb{M}^n(K)}.</math>

: Цю версію вперше довів Бішоп<ref>Bishop, R. A relation between volume, mean curvature, and diameter. Amer. Math. Soc. Not. 10 (1963), p. 364.</ref><ref>Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds, Corollary 4, p. 256</ref>.

== Див. також ==
* [[Теорема Маєрса]]

== Примітки ==
{{Reflist}}
[[Категорія:Ріманова геометрія]]