Перегляд вихідного коду сторінки Надскладене число

[[Файл:Highly_composite_number_Cuisenaire_rods_6.png|міні|258x258пкс| Перші чотири надскладені числа: 1, 2, 4, 6 і їх розкладання на дільники ]]
'''Надскладене число'''&nbsp;— [[Натуральні числа|натуральне число]] з більшою [[Подільність|кількістю дільників]], ніж у будь-якого меншого натурального числа.

== Історія ==
Термін запропонував [[Срініваса Рамануджан|Рамануджан]] 1915 року. Однак {{Нп|Жан-П'єр Кагане||en|Jean-Pierre Kahane}} розглядав їх раніше, і, можливо, вони були відомі вже [[Платон]]у, який описав число 5040 як ідеальну кількість громадян міста, оскільки 5040 має більше дільників, ніж будь-яке менше число.<ref>{{Citation|first=Jean-Pierre|last=Kahane|author-link=Жан-П'єр Кагане|title=Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre|journal=Notices of the American Mathematical Society|date=February 2015|volume=62|issue=2|pages=136–140}}. </ref>

== Приклади ==
У таблиці наведено перші 38 надскладених чисел ({{OEIS|id=A002182}}).
{| class="wikitable" style="text-align: left; margin-bottom: 10px;"
!Номер
!Надскладене
!Розклад
на прості
!Кількість
дільників
!Розклад на
[[Прайморіал|прайморіали]]
|-
|1
|[[1 (число)|1]]
|
|1
|
|-
|2
|[[2 (число)|2]]
|<math>2</math>
|2
|<math>2</math>
|-
|3
|[[4 (число)|4]]
|<math>2^2</math>
|3
|<math>2^2</math>
|-
|4
|[[6 (число)|6]]
|<math>2\cdot 3</math>
|4
|<math>6</math>
|-
|5
|[[12 (число)|12]]
|<math>2^2\cdot 3</math>
|6
|<math>2\cdot 6</math>
|-
|6
|[[24 (число)|24]]
|<math>2^3\cdot 3</math>
|8
|<math>2^2\cdot 6</math>
|-
|7
|[[36 (число)|36]]
|<math>2^2\cdot 3^2</math>
|9
|<math>6^2</math>
|-
|8
|[[48 (число)|48]]
|<math>2^4\cdot 3</math>
|10
|<math>2^3\cdot 6</math>
|-
|9
|[[60 (число)|60]]
|<math>2^2\cdot 3\cdot 5</math>
|12
|<math>2\cdot 30</math>
|-
|10
|[[120 (число)|120]]
|<math>2^3\cdot 3\cdot 5</math>
|16
|<math>2^2\cdot 30</math>
|-
|11
|[[180 (число)|180]]
|<math>2^2\cdot 3^2\cdot 5</math>
|18
|<math>6\cdot 30</math>
|-
|12
|240
|<math>2^4\cdot 3\cdot 5</math>
|20
|<math>2^3\cdot 30</math>
|-
|13
|360
|<math>2^3\cdot 3^2\cdot 5</math>
|24
|<math>2\cdot 6\cdot 30</math>
|-
|14
|720
|<math>2^4\cdot 3^2\cdot 5</math>
|30
|<math>2^2\cdot 6\cdot 30</math>
|-
|15
|840
|<math>2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7</math>
|32
|<math>2^2\cdot 210</math>
|-
|16
|1260
|<math>2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
|36
|<math>6\cdot 210</math>
|-
|17
|1680
|<math>2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7</math>
|40
|<math>2^3\cdot 210</math>
|-
|18
|2520
|<math>2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
|48
|<math>2\cdot 6\cdot 210</math>
|-
|19
|5040
|<math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
|60
|<math>2^2\cdot 6\cdot 210</math>
|-
|20
|7560
|<math>2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7</math>
|64
|<math>6^2\cdot 210</math>
|-
|21
|10080
|<math>2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
|72
|<math>2^3\cdot 6\cdot 210</math>
|-
|22
|15120
|<math>2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7</math>
|80
|<math>2\cdot 6^2\cdot 210</math>
|-
|23
|20160
|<math>2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
|84
|<math>2^4\cdot 6\cdot 210</math>
|-
|24
|25200
|<math>2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7</math>
|90
|<math>2^2\cdot 30\cdot 210</math>
|-
|25
|27720
|<math>2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|96
|<math>2\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
|26
|45360
|<math>2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7</math>
|100
|<math>6^3\cdot 210</math>
|-
|27
|50400
|<math>2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7</math>
|108
|<math>2^3\cdot 30\cdot 210</math>
|-
|28
|55440
|<math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|120
|<math>2^2\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
|29
|83160
|<math>2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|128
|<math>6^2\cdot 2310</math>
|-
|30
|110880
|<math>2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|144
|<math>2^3\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
|31
|166320
|<math>2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|160
|<math>2\cdot 6^2\cdot 2310</math>
|-
|32
|221760
|<math>2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|168
|<math>2^4\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
|33
|277200
|<math>2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11</math>
|180
|<math>2^2\cdot 30\cdot 2310</math>
|-
|34
|332640
|<math>2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|192
|<math>2^2\cdot 6^2\cdot 2310</math>
|-
|35
|498960
|<math>2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|200
|<math>6^3\cdot 2310</math>
|-
|36
|554400
|<math>2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11</math>
|216
|<math>2^3\cdot 30\cdot 2310</math>
|-
|37
|665280
|<math>2^6\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|224
|<math>2^3\cdot 6^2\cdot 2310</math>
|-
|38
|720720
|<math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13</math>
|240
|<math>2^2\cdot 6\cdot 30030</math>
|}

== Розклад на прості ==
У розкладанні надскладених чисел беруть участь найменші прості множники, і при цьому не надто багато однакових.

За [[Основна теорема арифметики|основною теоремою арифметики]] кожне натуральне число <math>n</math> має єдиний розклад на прості:

: <math>n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}\qquad (1)</math>

де <math>p_1 < p_2 < \cdots < p_k</math> прості, і показники <math>c_i</math> додатні цілі числа. Кількість дільників <math>d(n)</math> числа <math>n</math> можна виразити так:

: <math>d(n) = (c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1).\qquad (2)</math>

Таким чином, для надскладеного числа <math>n</math> виконується таке:

* Числа <math>p_1, p_2, \dots, p_k</math> є першими <math>k</math> простими числами.
* Послідовність степенів повинна бути незростаюча, тобто <math>c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k</math> .
** Ця властивість рівнозначна тому, що надскладене число є добутком [[прайморіал]]ів.
* За винятком двох особливих випадків ''n''   =   4 та ''N''   =   36, останній степінь <math>c_k</math> дорівнює одиниці.

Зокрема тільки 1, 4 і 36 є надскладеними квадратами.

Хоча описані вище умови є необхідними, вони не є достатніми. Наприклад, 96 = 2 <sup>5</sup> × 3 задовольняє всім перерахованим вище умовам і має 12 дільників, але не є надскладеним, оскільки існує менше число 60, яке має таку саму кількість дільників.

== Асимптотичне зростання і щільність ==
Існують сталі ''a'' і ''b,'' обидві більші, ніж 1, такі, що

: <math>\ln(x)^a \le Q(x) \le \ln(x)^b,</math>

де <math>Q(x)</math> позначає кількість надскладених чисел менших або рівних <math>x</math> .

Першу частину нерівності довів [[Пал Ердеш]] 1944 року; другу довів {{Нп|Жан-Луї Ніколя||en|Jean-Louis Nicolas}} 1988 року.

: <math>1{,}13862 < \liminf \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1{,}44</math>

і

: <math>\limsup \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1{,}71.</math>

== Властивості ==
* Всі надскладені числа, більші від 6, є [[Надлишкові числа|надлишковими]].
* Не всі надскладені числа є [[Числа харшад|числами харшад]] за основою 10;
** перший контрприклад це {{Unité|245044800}}: це число має суму цифр 27, але на 27 не ділиться.

== Див. також ==
* {{Нп|Високототієнтне число||en|Highly totient number}}
* [[Таблиця дільників]]
* [[Функція Ейлера]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Джерела ==
* {{статья |заглавие=Highly composite numbers |издание=Proc. London Math. Soc. (2) |том=14 |страницы=347—409 |doi=10.1112/plms/s2_14.1.347 |язык=und |автор=Ramanujan, S. |год=1915}} ([http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram15.pdf online])
* {{книга-ру |год=2006 |заглавие=Handbook of number theory I |место=Dordrecht |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |страницы=45—46 |isbn=1-4020-4215-9 |язык=und}}
* {{статья |ссылка=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-04.pdf |заглавие=On highly composite numbers |издание=[[Лондонське математичне товариство]] |том=19 |страницы=130—133 |doi=10.1112/jlms/19.75_part_3.130 |язык=und |автор=[[Пал Ердеш|Erdös, P.]] |год=1944}}
* {{статья |ссылка=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-03.pdf |заглавие=On highly composite and similar numbers |издание=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |том=56 |номер=3 |страницы=448—469 |doi=10.2307/1990319 |язык=en |автор=Alaoglu, L. |год=1944 }}
* {{статья |ссылка=http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/ramanujanNR.pdf |заглавие=Highly composite numbers |издание={{Нп3|The Ramanujan Journal|Ramanujan Journal||The Ramanujan Journal}} |том=1 |номер=2 |страницы=119—153 |doi=10.1023/A:1009764017495 |язык=en |автор=[[Срініваса Рамануджан|Ramanujan, Srinivasa]]|год=1997 |тип=journal}} Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.


== Посилання ==
* [https://web.archive.org/web/19980707133810/http://www.math.princeton.edu/~kkedlaya/math/hcn-algorithm.tex Алгоритм обчислення надзвичайно складених чисел]
* [https://web.archive.org/web/19980707133953/http://www.math.princeton.edu/~kkedlaya/math/hcn10000.txt.gz Перші 10000 надзвичайно складених чисел в якості факторів]
* [http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html Flammenkamp Ахім, перший 779674 ГКН з Сигма, Тау, фактори]
* [http://www.javascripter.net/math/calculators/highlycompositenumbers.htm Онлайн Сильно Складові Числа Калькулятор]

== Література ==
* {{книга-ру|автор=О. Оре|заглавие=Приглашение в теорию чисел|год=1980|серия=выпуск 3 серии «Библиотечка квант»|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/ore.htm|место=М.|издательство=Наука|тираж=150 000|страниц=128|isbn=}}
{{Числа за подільністю}}
{{Класи натуральних чисел}}
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]