Перегляд вихідного коду сторінки Момент (математика)

{{Незрозуміло|дата=липень 2021}}
{{Короткий вступ|дата=липень 2021}}
{{Перекласти|en|Moment (mathematics)|дата=липень 2021}}

'''Моме́нт випадкової величини́'''&nbsp;— числова характеристика [[Функція розподілу|розподілу]] даної [[Випадкова величина|випадкової величини]].

== Означення ==

'''Моментом n-того порядку''' дискретної [[випадкова величина|випадкової величини]] <math>\xi</math>, яка приймає значення <math>x_i</math> з ймовірністю <math>p_i</math>, де <math>i=1, 2, 3 ...</math>, називається число <math>M \xi^n = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^kp_i</math>, якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто <math>M | \xi^n | = \sum_{i=1}^{\infty} | x_i^k | p_i < \infty</math>.<ref name="phys">
{{cite book
|автор= [[Єжов Станіслав Миколайович|Єжов С.М.]]
|дата= 2001
|назва= Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник.
|url= http://www.theory.phys.univ.kiev.ua/uk/content/pro-kafedru-teoretychnoii-fizyky
|мова= укр
|видавництво= ВПЦ "Київський університет"
|розміщення= К.
|archiveurl= https://web.archive.org/web/20070224123159/http://www.phys.univ.kiev.ua/theory/pdf/promain.pdf
|archivedate= 2007-02-24
|accessdate= 2015-10-10
|deadurl= no
}}
</ref>

Величина <math>M | \xi^n |</math> називається '''абсолютним моментом''' випадкової величини <math>\xi</math>.

'''Моментом n-того порядку''' неперервної [[випадкова величина|випадкової величини]] <math>\xi</math> з густиною <math>p(x)</math>, називається число <math>M \xi^n = \int_{-\infty}^{\infty} x^kp(x) dx</math>, якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто <math>M | \xi^n | =  \int_{-\infty}^{\infty} |x^k| p(x) dx < \infty</math>.<ref name="phys" />

Якщо дана випадкова величина <math>\displaystyle X,</math> визначена на деякому [[Імовірнісний простір|імовірнісному просторі]], то '''центра́льним''' моментом (k -го порядку) випадкової величини <math>\displaystyle X</math> називається величина
 
: <math>\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],</math>

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

'''Початковим''' моментом k-го порядку називається величина:

: <math>\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],</math>

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

: <math>\displaystyle k</math>-им '''факторіальним''' моментом випадкової величини <math>\displaystyle X</math> називається величина
 
: <math>\mu_k = \mathbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],</math>

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

=== Зауваження ===

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

: <math>\displaystyle \mu_1 = 0,</math>
: <math>\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,</math>
: <math>\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,</math>
: <math>\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4,</math> 
:<math>\mu_k = \sum \limits_{s=0}^{k} {(-1)^s C_k^s v_{k-s} v_{1}^{s}}</math>
:Якщо визначені моменти <math>\displaystyle k</math>-го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків <math>1 \leqslant k' < k.</math>.

== Геометрична інтерпретація деяких моментів ==

* <math>\displaystyle \nu_1</math> дорівнює [[математичне сподівання|математичному сподіванню]] випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
* <math>\displaystyle \mu_2</math> дорівнює [[Дисперсія випадкової величини|дисперсії]] розподілу випадкової величини <math>\displaystyle (\mu_2=\sigma^2)</math> і показує [[Міри розсіяння|розсіяння]] (розкид) довкола середнього значення.
* <math>\displaystyle \mu_3</math>, будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз
: <math> \gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}</math>
: називається [[Коефіцієнт асиметрії|коефіцієнтом асиметрії]].
* <math>\displaystyle \mu_4</math> контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина
: <math>\gamma_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3</math>
: називається [[Коефіцієнт ексцесу|коефіцієнтом ексцесу]] розподілу в.в. <math>\displaystyle X.</math>

== Обчислення моментів ==

* Моменти можна обчислити безпосередньо шляхом [[Інтеграл Лебега|інтегрування]] відповідної функції випадкової величини. Зокрема, для [[Абсолютно неперервний розподіл|абсолютно неперервного розподілу]] із [[Щільність|щільністю]]<math>\displaystyle f(x),</math> маємо:
 
: <math>\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,</math>

якщо

: <math> \nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty}</math>,

а для [[Дискретний розподіл|дискретних розподілів]] із [[Функція ймовірностей|функцією ймовірностей]] <math>\displaystyle p(x)</math>:

: <math>\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),</math>

якщо <math>\nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.</math>

* Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її [[Характеристична функція випадкової величини|характеристичну функцію]] <math>\displaystyle \varphi(t)</math>:
: <math>\nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \varphi(t)\right\vert_{t=0}.</math>

* Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена [[твірна функція моментів]], <math>\displaystyle M_X(t),</math>, то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:
: <math>\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\right\vert_{t=0}.</math>

Можна також розглядати моменти в.в. для значень <math>k</math>, що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу <math>k</math>, називається [[Перетворення Меліна|перетворення Мелліна]].

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий&nbsp;— тензором другого порядку (див. [[матриця коваріації]]) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

== Див. також ==
* [[Математичне сподівання]]
* [[Дисперсія випадкової величини]]

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}
* {{Сеньо|1|4.3}}

== Примітки ==
{{Примітки}}

{{Статистика|описова}}

[[Категорія:Момент (математика)| ]]