Перегляд вихідного коду сторінки Многочлен

{{unibox}}[[Файл:Polynomialdeg3.svg|[[Графік функції|Графік]] поліноміальної функції 3-го степеня|thumb|upright]]
'''Многочленом''', '''багаточленом''' або '''поліномом''' однієї [[змінна|змінної]] в [[математика|математиці]] називається вираз вигляду
:Y = <math>\ c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n</math>,
де <math>c_i</math> є сталими [[коефіцієнт]]ами ([[константа]]ми), а <math>x</math>&nbsp;— змінна.

Наприклад, <math>12 + 3.1 x + 2 x^6</math>, та <math>1 + x + x^2 + x^3</math>, є многочленами, але
<math> {1 \over x^2 + 1}</math> та <math> {\sqrt{x^2 + 1}}</math> не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних (багатовимірним многочленом) називається скінченна [[сума]], в якій кожен з [[доданок|доданків]] є [[добуток|добутком]] скінченного числа цілих степенів змінних та константи:

:<math>c_0 + c_1 x y^2 + c_2 z^3 + c_3 x y z + \ldots</math>.

Многочлени є одним з найважливіших класів [[елементарні функції|елементарних функцій]].

== Пов'язані терміни ==

В многочлені <math>c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n</math> доданки <math>c_i x^i</math> називаються його '''членами'''. Якщо <math>c_n \ne 0</math>, то <math>c_n x^n</math> називається '''старшим членом''', а його степінь <math>n</math> '''степенем многочлена'''. [[Степінь многочлена]] <math>f(x)</math> позначається <math>\deg(f)</math>. Член нульового степеня <math>c_0</math> називається '''вільним членом'''.

Ще є '''нульовий многочлен''' <math>f ( x ) = 0</math>
(інколи пишуть <math>f ( x ) \equiv 0</math>, щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює ''мінус нескінченності'', <math>-\infty</math>.

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня&nbsp;— '''лінійним''', другого степеня&nbsp;— '''квадратичним''', третього степеня&nbsp;— '''кубічним'''. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається '''одночленом''', з двома членами&nbsp;— '''двочленом''', з трьома&nbsp;— '''тричленом'''.

Наприклад, <math>x^3 + 2 x + 5</math>&nbsp;— кубічний тричлен з членами <math>x^3</math>, <math>2 x</math> і <math>5</math>, причому <math>x^3</math>&nbsp;— це старший член, а <math>5</math>&nbsp;— вільний член.

== Операції над многочленами ==

* ''Сума'' многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.
: <math>\sum_{i=0}^n a_i x^i + \sum_{i=0}^m b_i x^i = 
\sum_{i=0}^{\max \{ n, m \}} (a_i + b_i) x^i</math>

* ''Добуток'' многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.
: <math> \left ( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right ) \cdot 
\left ( \sum_{i=0}^m b_i x^i \right ) = 
\sum_{k=0}^{n+m} \left ( \sum_{i + j = k} a_i b_j \right ) x^k</math>

* Многочлени можна ''[[ділення многочленів|ділити з остачею]]'': якщо <math>g(x)</math>&nbsp;— ненульовий многочлен, то будь-який многочлен <math>f(x)</math> можна представити у вигляді
:<math>f(x) = q(x) g(x) + r(x)</math>,
де <math>q(x)</math> і <math>r(x)</math>&nbsp;— многочлени, причому <math>\deg(r) < \deg(g)</math>.

== Корінь многочлена ==
{{Докладніше|Корінь многочлена|Метод Ліля}}
Многочлен можна розглядати як функцію від змінної <math>x</math>. Число <math>a</math> називається '''коренем''' многочлена <math>f(x)</math>, якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо <math>f(a)=0</math>. Це рівносильно умові «Многочлен <math>f(x)</math> ділиться на двочлен <math>x-a</math> без остачі» (див. [[Безу теорема|теорему Безу]]).
Якщо <math>f(x)</math> ділиться на <math>(x-a)^2</math> без остачі, то корінь <math>a</math> називається '''кратним'''; якщо не ділиться, то '''простим'''.
'''Кратністю''' кореня називається найбільше число <math>k</math>, для якого <math>f(x)</math> ділиться на <math>(x-a)^k</math> без остачі (таким чином, прості корені&nbsp;— це корені кратності 1).

== Розкладання многочлена на нескоротні множники ==
{{Див. також|Факторизація многочленів}}
Якщо неконстантний многочлен <math>f(x)</math> можна представити у вигляді <math>f(x) = g(x) h(x)</math>, де <math>g(x)</math> і <math>h(x)</math>&nbsp;— многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що <math>f(x)</math> розкладено на нетривіальні множники <math>g(x)</math>, <math>h(x)</math>. Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають '''нескоротним'''.
Зрозуміло, що оскільки
: <math>\deg(f) = \deg(g) + \deg(h)</math>, <math>\deg(g) > 0 </math> і <math>\deg(h) > 0</math>,
то
: <math>\deg(g) < \deg(f) </math> і <math>\deg(h) < \deg(f)</math>.
Якщо якийсь з множників <math>g(x)</math>, <math>h(x)</math> можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо.
Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним.
Отже в результаті ми отримаємо представлення <math>f(x)</math> у вигляді
:<math>f(x) = f_1(x) f_2(x) \ldots f_m(x)</math>,
де многочлени <math>f_i(x)</math> є нескоротними.
Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

== Основна теорема алгебри ==
{{Докладніше|Основна теорема алгебри}}

Комплексний многочлен степеня <math>n > 0</math> має рівно <math>n</math> [[комплексні числа|комплексних]] коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на <math>n</math> лінійних множників:
: <math>f(z)=c_n(z-z_1)(z-z_2) \ldots (z-z_n), \quad c_n, z_i \in \Complex </math>
Таким чином, серед многочленів з комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

== Узагальнений многочлен ==
Нехай <math>\mathbf F=\{f_0(x), f_1(x), \dots, f_m(x)\}</math> — задана на <math>[a, b]</math> система линійно незалежних функцій. Узагальненим многочленом будемо називати функцію

: <math>P_m (x) := a_0f_0(x) + a_1f_1(x) + \ldots + a_mf_m(x)</math>

де <math>a_0, a_1, \dots, a_m</math> — довільні дійсні числа (коэфіціенти узагальненого многочлена).
; Приклади
* <math>\mathbf F=\{1, x, \dots, x^m\}</math>, многочлен
* <math>\mathbf F=\{1, \cos(x), \dots, \cos(mx)\}</math>, [[тригонометричний многочлен]]
* <math>\mathbf F=\{J_0(x), J_1(x), \dots, J_m(x)\}</math>, де <math>J_{\alpha}(x)</math> [[функції Бесселя]]

== Див. також ==
* [[Одночлен]]
* [[Многочлен Тейлора]]
* [[Матричний многочлен]]

== Джерела ==
* {{Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.}}
* Розклад матричних многочленів на множники: монографія / П.&nbsp;С.&nbsp;Казімірський ; [відп. ред. Д.&nbsp;О.&nbsp;Супруненко] ; НАН України, Ін-т приклад. проблем механіки і математики ім. Я.&nbsp;С.&nbsp;Підстригача.&nbsp;— 2-ге вид., виправл.&nbsp;— Львів: ІППММ, 2015.&nbsp;— 282 с. : 1 арк. портр.&nbsp;— Бібліогр.: с. 274—280 (79 назв).&nbsp;— ISBN 978-966-02-7655-0
* {{БСЭ|077318|Многочлен}}
* {{Бурбаки.Алгебра.ч2}}
* {{ван.дер.Варден.Алгебра}}

{{перекласти|en}}

[[Категорія:Многочлени|*]]