Перегляд вихідного коду сторінки Метричний простір

'''Метри́чний про́стір'''&nbsp;— це множина об'єктів довільної природи, для яких введено поняття [[Метрика (математика)|відстані]] між елементами (числами, n-дійсними числами, n-вимірними векторами, функціями, наборами функцій, тощо).

== Формальне визначення ==
'''Метричним простором''' називається пара <math>(X,\;d)</math>, яка складається з деякої множини елементів <math>\;X</math> і відстані <math>d\colon X\times X\to\R</math>, а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції <math>\;d(x,y)</math>, визначеної для <math>\forall x,y\in X</math>, яка задовольняє такі 3 аксіоми:
# <math>d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y</math> (''аксіома тотожності'').
# <math>d(x,\;y)=d(y,\;x)</math> (''аксіома симетрії'').
# <math>d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)</math> ([[нерівність трикутника]]).
Невід'ємність доводиться за допомогою таких міркувань:
: <math>0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)</math>

== Приклади метричних просторів ==
# '''Простір ізольованих точок''' <br/> <math>d(x,y) = \begin{cases} 0, & x=y\\ 1, & x \ne\ y \end{cases}</math>
# Множина дійсних чисел утворює метричний простір '''<math>\R^1</math>''' <br/> <math>d(x,\;y) = |x-y|</math>
# Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> з відстанню <br/> <math>d(x,\;y) = \sqrt{\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)^2}</math> <br/> називається n-вимірним арифметичним [[евклідів простір|евклідовим простором]] '''<math>\R^n</math>'''.
# Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math>, але з відстанню <br/> <math>d_1(x,\;y) = \sum_{k=1}^n |y_k - x_k| </math> <br/> позначимо простором '''<math>\R^n_1</math>'''.
# Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою: <br/> <math>d_\infty(x,\;y) = \max_{1\leqslant k \leqslant n} |y_k-x_k|</math> <br/> Цей простір '''<math>\mathbb{R}^n_\infty</math>''' в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідів простір '''<math>\mathbb{R}^n</math>'''.
# Множина <math>C_{[a,b]}</math> всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку <math>[a,b]</math> з відстанню <br/> <math>d(f,\;g)= \max_{a \leqslant t \leqslant b}|g(t)-f(t)|</math>
# Позначимо через <math>\mathit{l}_2</math> метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)</math> дійсних чисел, що задовольняють умові: <math>\sum_{k=1}^\infty x_k^2 < \infty</math>, а відстань визначається формулою: <br/> <math>d(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty (y_k-x_k)^2}</math>
# Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку <math>[a,b]</math>, але відстань визначимо по-іншому, а саме: <br/> <math>d(x,y)=\left (\int_a^b (x(t)-y(t))^2 \right)^{1/2}</math> <br/> Такий метричний простір позначимо <math>C_2[a,b]</math> і будемо називати простором [[Неперервна функція|неперервних функцій]] з квадратичною метрикою.
# Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)</math> дійсних чисел, отримаємо простір <math>\mathit m</math> з метрикою: <br/> <math>d(x,\;y)=\sup_{k}|y_k-x_k|</math>
# Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню <br/> <math>d(x,\;y)=(\sum_{k=1}^n |y_k-x_k|^p)^{1/p}</math>,<br/> де <math>p</math>&nbsp;— будь-яке фіксоване число <math>\geqslant 1</math>. Цей простір позначимо <math>\mathbb{R}^n_p</math>

== Метричні простори та аксіоми зліченності ==
1. Будь-який метричний простір задовольняє [[Перша аксіома зліченності|першу аксіому зліченності]].
{{Hider|title=Доведення|content=
Нехай <math>\;a</math> — довільна точка метричного простору <math>\;X</math>, тоді як зліченну визначальну систему околів можна взяти кулі <math> U\left(a,{1 \over n}\right) \equiv \left\{ x \in X| d(a,x)<{\frac 1 n}\right\}, n \in \mathbb{N} </math>. <br> Тоді, для кожної граничної точки знайдеться збіжна послідовність точок із цієї множини.
|hidden=1}}
2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовольняє [[друга аксіома зліченності|другу аксіому зліченності]].
{{Hider|title=Доведення|content=
Зліченну базу топології такого простору утворюють, наприклад, такі відкриті кулі: <math>U\left(x_n,{\frac 1 m}\right), n,m\in \N,</math> де <math>{\;x_n}</math> — зліченна скрізь [[щільна множина]], а змінні <math>m,\;n</math> пробігають всі натуральні числа незалежно одна від одної.
|hidden=1}}

== Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжність ==
Будь-який метричний простір є [[топологічний простір|топологічним простором]], тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природним чином поширити на метричні простори.

Для будь-якої точки <math>\;x</math> метричного простору <math>\;X</math> визначимо [[відкрита множина|відкриту]] кулю радіуса <math>\;r>0</math> з центром в точці <math>\;x</math>, як множину <math>B(x,r)\equiv\{y\in X|d(x,y)<r\}</math>. Такі відкриті кулі породжують топологію на <math>\;X</math>, а отже й топологічний простір. Породжена топологія задовольняє багатьом умовам, наприклад всім [[аксіоми віддільності|аксіомам віддільності]].

Підмножина <math>\;U</math> метричного простору <math>\;X</math> називається відкритою, якщо <math> \forall x\in U \;\exists r>0 </math>, такий що <math>B(x,r) \subset U.</math> Доповненням до відкритої множини називається [[замкнута множина]]. Околом точки <math>x \in X</math> називається будь-яка відкрита підмножина <math>\;X</math>, що містить <math>\;x</math>.

Послідовність <math>\{\;x_n\}</math> метричного простору <math>\;X</math> називається збіжною до границі <math>x \in X</math> тоді і тільки тоді, коли <math>\forall \epsilon>0 \;\exists N\in \N \;\forall n>N \;d(x_n,x) < \epsilon.</math> Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.

Підмножина <math>\;A</math> метричного простору <math>\;X</math> замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність <math>\;A</math> збіжна в <math>\;X</math> і має границю, що належить <math>\;A</math>.

== Гомеоморфізм. Ізоморфізм ==
Якщо відображення <math>\;f:X \to Y</math> взаємно однозначне, то існує обернене відображення <math>\;x=f^{-1}(y)</math> простору <math>\;Y</math> на простір <math>\;X</math>. Якщо відображення <math>\;f</math> взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори <math>\;X</math> та <math>\;Y</math>, між якими можна встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція <math>\;f</math> між метричними просторами <math>(X,\;d_1)</math> і <math>(Y,\;d_2)</math> є ізометрією, якщо <math>d_1(x_1,x_2)=d_2(f(x_1),f(x_2))\; \forall x_1,x_2 \in \R</math>. Простори <math>\;X</math> і <math>\;Y</math>, між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їхніми елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їхніх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєво. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

== Типи метричних просторів ==

=== Повні простори ===
[[Повний метричний простір|Метричний простір називається повним]], якщо у ньому будь-яка [[фундаментальна послідовність]] є збіжною до елемента цього простору:
<math> \forall \varepsilon>0, \exists N\in\N, \forall n>N, \forall m>N: d(x_n,x_m) <\varepsilon </math>.

Будь-який [[евклідів простір]], як і будь-яка замкнена множина, є повним метричним простором.

Будь-який метричний простір має єдине (з точністю до ізометрії) поповнення, що складається з повного метричного простору, який містить даний простір у вигляді [[Щільна множина|щільної підмножини]].

Якщо <math>\;X</math> повна [[підмножина]] метричного простору <math>\;M</math>, то <math>\;X</math> є замкненим в <math>\;M</math>. Дійсно, простір <math>\;X\subset M</math> є повним тоді і тільки тоді, коли він є замкненим у повному метричному просторі <math>\;M</math>.

Якщо <math>\;(X,d)</math>&nbsp;— повний метричний простір, то <math>\;X</math> є множиною [[Теорія категорій|другої категорії]] ([[Теорема Бера про категорії]]).

== Див. також ==
* [[Повний метричний простір]]
* [[Категорія метричних просторів]]
* [[Нормований простір]]
* [[Неархімедова метрика]]
* [[Відстань Гаусдорфа]]
* [[Скінченний топологічний простір]]

== Джерела ==
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Березанський.Ус.Шефтель}}
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}
* {{Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.}}
* {{Голод.Клімик.Математичні основи теорії симетрії}}
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}

== Посилання ==
* {{cite web |title=Introduction to Metric Spaces |url=https://ocw.mit.edu/courses/18-s190-introduction-to-metric-spaces-january-iap-2023/ |website=[[MIT OpenCourseWare]] |accessdate=15 листопада 2023 |language=en}}

{{math-stub}}
{{Топологія|state=collapsed}}

[[Категорія:Метрична геометрія|*]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Простір]]