Перегляд вихідного коду сторінки Метод Адамса

{{Диференціальні рівняння|Методи розв'язання}}
'''Метод Адамса'''&nbsp;— група методів чисельного інтегрування звичайних [[Диференційні рівняння|диференційних рівнянь]], які дозволяють обчислювати таблицю наближених значень розв'язку за даними в початкових точках.

В однокрокових методах для обчислення значення у<sub>n+1</sub> використовується значения тільки у<sub>n</sub> і для підвищення точності при фіксованому кроці необхідно проводити обчислення великої кількості допоміжних величин. Це є причиною того, що для багатьох задач застосування [[метод Рунге-Кутти|формул Рунге-Кутти]] неможливе внаслідок надто великого обсягу обчислень. Тому часто раціональніше переходити до багатокрокових методів, які дають можливість, використовуючи значення f(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>), що обчислені на попередніх кроках, отримати прийнятну точність.
Серед k-крокових методів найчастіше використовують методи інтегрування на сітці з постійним кроком, які називаються скінченно-різницевими схемами. Розглянемо загальне диференційне рівняння '''(1)'''<br/> <math> \int\limits_D f(\vec x) d\vec x \approx \sum_{i=1}^N \omega_i f (\vec x^i)</math>

Припустимо, що вже відомі розв'язки на множині значень Х<sub>i</sub> (і=0,1,. . .,п). Тобто можна записати рівняння '''(2)''':

:<math> y (x_{n+1}) = y_n + \int_{x_n}^{x_{n+1}} f(t, y(t)) dt</math>

При обчисленні інтеграла в правій частині цього виразу підінтегральну функцію замінимо на [[інтерполяційний многочлен Ньютона]] для інтерполяції назад <math>P_{n-1} (x)=f(x_n)+f(x_{n-1};x_n)(x-x_n)+...+f(x_1;...;x_n)(x-x_n)...(x-x_1)</math> на сітці х<sub>п</sub>, x<sub>n-1</sub>, x<sub>n-2</sub> ,... 

При цьому
<math>f(x,y) \equiv f(x) = a_0+a_1(x-x_n)+a_2(x-x_n)(x-x_{n-1})+...+a_m(x-x_n)...(x-x_{n-m+1})+R_m(x)</math> де <math>a_k=\frac{\nabla^k f_n}{k! h^k}</math> і R<sub>m</sub>(x) - похибка інтерполяції, яка і буде визначати похибку 
отриманих нижче формул. Нагадаємо, що <math>\nabla^k f_n</math> — скінченні ліві різниці k-го порядку функції f(x,y) в точці х<sub>n</sub>. Підставивши  в '''(2)''' праву частину '''(1)''' і знехтувавши оцінкою похибки, отримаємо

:<math>\int_{x_n}^{x_{n+1}} f(t, y(t)) dt \approx \sum_{k=0}^m \frac{\nabla^k f_n}{k! h^k} \int_{x_n}^{x_{n+1}} (t-x_n)...(t-x_{n-k+1}) dt</math>

Обчислимо декілька перших інтегралів:

:<math>k=0, \int_{x_n}^{x_{n+1}} dt = h</math>
:<math>k=1, \int_{x_n}^{x_{n+1}}(t-x_n) dt = \frac{h^2}{2}</math>
:<math>k=2, \int_{x_n}^{x_{n+1}}(t-x_n)(t-x_{n-1}) dt = \frac{5}{6}h^3</math>

У результаті отримаємо '''формулу Адамса'''

:<math>y_{n+1}=y_n+h[f_n+\frac{1}{2} \nabla f_n+\frac{5}{12} \nabla^2 f_n+\frac{3}{8} \nabla^3 f_n+\frac{251}{720} \nabla^4 f_n+...]</math>

де порядок точності методу збігається з кількістю доданків у квадратних дужках.
На практиці, для користування цією формулою залежно від порядку точності, необхідно знати відповідну початкову послідовність значень f<sub>i</sub> (а значить і y<sub>i</sub>) у вузлах Х<sub>i</sub>. Для їх обчислення зазвичай використовують однокроковий метод (наприклад Рунге-Кутти) в початкових точках поблизу x<sub>0</sub>, а потім переходять до використання формули Адамса.

==Приклади==

Розглянемо такий приклад
: <math> y' = y, \quad y(0) = 1. </math>
Точним розв'язком є <math> y(t) = \mathrm{e}^t </math>.

===Однокроковий Ейлер===
Простим чисельним методом є метод Ейлера:
: <math> y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n). \, </math>
Метод Ейлера можна розглядати як вироджений в однокроковий багатокроковий метод.

Цей метод, застосований з кроком розміру <math> h = \tfrac12 </math> на проблемі <math> y' = y </math>, дає такі висліди:
: <math> \begin{align}
  y_1 &= y_0 + hf(t_0, y_0) = 1 + \tfrac12\cdot1 = 1.5, \\
  y_2 &= y_1 + hf(t_1, y_1) = 1.5 + \tfrac12\cdot1.5 = 2.25, \\
  y_3 &= y_2 + hf(t_2, y_2) = 2.25 + \tfrac12\cdot2.25 = 3.375, \\
  y_4 &= y_3 + hf(t_3, y_3) = 3.375 + \tfrac12\cdot3.375 = 5.0625.
\end{align} </math>

===Двокроковий метод Адамса-Бешфорта===
Метод Ейлер однокроковий. Простий багатокроковий метод це двокроковий метод Адамса-Бешфорта ({{lang-en|Adams–Bashforth method}})
: <math> y_{n+2} = y_{n+1} + \tfrac32 hf(t_{n+1},y_{n+1}) - \tfrac12 hf(t_n,y_n). </math>
Цей метод для отримання наступного значення, <math> y_{n+2} </math>, потребує два значення, <math> y_{n+1} </math> і <math> y_n </math>. Однак, [[Задача Коші|задача з початковим значенням]] надає лише одне, <math> y_0 = 1 </math>. Один з підходів полягає у використанні <math> y_1 </math> обчисленого методом Ейлера як другого значення. З таким вибором, метод Адамса-Бешфорта видає (округлено до чотирьох цифр):
: <math> \begin{align}
  y_2 &= y_1 + \tfrac32 hf(t_1, y_1) - \tfrac12 hf(t_0, y_0) = 1.5 + \tfrac32\cdot\tfrac12\cdot1.5 - \tfrac12\cdot\tfrac12\cdot1 = 2.375, \\
  y_3 &= y_2 + \tfrac32 hf(t_2, y_2) - \tfrac12 hf(t_1, y_1) = 2.375 + \tfrac32\cdot\tfrac12\cdot2.375 - \tfrac12\cdot\tfrac12\cdot1.5 = 3.7812, \\
  y_4 &= y_3 + \tfrac32 hf(t_3, y_3) - \tfrac12 hf(t_2, y_2) = 3.7812 + \tfrac32\cdot\tfrac12\cdot3.7812 - \tfrac12\cdot\tfrac12\cdot2.375 = 6.0234.
\end{align} </math>
Точний розв'язок при <math> t = t_4 = 2 </math> є <math> \mathrm{e}^2 = 7.3891\ldots </math>, отже двокроковий метод Адамса-Бешфорта точніший ніж метод Ейлера. Це завжди виконується якщо крок достатньо малий.

== Див. також ==
* [[Метод Ейлера]]
* [[Метод Рунге — Кутти]]

==Джерела==
* [http://www.phys.univ.kiev.ua/theory/pdf/rparmain.pdf ''Єжов С.М.'' Методи обчислень]

[[Категорія:Чисельні методи]]
[[Категорія:Обчислювальна математика]]