Перегляд вихідного коду сторінки Матриця повороту

{{unibox}}'''Матриця повороту''' — [[матриця переходу]], яка зв'язує між собою координати [[вектор]]ів [[векторний простір|векторного простору]] при зміні [[декартова система координат|системи координат]].

В новій системі координат вектор <math>\ x \,</math> переходить у вектор <math> x^{\prime} .</math> Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок  
:<math>\ x^\prime = R \cdot x. </math>

Цей зв'язок визначається '''матрицею повороту''' <math>\ R.</math>

==Властивості ==

*Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються [[довжина вектора|довжини векторів]], то <math> (x^\prime)^T \cdot x^\prime = x^T R^T \cdot R x = x^T \cdot x, </math>

:отже, матриця повороту є [[ортогональна матриця|ортогональною матрицею]]: 
:<math>\ R^{-1} = R^T</math>  ([[обернена матриця]] дорівнює [[транспонована матриця|транспонованій матриці]]).

*Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то  
:<math>\ \det R = +1 </math> ([[детермінант]] матриці повороту дорівнює одиниці).

*Добутком матриць повороту є матриця повороту:
:<math> (R_1 R_2)^T (R_1 R_2) = R_2^T (R_1^T R_1) R_2 = I,</math>

:<math>\ \det (R_1 R_2) = (\det R_1) (\det R_2) = +1.</math>

Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну [[спеціальна ортогональна група|спеціальну ортогональну групу]] (SO(n)).

* Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:
:<math>R ( \vec{a} \times \vec{b}) = R\vec{a} \times R\vec{b}.</math>

== Матриця повороту на площині ==
[[Файл:Rotate.PNG|thumb|300px|right|Поворот в площині на кут <math> \varphi </math> переводить точку <math> (x,y) </math> в точку <math> (x',y') </math>]]
У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд
: <math> R(\varphi) = \begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi  \end{bmatrix}, </math>

де <math> \varphi </math>&nbsp;— кут повороту проти годинникової стрілки.

Вона обертає вектор рядок за допомогою наступного [[множення матриць]],
:<math>
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos \varphi & -\sin \varphi \\
\sin \varphi & \cos \varphi \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}</math>.

Тож нові координати (''x',y''') точки (''x,y'') після обертання будуть наступні:
:<math>x' = x \cos \varphi - y \sin \varphi \,</math>,
:<math>y' = x \sin \varphi + y \cos \varphi \,</math>.

== Матриця повороту в тривимірному просторі ==
{{Main|SO(3)}}
*Матриці повороту відносно осей  x, y та z відповідно:
:<math>
R_x(\varphi) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\varphi & -\sin\varphi \\
0 & \sin\varphi & \cos\varphi \\
\end{bmatrix}, \qquad

R_y(\varphi) = \begin{bmatrix}
\cos\varphi & 0 & \sin\varphi \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\varphi & 0 & \cos\varphi \\
\end{bmatrix}, \qquad

R_z(\varphi) = \begin{bmatrix}
\cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\
\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}.
</math>

*Матриця повороту може бути виражена через [[кути Ейлера]] як
:<math>\ R = R_z(\varphi)\cdot R_y(\theta) \cdot R_x(\psi).</math>

*Матриця повороту відносно [[одиничний вектор|одиничного вектора]] <math>\mathbf{u}= (x,y,z)</math> на кут <math>\varphi</math>:
:<math> R_\mathbf{u}(\varphi) = \mathbf{uu}^T + (I - \mathbf{uu}^T)\cos\varphi + \big[\mathbf{u}\big]_{\times}\sin\varphi, </math>
де
:<math>\big[\mathbf{u}\big]_{\times}</math> — [[матриця векторного добутку]],
:<math>\mathbf{u \otimes u} = \mathbf{uu}^T</math> — [[тензорний добуток]] векторів (результатом є матриця). 

Кожен з трьох доданків є [[ортогональність|ортогональним]] до двох інших:
: перший — [[ортогонально-проекційна матриця|проектор]] на лінію вектора '''u''',
: інші — на лінії, що перпендикулярні вектору '''u'''.

Вищенаведена формула — матричний запис [[формула повороту Родрігеса|формули повороту Родрігеса]].

== Матриця повороту в просторі Мінковського == 
У [[простір Мінковського|просторі Мінковського]] матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї [[інерційна система відліку|інерційної системи відліку]] до іншої, які задаються [[перетворення Лоренца|перетвореннями Лоренца]].

== Див. також ==
* [[Кватерніони і повороти простору]]
* [[Унітарна матриця]]

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Ланкастер.Теорія матриць}}
* {{Хорн.Джонсон.Матричний аналіз}}
* {{Golub.Loan.Matrix Computations}}
* {{MathWorld|urlname=RotationMatrix}}

[[Категорія:Теорія матриць]]
[[Категорія:Обертання]]
[[Категорія:Типи матриць]]
[[Категорія:Перетворення простору]]
[[Категорія:Теоретична механіка]]