Перегляд вихідного коду сторінки Лінійно зв'язний простір

'''Лінійно зв'язний простір'''&nbsp;— [[топологічний простір]], в якому будь-які дві точки можна з'єднати [[Неперервна функція|неперервною]] кривою.

== Означення ==
* Розглянемо [[відрізок]] [[Дійсні числа|числової прямої]] <math>[0,1]\subset \mathbb{R}</math> з визначеною на ньому стандартною топологією дійсної прямої. Нехай також дано топологічний простір <math>(X,\mathcal{T}).</math> Тоді останній називається лінійно зв'язаним, якщо для будь-яких двох точок <math>x,y\in X</math> знайдеться неперервне відображення <math>f:[0,1] \to X</math> таке, що
*: <math>f(0) = x,\; f(1) = y.</math>
* Нехай дана підмножина <math>M \subset X</math>. Тоді на ньому природним чином визначається топологія <math>\mathcal{T}_M</math>, індукована <math>\mathcal{T}</math>. Якщо простір <math>\left(M,\;\mathcal{T}_M\right)</math> лінійно зв'язаний, то підмножина <math>M</math> також називається лінійно зв'язаною у <math>X</math>.

== Властивості ==
* Будь-який лінійно зв'язний простір є [[Зв'язаний простір|зв'язаним]].
* Обернене твердження є невірним; наприклад [[Замикання (топологія)|замикання]] графіка функції <math>\sin\tfrac1x, \; x > 0</math> є зв'язаним, але не лінійно зв'язаним (замикання окрім самого графіка функції містить також відрізок <math>[-1,1]</math> на осі ординат і жодну точка цього відрізку не можна поєднати неперервною кривою із будь-якою точкою графіка).
* Неперервний [[Образ відображення|образ]] лінійно зв'язного простору є лінійно зв'язним.
* Якщо простір X є лінійно зв'язним і <math>x,\;y\in X</math>, то [[Фундаментальна група|фундаментальні групи]] <math>\pi_1(X,\;x)</math> і <math>\pi_1(X,\;y)</math> є ізоморфними і цей [[ізоморфізм]] визначається однозначно з точністю до внутрішнього [[автоморфізм]]у <math>\pi_1(X,\;x)</math>.

== Лінійна зв'язність на числовій прямій ==

Будемо вважати, що <math>X = \R</math>, а <math>\mathcal{T}</math>&nbsp;— стандартна топологія числової прямої. Тоді

* Підмножина <math>M \subset \mathbb{R}</math> є лінійно зв'язною тоді і тільки тоді, коли
*: <math>\forall x,\;y\in M : (x \leqslant y ) \Rightarrow \bigl([x,\;y] \subset M \bigr),</math>
: тобто будь-які дві точки входять до нього разом із з'єднучим їх відрізком.
* Будь-яка лінійно зв'язна підмножина числової прямої є скінченним або нескінченним, відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом:
*: <math>(a\;,b),\; [a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty,\;b),\;(-\infty,\;b],\;(a,\;+\infty),\;[a,\;+\infty).</math>
* Підмножина числової прямої є лінійно зв'язною тоді і тільки тоді, коли вона є зв'язною.

== Узагальнення ==

Багатовимірним узагальненням лінійної зв'язності є k-зв'язність (зв'язність у розмірності <math>k</math>). Простір <math>X</math> називається '''зв'язаним у розмірності <math>k</math>''', якщо будь-яке відображення [[Сфера|r-вимірної сфери]] <math>S^r</math> в <math>X</math>, де <math>r\leqslant k</math>, є [[Гомотопія|гомотопним]] сталому відображенню.

Зокрема, лінійно зв'язний простір є 0-зв'язним простором, тобто будь-яке відображення [[Дискретна множина|дискретної множини]] із двох точок (нульвимірної сфери) гомотопно сталому відображенню.

== Джерела ==
* {{Бурбакі.Загальна топологія.г1-2}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}

[[Категорія:Загальна топологія]]
[[Категорія:Властивості топологічних просторів]]