Лінійно зв'язний простір

Лінійно зв'язний простір — топологічний простір, в якому будь-які дві точки можна з'єднати неперервною кривою.

Означення

• Розглянемо відрізок числової прямої $[0,1]\subset ℝ$ з визначеною на ньому стандартною топологією дійсної прямої. Нехай також дано топологічний простір $(X,𝒯).$ Тоді останній називається лінійно зв'язаним, якщо для будь-яких двох точок $x,y\in X$ знайдеться неперервне відображення $f:[0,1]\to X$ таке, що

  $f(0)=x,f(1)=y.$

• Нехай дана підмножина $M\subset X$. Тоді на ньому природним чином визначається топологія ${𝒯}_M$, індукована $𝒯$. Якщо простір $(M,{𝒯}_M)$ лінійно зв'язаний, то підмножина $M$ також називається лінійно зв'язаною у $X$.

Властивості

• Будь-який лінійно зв'язний простір є зв'язаним.
• Обернене твердження є невірним; наприклад замикання графіка функції $\sin \frac{1}{x},x>0$ є зв'язаним, але не лінійно зв'язаним (замикання окрім самого графіка функції містить також відрізок $[-1,1]$ на осі ординат і жодну точка цього відрізку не можна поєднати неперервною кривою із будь-якою точкою графіка).
• Неперервний образ лінійно зв'язного простору є лінійно зв'язним.
• Якщо простір X є лінійно зв'язним і $x,y\in X$, то фундаментальні групи ${\pi }_1(X,x)$ і ${\pi }_1(X,y)$ є ізоморфними і цей ізоморфізм визначається однозначно з точністю до внутрішнього автоморфізму ${\pi }_1(X,x)$.

Лінійна зв'язність на числовій прямій

Будемо вважати, що $X=ℝ$, а $𝒯$ — стандартна топологія числової прямої. Тоді

• Підмножина $M\subset ℝ$ є лінійно зв'язною тоді і тільки тоді, коли

  $\mathrm{\forall }x,y\in M:(x⩽y)\Rightarrow ([x,y]\subset M),$

тобто будь-які дві точки входять до нього разом із з'єднучим їх відрізком.

• Будь-яка лінійно зв'язна підмножина числової прямої є скінченним або нескінченним, відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом:

  $(a,b),[a,b),(a,b],[a,b],(-\mathrm{\infty },b),(-\mathrm{\infty },b],(a,+\mathrm{\infty }),[a,+\mathrm{\infty }).$

• Підмножина числової прямої є лінійно зв'язною тоді і тільки тоді, коли вона є зв'язною.

Узагальнення

Багатовимірним узагальненням лінійної зв'язності є k-зв'язність (зв'язність у розмірності $k$). Простір $X$ називається зв'язаним у розмірності $k$, якщо будь-яке відображення r-вимірної сфери $S^r$ в $X$, де $r⩽k$, є гомотопним сталому відображенню.

Зокрема, лінійно зв'язний простір є 0-зв'язним простором, тобто будь-яке відображення дискретної множини із двох точок (нульвимірної сфери) гомотопно сталому відображенню.

Джерела

• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г1-2
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр