Перегляд вихідного коду сторінки Лінійна форма

'''Лінійна форма''', '''лінійний функціонал''', '''[[1-форма]]''', '''[[коваріантний вектор]]''' або '''ковектор''' ({{lang-en|linear form, linear functional, one-form, covector}}) в [[Лінійна алгебра|лінійній алгебрі]]&nbsp;— [[лінійне відображення]] заданого [[векторний простір|векторного простору]] в [[поле (алгебра)|поле]] скалярів, над яким визначено даний простір. Також поняття можна ввести для [[модуль над кільцем|модулів]] над кільцями.

У [[Евклідів простір|<math>\mathbb{R}^n</math>]], якщо [[Евклідів вектор|вектори]] представлені у вигляді [[Вектор-стовпці|вектор-стовпців]], то лінійні функціонали представляються у вигляді [[Вектор-стовпці|вектор-рядків]], а їх дія над векторами задається [[Множення матриць|добутком матриці]] на [[Вектор-стовпці|вектор-рядок]] зліва та на [[Вектор-стовпці|вектор-стовпець]] справа. У загальному випадку, якщо <math>V</math> є [[Векторний простір|векторним простором]] над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>k</math>, то лінійний функціонал <math>f</math> є функцією з простору <math>V</math> в поле <math>k</math>, яка є лінійною:

:<math>f(\vec{v}+\vec{w}) = f(\vec{v})+f(\vec{w})</math> для всіх <math>\vec{v}, \vec{w}\in V,</math>
:<math>f(a\vec{v}) = af(\vec{v})</math> для всіх <math>\vec{v}\in V,</math> <math>a\in k.</math>

Сукупність усіх лінійних функціоналів з простору <math>V</math> в поле <math>k</math> (позначається як  <math>{\rm Hom}_k(V,k)</math>) утворює векторний простір над полем <math>k</math> з операціями додавання та скалярного множення, що визначені [[Поточкова операція|поточково]]. Цей простір називають [[Спряжений простір|спряженим простором]] простору <math>V</math>, або іноді ''алгебраїчним спряженим простором'', щоб відрізнити його від [[Спряжений простір|неперервного спряженого простору]]. Часто його позначають як <math>V^*</math>, <math>V'</math> або <math>V^\vee</math>, якщо поле <math>k</math> зафіксовано.

== Формальне означення ==
Нехай <math>V</math> — векторний простір над полем <math>k</math>. [[Відображення]] <math>\varphi\colon V \to K</math> називається '''лінійною формою''' або ''лінійним функціоналом'' якщо воно є
* однорідним,
: <math>\forall c\in k \quad \forall \mathbf x \in V \quad \varphi(c\mathbf x) = c \varphi(\mathbf x),</math>
* адитивним,
: <math>\forall \mathbf x,\mathbf y \in V \quad \varphi(\mathbf x + \mathbf y) = \varphi(\mathbf x) + \varphi(\mathbf y).</math>
Еквівалентною умовою є виконання рівності
: <math>\forall c,d\in k \quad \forall \mathbf x,\mathbf y \in V \quad \varphi(c\mathbf x + d\mathbf y) = c\varphi(\mathbf x) + d\varphi(\mathbf y).</math>

== Неперервні лінійні функціонали ==

{{Див. також|Лінійний неперервний оператор}}

Якщо <math>V</math>&nbsp;— [[Топологічний векторний простір|топологічний векторний простір]], то простір [[Неперервна функція|неперервних]] лінійних функціоналів ([[Спряжений простір|неперервних спряжених]]) часто просто називають спряженим простором. Якщо <math>V</math>&nbsp;— [[Банахів простір|банахів простір]], то таким є і його (неперервно) спряжений. Щоб відрізнити звичайний спряжений простір від неперервного спряженого простору, перший іноді називають ''алгебраїчним спряженим простором''. Для скінченних розмірностей кожен лінійний функціонал є неперервним, тому неперервно спряжений збігається з алгебраїчно спряженим, але у нескінченних розмірностях неперервно спряжений є відповідним підпростором алгебраїчно спряженого.

== Властивості лінійних форм ==

* Кожна лінійна форма є або тривіальною (рівною нулю для кожного вектора) або [[сюр'єктивне відображення|сюр'єктивною]].
* Лінійна форма є [[неперервна функція|неперервною]] тоді і тільки тоді, коли її [[ядро (алгебра)|ядро]] є [[замкнута множина|замкнутою підмножиною]]. [[Модуль (математика)|Абсолютне значення]] довільної лінійної форми над полем дійсних чи комплексних чисел є [[напівнорма|напівнормою]] на лінійному просторі, на якому вона визначена.

== Приклади ==
* <math> f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R</math>, що рівна <math> f(x, y, z) = x + 2y + 3z.</math>
* <math> I\colon C[a,b] \to \mathbb R</math>, що рівна <math> I(f) = \int\limits_a^b f(x) \mathrm dx.</math>

== Простір лінійних функціоналів ==

Множина <math>{\rm Hom}_k(V,k)</math> всіх лінійних форм <math>V\rightarrow K</math> утворює векторний простір з операціями додавання лінійних форм <math> \varphi + \psi</math>, і множення на скаляр <math> c\varphi</math>, що визначені поточково, тобто
: <math>(\varphi + \psi)(\mathbf x) = \varphi(\mathbf x) + \psi(\mathbf x)</math>
і
: <math>(c\varphi)(\mathbf x) = c \varphi(\mathbf x).</math>
Даний простір називається ''[[Спряжений простір|спряженим]]'' (або ''двоїстим'') до простору <math>V</math> і позначається <math>V^\star.</math> 

== Приклади і застосування ==

==== Лінійні функціонали в <math>\mathbb{R}^n</math> ====

Нехай вектори дійсного простору <math>\mathbb{R}^n</math> представлені у вигляді вектор-стовпців

:<math>\vec{x} = \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}.</math>

Для будь-якого вектор-рядка <math>[a_1\dots a_n]</math> існує лінійний функціонал <math>f</math>, визначений наступним чином:
:<math>f(\vec{x}) = a_1x_1 + \cdots + a_n x_n,</math>
і будь-який лінійний функціонал може бути представлений у такій формі.

Це можна проінтерпретувати або як матричний, або скалярний добуток, вектора-рядка <math>[a_1 \dots a_n]</math> і вектора-стовпця <math>\vec {x}</math>
:<math>f(\vec{x}) = \left[a_1 \dots a_n\right] \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}.</math>

==== Інтегрування ====

Лінійні функціонали вперше з'явилися у [[Функціональний аналіз|функціональному аналізі]], при вивченні [[Функціональний простір|векторних просторів функцій]].
Типовим прикладом лінійного функціоналу є [[Інтеграл|інтегрування]]: лінійне перетворення, визначене [[Інтеграл Рімана|інтегралом Рімана]],
:<math>I(f) = \int_a^b f(x)\, dx</math>

є лінійним функціоналом з векторного простору <math>C [a, b]</math> неперервних на відрізку <math>[a, b]</math> функцій у простір дійсних чисел. Лінійність <math>I</math> випливає із стандартних властивостей інтегралу:
:<math>\begin{align}
     I(f + g) &= \int_a^b[f(x) + g(x)]\, {\rm d}x = \int_a^b f(x)\, {\rm d}x + \int_a^b g(x)\, {\rm d}x = I(f) + I(g), \\
  I(\alpha f) &= \int_a^b \alpha f(x)\, {\rm d}x = \alpha\int_a^b f(x)\, {\rm d}x = \alpha I(f).
\end{align}</math>

==== Оцінка ====

Нехай <math>P_n</math>&nbsp;— векторний простір дійснозначних поліноміальних функцій степеня <math>\leq n</math> визначених на відрізку <math>[a, b]</math>. Якщо <math>c\in[a, b]</math>, тоді відображення <math>\operatorname{ev}_c\colon P_n\rightarrow \mathbb{R}</math> називається ''функціоналом оцінки''
:<math>\operatorname{ev}_c f = f(c).</math>
Відображення <math>f\rightarrow f(c)</math> лінійне, оскільки
:<math>\begin{align}
     (f + g)(c) &= f(c) + g(c), \\
  (\alpha f)(c) &= \alpha f(c).
\end{align}</math>

Якщо <math>x_0,\dots,x_n</math>&nbsp;— <math>n+1</math> різних точок відрізку <math>[a,b]</math>, то функціонали оцінки <math>\operatorname{ev}_{x_{i}}, i=0,1,\dots,n</math>, утворюють [[Базис (математика)|базис]] спряженого до <math>P_n</math> простору ({{harvtxt|Лакс|1996}} доводить це, використовуючи [[Многочлен Лагранжа|інтерполяцію Лагранжа]]).

==== Застосування в інтегруванні ====

Функціонал <math>I</math> визначений вище визначає лінійний функціонал на [[Лінійний підпростір|підпросторі]] <math>P_n</math> многочленів степеня <math>\leq n</math>. Якщо <math>x_0,\dots,x_n</math>&nbsp;— це <math>n+1</math> різних точок у <math>[a,b]</math>, тоді є коефіцієнти <math>a_0,\dots,a_n</math> для яких

:<math>I(f) = a_0 f(x_0) + a_1 f(x_1) + \dots + a_n f(x_n),</math>

для всіх <math>f\in P_n</math>. Це складає основу теорії [[Чисельне інтегрування|чисельного інтегрування]].

Це випливає з того, що визначені вище лінійні функціонали <math>\operatorname{ev}_{x_{i}} \colon f \rightarrow f(x_i)</math> утворюють [[Базис (математика)|базис]] спряженого до <math>P_n</math> простору.<ref>{{harvnb|Lax|1996}}</ref>

==== Лінійні функціонали в квантовій механіці ====

Лінійні функціонали особливо важливі в [[Квантова механіка|квантовій механіці]]. Квантові механічні системи представлені [[Гільбертів простір|просторами Гільберта]], які є [[Лінійне відображення|антиізоморфними]] їх власним спряженим просторам. Стан квантової механічної системи можна ототожнити з лінійним функціоналом. Для отримання додаткової інформації див. [[Нотація бра-кет|бра-кет позначення]].

==== Розподіли ====

У теорії [[Узагальнена функція|узагальнених функцій]] деякі види узагальнених функцій, які називаються [[Узагальнена функція|розподілами]], можна представити у вигляді лінійних функціоналів на просторах [[Тестові функції для оптимізації|тестових функцій]].

==== Властивості лінійних функціоналів ====

*Будь-який лінійний функціонал <math>L</math> є або тривіальним (всюди дорівнює 0) або [[Сюр'єкція|сюр'єктивним]] над скалярним полем. Дійсно, це випливає з того, що образ векторного [[Лінійний підпростір|підпростору]] при лінійному перетворенні є підпростором, тому і образ <math>V</math> при відображені <math>L</math> теж буде підпростором.
*Лінійний функціонал є неперервним лише тоді, коли його [[Ядро матриці|ядро]] є замкненим.<ref>{{harvnb|Rudin|1991|loc=Theorem 1.18}}</ref>
*Лінійні функціонали з однаковими ядрами є пропорційними.
*Абсолютне значення будь-якого лінійного функціоналу є [[Норма (математика)|напівнормою]] на його векторному просторі.

==== Зображення лінійних функціоналів ====
[[File:Gradient 1-form.svg|thumb|200px|Геометрична інтерпретація 1-форми <math>\alpha</math> як стек [[Гіперплощина|гіперплощин]] постійного значення, кожна з яких відповідає тим векторам, які <math>\alpha</math> відображає у задане скалярне значення, показане поруч із нею у порядку "збільшення" значень. Нульова площина {{color box|purple}} проходить через початок координат.]]

У скінчених розмірностях лінійний функціонал можна візуалізувати у термінах [[Множина рівня|множин рівнів]], множина векторів, які відображаються у задане значення. Для розмірності три множини рівнів лінійного функціоналу&nbsp;— це сімейство взаємно паралельних площин; для вищих розмірностей вони є паралельними [[Гіперплощина|гіперплощинами]]. Цей метод візуалізації лінійних функціоналів іноді використовується в текстах у загальній теорії відносності, наприклад, [[Гравітація (книга)|Гравітація]] by {{harvtxt|Misner|Thorne|Wheeler|1973}}.
{{Clear}}

==== Спряжені вектори та білінійні форми ====

[[File:1-form linear functional.svg|thumb|400px|Лінійні функціонали (1-форми) <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> та їх сума <math>\sigma</math> та вектори <math>u</math>, <math>v</math>, <math>w</math>, в 3-вимірному [[Евклідів простір|евклідовому просторі]]. Кількість (1-форми) гіперплощин, що перетинаються вектором, дорівнює скалярному добутку.]]

Кожна невироджена [[Білінійна форма|білінійна форма]] у скінченно-вимірному векторному просторі <math>V</math> породжує [[Ізоморфізм|ізоморфізм]] <math>V\rightarrow V^*</math> : <math>v\rightarrowtail v^*</math> такий, що

: <math>\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall\, w\in V,</math>

де білінійна форма на <math>V</math> позначається як <math>\langle\,,\,\rangle</math> (наприклад, в [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] <math>\langle v, w\rangle =v\cdot w</math> &nbsp;— [[Скалярний добуток|скалярний добуток]] <math>v</math> і <math>w</math>).

Оберненим ізоморфізмом є <math>V^*\rightarrow V \colon v^*\rightarrowtail v</math>, де <math>v</math> єдиний елемент <math>V</math> такий, що

: <math>\langle v,w\rangle =v^{*}(w)\quad \forall\, w\in V.</math>
{{Clear}}

== Базис у скінченних розмірностях ==

==== Базис спряженого простору в скінченних розмірностях ====

Нехай векторний простір <math>V</math> має базис <math>\vec {e}_{1},\vec {e}_{2},\dots ,\vec {e}_{n}</math>, необов'язково [[Ортогональність|ортогональний]]. Тоді спряжений простір <math>V^*</math> має базис <math>\tilde {\omega }^{1},\tilde {\omega }^{2},\dots ,\tilde {\omega }^{n}</math>, який називається [[Дуальний базис|спряженим базисом]], визначеним спеціальною властивістю:

: <math> \tilde{\omega}^i (\vec e_j) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mathrm\text{якщо}\ i=j,\\ 0 &\mathrm\text{якщо}\ i\not=j.\end{matrix}\right. </math>

Або, більш коротко,

: <math> \tilde{\omega}^i (\vec e_j) = \delta^i_j ,</math>

де <math>\delta</math>&nbsp;— [[Символ Кронекера|символ Кронекера]]. Тут верхні індекси базисних функціоналів не степені, а [[Коваріантність і контраваріантність (математика)|контраваріантні]] індекси.

Лінійний функціонал <math>\tilde {u}</math>, що належить спряженому простору <math>\tilde {V}</math>, можна представити у вигляді [[Лінійна комбінація|лінійної комбінації]] базисних функціоналів з коефіцієнтами (''компонентами'') <math>u_{i}</math>,

: <math>\tilde{u} = \sum_{i=1}^n u_i \tilde{\omega}^i.</math>

Тоді, застосувавши функціонал <math>\tilde {u}</math> до базисного вектора <math>e_{j}</math>, отримаємо

: <math>{\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right){\vec {e}}_{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\vec {e}}_{j}\right)\right]</math>

завдяки лінійності скалярних множників функціоналів і точкової лінійності сум функціоналів. Тоді

: <math>{\tilde {u}}({\vec {e}}_{j}) =\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\vec {e}}_{j}\right)\right]=\sum _{i}u_{i}{\delta ^{i}}_{j} =u_{j}.</math>

Отже, кожну компоненту лінійного функціоналу можна отримати, застосувавши функціонал до відповідного базисного вектора.

== Спряжений базис та скалярний добуток ==

Якщо у просторі <math>V</math> визначено {{нп|Простір скалярного добутку|скалярний добуток|en|Inner product space}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Inner product space]] перекладена як [[Передгільбертів простір]], хоча хотіли [[Простір скалярного добутку]] (SashkoR0B0T)-->, то можна у явному вигляді написати формулу для спряженого базису через заданий базис. Нехай <math>\vec {e} _1, \dots, \vec {e} _n</math>&nbsp;— базис простору <math>V</math> (необов'язково ортогональний). Для розмірності три <math>( n = 3 )</math> спряжений базис можна записати у явному вигляді:

:<math> {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})={1 \over 2} \left\langle {\sum\limits_{j=1}^{3}\sum\limits _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk} ({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}) \over {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}},{\vec {v}}\right\rangle ,</math>

для <math>i = 1, 2, 3</math>, де <math>\varepsilon</math>&nbsp;— [[Символ Леві-Чивіти|символ Леві-Чівіта]] і <math>\langle \,,\,\rangle</math>&nbsp;— [[Скалярний добуток|скалярний добуток]] у просторі <math>V</math>.

Для вищих розмірностей це узагальнюється наступним чином:

:<math>\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})=\left\langle {\frac {{\underset {{}^{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}}{\sum }}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star {\vec {e}}_{i_{2}}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{i_{n}})}{\star ({\vec {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{n})}},{\vec {v}}\right\rangle ,</math>

де <math>\star</math>&nbsp;— [[Зірка Годжа|оператор зірки Ходжа]].

== Див. також ==
* [[Лінійне відображення]]
* [[Спряжений простір]]
* {{нп|Розривне лінійне відображення|Розривне лінійне відображення|en|Discontinuous linear map}}
* {{нп|Додатний лінійний функціонал|Додатний лінійний функціонал|en|Positive linear functional}}
* {{нп|Полілінійна форма|Полілінійна форма|en|Multilinear form}}

==Примітки==
{{reflist}}

==Література==
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{citation|first=Peter|last=Lax|title=Linear algebra|year=1996|publisher=Wiley-Interscience|isbn=978-0-471-11111-5}}
* {{Rudin.Functional Analysis}}
*{{citation|first1=Richard|last1=Bishop|first2=Samuel|last2=Goldberg|year=1980|title=Tensor Analysis on Manifolds|publisher=Dover Publications|chapter=Chapter 4|isbn=0-486-64039-6|url=https://archive.org/details/tensoranalysison00bish}}

[[Категорія:Лінійна алгебра]]