Перегляд вихідного коду сторінки Локальна теорема Муавра — Лапласа

'''Локальна теорема [[Абрахам де Муавр|Муавра]] — [[П'єр-Симон Лаплас|Лапласа]]''' описує наближення [[нормальний розподіл|нормального розподілу]] до [[біноміальний розподіл|біноміального розподілу]]. Є окремим випадком [[центральна гранична теорема|центральної граничної теореми]].

== Теорема ==
Якщо <math>n \rightarrow \infty</math>, тоді для ''k'' в <math>\sqrt{npq}</math>-околі точки ''np'', існує наближення<ref>Papoulis, Pillai, «Probability, Random Variables, and Stochastic Processes», 4th Edition</ref>

: <math>\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n-k} \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}}e^{-(k-np)^2 / 2npq}, \ \ p+q=1, \ p>0, \ q>0.</math>

Гранична форма теореми стверджує, що

: <math>\frac{\sqrt{2 \pi npq} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n-k}}{e^{-(k-np)^2 / 2npq}} \rightarrow 1</math>

для <math>n \rightarrow \infty.</math>

== Додаток ==

Можливо, формулювання стає ясним не відразу, проте практичний зміст теореми простий: при великих значеннях n імовірність спостерігаючи рівно m успіхів можна приблизно розраховувати за формулою: <math>P(\mu_n=m) \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}}e^{-(m-np)^2 / 2npq} </math>

Якщо вас цікавить імовірність того, що число успіхів буде лежати в деяких межах - <math>P(m_1\le \mu_n \le m_2)</math> - у розрахунках допомагає інтегральна теорема Муавра-Лапласа.


== Див. також ==
* [[Центральна гранична теорема]]
* [[Теорема Пуассона]]

== Джерела ==
{{Портал|Математика}}
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Math-stub}}

[[Категорія:Теореми теорії ймовірностей]]
[[Категорія:Математичні теореми]]