Перегляд вихідного коду сторінки Логарифмічно угнута функція

В [[Опуклий аналіз|опуклому аналізі]], невід'ємна функція {{math|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sub>+</sub>}} є '''логарифмічно угнутою''' (або '''лог-угнутою''') якщо її [[область визначення]] є [[опукла множина|опуклою множиною]], і якщо вона задовольняє нерівність
: <math>
    f(\theta x + (1 - \theta) y) \geq f(x)^{\theta} f(y)^{1 - \theta}
  </math>
для всіх {{math|''x'',''y'' ∈ dom ''f''}} і {{math|0&nbsp;<&nbsp;''&theta;''&nbsp;<&nbsp;1}}. Якщо {{math|''f''}}&nbsp;— строго додатна, це те саме, що сказати, що [[логарифм]] функції, {{math|log ∘ ''f''}}, є [[угнута функція|угнутим]]; тобто,
: <math>
   \log  f(\theta x + (1 - \theta) y) \geq \theta \log f(x) + (1-\theta) \log f(y)
  </math>
для всіх {{math|''x'',''y'' ∈ dom ''f''}} і {{math|0&nbsp;<&nbsp;''&theta;''&nbsp;<&nbsp;1}}.

Прикладом лог-угнутих функцій є 0-1 [[Характеристична функція|індикаторні функції]] опуклих множин і [[функція Гауса]].

Подібно, функція є '''лог-опуклою''' якщо вона задовольняє зворотній нерівності
: <math>
    f(\theta x + (1 - \theta) y) \leq f(x)^{\theta} f(y)^{1 - \theta}
  </math>
для всіх {{math|''x'',''y'' ∈ dom ''f''}} і {{math|0&nbsp;<&nbsp;''&theta;''&nbsp;<&nbsp;1}}.

==Властивості==
* Лог-угнута функція, також є [[Квазіугнута функція|квазіугнутою]]. Це випливає з того факту, що логарифм є монотонною функцією, це означає, що його надрівневі множини ({{lang-en|superlevel set}}) <math>S_{\alpha} = \{x\in \mbox{dom} f | f(x) \ge \alpha \}</math> є опуклими.<ref name=":0" />
* Кожна угнута функція, яка є невід'мною на її області визначення є лог-угнутою. Однак, зворотнє твердження не завжди виконується. Прикладом може служити функція Гауса {{math|''f''(''x'')}}&nbsp;=&nbsp;{{math|exp(&minus;x<sup>2</sup>/2)}}, яка є лог-угнутою, оскільки {{math|log ''f''(''x'')}}&nbsp;=&nbsp;{{math|&minus;''x''<sup>2</sup>/2}} є угнутою функцією від {{math|''x''}}. Але {{math|''f''}} не є угнутою оскільки друга похідна є додатною для |{{math|''x''}}|&nbsp;>&nbsp;1:

::<math>f''(x)=e^{-\frac{x^2}{2}} (x^2-1) \nleq 0</math>
* З двох попередніх пунктів, [[Угнута функція|угнутість]] <math>\Rightarrow</math> лог-угнутість <math>\Rightarrow</math> [[Квазіугнута функція|квазіугнутість]].
* Двічі диференційовна, невід'ємна функція з опуклою областю визначення є лог-угнутою тоді і тільки тоді, коли для всіх {{math|''x''}}, що задовольняють {{math|''f''(''x'')&nbsp;>&nbsp;0}},

::<math>f(x)\nabla^2f(x) \preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^T</math>,<ref name=":0">Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, [http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/ Convex Optimization] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080228035839/http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/ |date=28 лютого 2008 }}  (PDF) Section 3.5</ref>

:тобто

::<math>f(x)\nabla^2f(x) - \nabla f(x)\nabla f(x)^T</math> є

:[[Додатноозначена матриця|від'ємно визначеною]]. Для функції однією змінної, ця умова спрощується до 

::<math>f(x)f''(x) \leq (f'(x))^2</math>

==Операції, що зберігають лог-угнутість==

* Добуток лог-угнутих функцій також є лог-угнутою функцією. І справді, якщо {{math|''f''}} і {{math|''g''}} є лог-угнутими функціями, тоді {{math|log&nbsp;''f''}} і {{math|log&nbsp;''g''}} є угнутими за визначенням. Отже,

::<math>\log\,f(x) + \log\,g(x) = \log(f(x)g(x))</math>

:є угнутою, і звідси {{math|''f''&nbsp;''g''}} є лог-угнутою.

* [[Відособлений розподіл|Відособлені розподіли]]: якщо {{math|''f''(''x'',''y'')}}&nbsp;:&nbsp;{{math|'''R'''<sup>''n''+''m''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R'''}} є лог-угнутою, тоді

::<math>g(x)=\int f(x,y) dy</math>

:є лог-угнутою.

*З цього випливає, що [[Згортка (математичний аналіз)|згортка]] зберігає лог-угнутість, оскільки {{math|''h''(''x'',''y'')}}&nbsp;=&nbsp;{{math|''f''(''x''-''y'')&nbsp;''g''(''y'')}} є лог-угнутою якщо {{math|''f''}} і {{math|''g''}}&nbsp;— лог-угнутими, і тому

::<math>(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y) dy = \int h(x,y) dy</math>

:є лог-угнутою.

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Опуклий аналіз]]