Логарифмічно угнута функція

В опуклому аналізі, невід'ємна функція Шаблон:Math є логарифмічно угнутою (або лог-угнутою) якщо її область визначення є опуклою множиною, і якщо вона задовольняє нерівність

$f(\theta x+(1-\theta )y)\ge f(x{)}^{\theta }f(y{)}^{1-\theta }$

для всіх Шаблон:Math і Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Math — строго додатна, це те саме, що сказати, що логарифм функції, Шаблон:Math, є угнутим; тобто,

$\log f(\theta x+(1-\theta )y)\ge \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)$

для всіх Шаблон:Math і Шаблон:Math.

Прикладом лог-угнутих функцій є 0-1 індикаторні функції опуклих множин і функція Гауса.

Подібно, функція є лог-опуклою якщо вона задовольняє зворотній нерівності

$f(\theta x+(1-\theta )y)\le f(x{)}^{\theta }f(y{)}^{1-\theta }$

для всіх Шаблон:Math і Шаблон:Math.

Властивості

• Лог-угнута функція, також є квазіугнутою. Це випливає з того факту, що логарифм є монотонною функцією, це означає, що його надрівневі множини (Шаблон:Lang-en) $S_{\alpha }=\{x\in \text{dom}f|f(x)\ge \alpha \}$ є опуклими.
• Кожна угнута функція, яка є невід'мною на її області визначення є лог-угнутою. Однак, зворотнє твердження не завжди виконується. Прикладом може служити функція Гауса Шаблон:Math = Шаблон:Math, яка є лог-угнутою, оскільки Шаблон:Math = Шаблон:Math є угнутою функцією від Шаблон:Math. Але Шаблон:Math не є угнутою оскільки друга похідна є додатною для |Шаблон:Math| > 1:

$f^{″}(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2-1)\nleqq 0$

• З двох попередніх пунктів, угнутість $\Rightarrow$ лог-угнутість $\Rightarrow$ квазіугнутість.
• Двічі диференційовна, невід'ємна функція з опуклою областю визначення є лог-угнутою тоді і тільки тоді, коли для всіх Шаблон:Math, що задовольняють Шаблон:Math,

$f(x){\mathrm{\nabla }}^{2}f(x)⪯\mathrm{\nabla }f(x)\mathrm{\nabla }f(x{)}^T$,

тобто

$f(x){\mathrm{\nabla }}^{2}f(x)-\mathrm{\nabla }f(x)\mathrm{\nabla }f(x{)}^T$ є

від'ємно визначеною. Для функції однією змінної, ця умова спрощується до

$f(x)f^{″}(x)\le (f^{\prime }(x){)}^2$

Операції, що зберігають лог-угнутість

• Добуток лог-угнутих функцій також є лог-угнутою функцією. І справді, якщо Шаблон:Math і Шаблон:Math є лог-угнутими функціями, тоді Шаблон:Math і Шаблон:Math є угнутими за визначенням. Отже,

$\log f(x)+\log g(x)=\log (f(x)g(x))$

є угнутою, і звідси Шаблон:Math є лог-угнутою.

• Відособлені розподіли: якщо Шаблон:Math : Шаблон:Math є лог-угнутою, тоді

$g(x)=\int f(x,y)dy$

є лог-угнутою.

• З цього випливає, що згортка зберігає лог-угнутість, оскільки Шаблон:Math = Шаблон:Math є лог-угнутою якщо Шаблон:Math і Шаблон:Math — лог-угнутими, і тому

$(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int h(x,y)dy$

є лог-угнутою.