Перегляд вихідного коду сторінки Лема Артіна — Ріса

В [[Математика|математиці]], '''лемою Артіна — Ріса''' називається важливе твердження про властивості [[Модуль над кільцем|модулів]] над [[Кільце Нетер|кільцями Нетер]]. Лема використовується зокрема для доведення теореми Круля про перетини і має важливі застосування в [[Алгебрична геометрія|алгебричній геометрії]]. Названа на честь [[Еміль Артін|Еміля Артіна]] і [[Девід Ріс|Девіда Ріса]].

== Твердження ==
Нехай ''I''  — ідеал в нетеровому кільці ''R''; нехай ''M'' — [[скінченнопороджений модуль]] над ''R'' і ''N''  ''—'' його підмодуль. Тоді існує ціле число ''k''&nbsp;≥&nbsp;1, що для всіх [[Цілі числа|цілих чисел]] ''n''&nbsp;≥&nbsp;''k'',
: <math>I^{n} M \cap N = I^{n - k} ((I^{k} M) \cap N).</math>

== Доведення ==
Для довільного кільця ''R'' і його [[Ідеал кільця|ідеалу]] ''I'', позначимо <math>B_I R = \textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty I^nX^n</math>. Оскільки <math>I^mI^n \subseteq I^{m+n}</math> можна розглядати <math>B_I R</math> як [[градуйоване кільце]]. Якщо позначити <math>\{ a_1,\ldots,a_r\}</math> — множину твірних елементів [[Ідеал кільця|ідеалу]] ''I'' (дана множина є скінченною оскільки ''R'' є нетеровим кільцем), то елементи <math>\{ a_1X,\ldots,a_rX\}</math> є породжуючими для <math>B_I R</math> як алгебри над ''R'' і тому <math>B_I R</math> є ізоморфним деякій факторалгебрі многочленів <math>R[x_1,\ldots, x]</math> і згідно [[Теорема Гільберта про базис|теореми Гільберта про базис]] <math>B_I R</math> є кільцем Нетер.

Спадна послідовність скінченнопороджених підмодулів <math>M = M_0 \supset M_1 \supset M_2 \supset \cdots</math> називається ''I''-фільтрацією якщо <math>I M_n \subset M_{n+1}</math>; ''I''-фільтрація називається стабільною якщо <math>I M_n = M_{n+1}</math> для достатньо великого ''n''. Для модуля ''M'' ''з I''-фільтрацією, позначимо <math>B_I M = \textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty M_nX^n</math>; це є градуйованим модулем над [[Градуйоване кільце|градуйованим кільцем]] <math>B_I R</math>.
: <math>B_I M</math> є скінченнопородженим модулем над <math>B_I R</math> якщо і тільки якщо <math>B_I M</math> є ''I''-стабільним.
Справді, якщо фільтрація є ''I''-стабільною, то <math>B_I M</math> є породженою <math>k+1</math> членами <math>M_0, \dots, M_k</math> кожен з яких теж є скінченно породжений; тому, <math>B_I M</math> є скінченно породженим. Навпаки, якщо цей модуль є скінченно породженим, наприклад, елементами з <math>\textstyle\bigoplus_{j=0}^k M_jX^j</math>, тоді для <math>n \ge k</math>, кожен елемент ''f''  з <math>M_n</math> може бути записаним як
: <math>f = \sum a_{ij} X^{n-j} g_{ij}X^j, \quad a_{ij} \in I^{n-j}</math>
для породжуючих елементів <math>g_{ij}</math> з <math>M_j, j \le k</math> (для кожного елемента <math>g_{ij}</math> індекс <math>j</math> береться максимальним з тих, що <math>g_{ij} \in M_j</math>). Тобто, <math>f \in I^{n-k} M_k</math>. 

Позначимо тепер <math>M_n = I^n M</math>. Тоді <math>M_n</math> є ''I''-стабільною фільтрацією. Тому з попереднього отримуємо, що <math>B_I M</math> є скінченно породженим над <math>B_I R</math> і тому  <math>B_I M</math> є [[Модуль Нетер|нетеровим модулем]] і кожен його підмодуль є скінченно породженим над  <math>B_I R</math>; зокрема, <math>B_I N</math> є скінченно породженим коли на ''N'' визначити індуковану фільтрацію; тобто <math>N_n = M_n \cap N =  I^n M \cap N</math>. Індукована фільтрація тоді теж буде ''I''-стабільною, що й доводить твердження леми

== Теорема Круля про перетини ==

Нехай ''R'' комутативне нетерове кільце, ''I'' — власний ідеал у ''R'' і ''M'' — скінченнопороджений модуль над ''R''. Тоді [[Перетин множин|перетину]]
:<math>N := \cap_{n>0} I^nM </math>
належать всі елементи <math>x\in M</math> для яких <math>(1-\alpha)x=0\,</math> для деякого елемента <math>\alpha\in I</math>, який може бути обраний єдиним для всіх <math>x\in N</math>.

=== Доведення ===
Очевидно, що якщо <math>\alpha x=x\, \, x \in M</math> для деякого елемента <math>\alpha\in I</math> то <math>x \in I^nM, \;\; \forall n \geqslant 0</math> і відповідно <math>x\in N</math>.

Навпаки застосувавши лему Артіна — Ріса для ''M'' і ''N'' визначених у цьому розділі, отримуємо деяке ''k'', таке що для всіх <math>n \ge k</math>,  <math>\ \ I^{n} M \cap N = I^{n - k} (I^{k} M \cap N).</math> Зокрема для <math>n = k  + 1</math>:
:<math>I^{k+1} M \cap N = I (I^{k} M \cap N).</math>

Але оскільки <math>I^{k+1} M \cap N = I^{k} M \cap N = N</math>то звідси <math>IN =N</math> і згідно [[Лема Накаями|леми Накаями]] існує <math>\alpha\in I</math> такий, що <math>(1-\alpha)x=0\,</math> для всіх <math>x\in N</math>.

=== Наслідок для локальних нетерових кілець ===
Для власного ідеалу ''I'' в комутативному [[Локальне кільце|локальному]] нетеровому кільці <math>\textstyle\bigcap_{n=1}^\infty I^n = 0</math>.

Оскільки <math>I^n \subset \mathfrak{m}</math> то достатньо довести твердження для єдиного [[Максимальний ідеал|максимального ідеалу]] локального кільця. Взявши в теоремі Круля <math>I = M = \mathfrak{m}</math> і враховуючи, що в локальному кільці всі елементи <math>1-\alpha,\, \alpha \in \mathfrak{m}</math> є [[Оборотний елемент|оборотними]] отже не є [[Дільник нуля|дільниками 0]] отримуємо необхідний результат.

== Література ==
* Юрій Дрозд. [http://www.imath.kiev.ua/~drozd/agukr.pdf Вступ до алгебричної геометрії] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110522020419/http://www.imath.kiev.ua/~drozd/agukr.pdf |date=22 травня 2011 }}
* {{Citation|title=Introduction to Commutative Algebra|year=1969|last1=Atiyah|last2=Macdonald|first1=Michael Francis|first2=I.G.|publisher=Westview Press|isbn=978-0-201-40751-8}}
* Eisenbud, David, ''Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry'', Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, {{ISBN|0-387-94268-8}}.

== Посилання ==
* {{planetmath reference|id=2963|title=Artin-Rees Theorem}}

[[Категорія:Комутативна алгебра]]
[[Категорія:Леми]]