Перегляд вихідного коду сторінки Лема Адамара

'''Лема Адамара''' ({{lang-en|Hadamard's lemma}}) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика [[Жак Адамар|Жака Адамара]].

{{рамка}}
Нехай <math>f: \R^n\to\R</math> — функція класу <math>\,C^{r}</math>, де <math>r \ge 1</math>, визначена у випуклому околі <math>U</math> точки <math>0</math>. Тоді існують такі функції <math>g_1, \ldots, g_n: \R^n\to\R</math> класу <math>\,C^{r-1}</math>, визначені в <math>U</math>, що для всіх <math>x=(x_1, \ldots, x_n)\in U</math> має місце рівність
: <math>f(x_1, \ldots, x_n) = f(0) + \sum_{i=1}^{n} x_i\,g_i(x_1, \ldots, x_n), \ \quad g_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0).</math>
{{/рамка}}
Якщо функція <math>f</math> — аналітична, то й функції <math>g_1, \ldots, g_n</math> у наведеній вище формулі аналітичні.

== Узагальнене формулювання ==
Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.

{{рамка}}
Нехай <math>f(x,y): \R^n \times \R^m \to\R</math> — функція класу <math>\,C^{r}</math>, де <math>r \ge 1</math>, визначена на випуклому околі <math>U</math> точки <math>0</math>, при цьому <math>x=(x_1, \ldots, x_n)</math> і <math>y=(y_1, \ldots, y_m)</math>.
Тоді існують такі функції <math>g_1(x,y), \ldots, g_n(x,y): \R^n \times \R^m \to\R</math> класу <math>\,C^{r-1}</math>, визначені в <math>U</math>, що для всіх <math>(x,y)\in U</math> 
має місце рівність
: <math>f(x,y) = f(0,y) + \sum_{i=1}^{n} x_i\,g_i(x,y), \ \quad g_i(0,y)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0,y).</math>
{{/рамка}}

'''Доведення'''. 
Розглянемо допоміжну функцію <math>f(tx,y) = f(tx_1,\ldots,tx_n, y_1,\ldots,y_m)</math>,
де <math>t</math> — додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай <math>t</math> пробігає значення з відрізку <math>[0,1]</math>, тоді функція <math>\,f(tx,y)</math>, що розглядається як функція <math>\R^{n+m} \to \R</math> при кожному фіксованому значенні параметра <math>t</math>, пробігає в просторі функцій від <math>n+m</math> змінних деяку [[Крива|криву]] з кінцями <math>\,f(0,y)</math> и <math>\,f(x,y)</math>. 

Розглядаючи <math>\,f(tx,y)</math> як функцію змінної <math>t</math>, залежну від параметрів <math>x \in R^n</math> і <math>y \in R^m</math>, і застосувуючи [[Формула Ньютона — Лейбніца|формулу Ньютона—Лейбніца]], можна записати:
: <math> f(x,y) - f(0,y) = \int_{0}^{1} \frac{d f(tx,y)}{dt}\,dt = \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} x_i \,\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)\, dt = \sum_{i=1}^{n} x_i g_i(x,y), </math>
де 
: <math> g_i(x,y) := \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)\, dt. </math>
Необхідна [[Гладка функція|гладкість]] функцій <math>g_i(x,y)\,</math> випливає з відомої теореми про диференціювання [[Залежний від параметра інтеграл|інтеграла, що залежить від параметра]].

== Застосування ==
Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в [[Теорія катастроф|теорії особливостей]].

* За допомогою леми Адамара легко доводиться [[Лема Морса]].

* Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо [[росток (математика)|росток]] гладкої функції <math>f(x,y_1, \ldots, y_m)</math> обертається в нуль на [[гіперплощина|гіперплощині]] <math>\,x=0</math>, то його можна подати у вигляді <math>f=x\,g(x,y_1, \ldots, y_m),</math> де <math>\,g</math> — деяка гладка функція. 

* Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції <math>f(x,y_1, \ldots, y_m)</math> має місце подання <math>f= f_0(y_1, \ldots, y_m) + x\,g(x,y_1, \ldots, y_m),</math> де <math>f_0=f(0,y_1, \ldots, y_m)</math> і <math>\,g</math> — гладкі функції.

* Застосовуючи [[Математична індукція|індукцію]], звідси неважко отримати також загальніше представлення:
: <math>f= f_0(y_1, \ldots, y_m) + x\,f_1(y_1, \ldots, y_m) + \cdots+ x^n\,f_n(y_1, \ldots, y_m) + 
x^{n+1}\,g(x,y_1, \ldots, y_m),</math> 
де <math>f_i(y_1, \ldots, y_m)</math> и <math>\,g</math> — гладкі функції та <math>\,n</math> — довільне натуральне число.

== Див. також ==
* [[Формула Тейлора]]
* [[Лема Морса]]

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}

[[Категорія:Леми|Адамара]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]