Перегляд вихідного коду сторінки Круги Форда

[[Файл:Circumferències_de_Ford.svg|праворуч|міні|419x419пкс|Круги Форда. В основі темніших кругів підписано відповідні нескоротні дроби. Кожен круг дотикається до осі абсцис і сусідніх кругів. Нескоротні дроби з рівними знаменниками відповідають кругам одного радіуса.]]
'''Круги Форда'''&nbsp;— [[круг]]и з центрами в точках з&nbsp;[[Декартова система координат|координатами]] <math>(p/q,1/(2q^2))</math> і [[радіус]]ами <math>1/(2q^2)</math>, де <math>p/q</math>&nbsp;— [[нескоротний дріб]]. Кожен круг Форда дотикається до горизонтальної осі <math>y=0</math>, і будь-які два круги або [[Дотик (математика)|дотикаються]] між собою, або не перетинаються.<ref name="ford">{{Стаття|author=[[Лестер Форд (старший)|Форд Л. Р.]]|title=Fractions|language=en|видання=[[The American Mathematical Monthly]]|date=1938|том=45|номер=9|pages=586–601|doi=10.2307/2302799}} {{JSTOR|2302799}}, {{MathSciNet|1524411}}.</ref>

== Історія ==
Круги Форда&nbsp;— особливий випадок взаємно дотичних кругів. Системи взаємно дотичних кругів вивчав [[Аполлоній Перзький]], на честь якого названо [[Задача Аполлонія|задачу Аполлонія]] і [[Сітка Аполлонія|сітку Аполлонія]]. У [[XVII століття|XVII столітті]] [[Рене Декарт|Декарт]] довів [[Теорема Декарта (геометрія)|теорему]]&nbsp;про співвідношення між оберненими радіусами взаємно дотичних кругів<ref name="coxeter">{{Стаття|author=[[Гарольд Коксетер|Коксетер Г.]]|title=The problem of Apollonius|language=en|видання=[[The American Mathematical Monthly]]|date=1968|том=75|номер=|pages=5–15|doi=10.2307/2315097}} {{MathSciNet|0230204}}.</ref>.

Круги Форда названо на честь американського математика {{Не перекладено|Лестер Форд (старший)|Лестера Форда старшого|en|Lester R. Ford}}, який писав про них 1938 року.

== Властивості ==
Круг Форда, яке відповідає дробу <math>p/q</math>, позначають як <math>C[p/q]</math> або <math>C[p,q]</math>. Кожному [[Раціональні числа|раціональному числу]] відповідає круг Форда. Крім того, [[Півплощина|півплощину]] <math>y\geqslant 1</math> теж можна вважати виродженим кругом Форда нескінченного радіусу, відповідним парі чисел <math>p=1,q=0</math>.

Будь-які два різних круги Форда або не перетинаються зовсім, або дотикають між собою.

Ні в яких двох кругів Форда не перетинаються внутрішні області, попри те що в кожній точці на осі абсцис, яка має раціональну координату, до цієї осі дотикається один круг Форда.

Якщо <math>0<p/q<1</math>, то множину кругів Форда, що дотикаються <math>C[p/q]</math>, можна описати будь-яким з таких способів:

# круги <math>C[r/s]</math>, де <math>|p s-q r|=1</math>,
# круги <math>C[r/s]</math>, де дроби <math>r/s</math> сусідять з <math>p/q</math> в якому-небудь [[Ряд Фарея|ряді Фарея]],<ref name="ford" /> або
# круги <math>C[r/s]</math>, де <math>r/s</math>&nbsp;— найближчий менший або найближчий більший предок <math>p/q</math> в [[Дерево Штерна — Броко|дереві Штерна&nbsp;— Броко]], або <math>p/q</math>&nbsp;— найближчий менший або більший предок <math>r/s</math>.<ref name="ford" />

Круги Форда також можна розглядати як області на [[Комплексна площина|комплексній площині]]. [[Модулярна група|Модулярная група]] перетворень комплексної площини відображає круги Форда в інші круги Форда.

Якщо інтерпретувати [[Верхня півплощина|верхню половину комплексної площини]] як модель [[гіперболічна геометрія|гіперболічної площини]] ([[Модель Пуанкаре у верхній півплощині|модель Пуанкаре на півплощині]]), то круги Форда можна інтерпретувати як [[Теселяція|замощення]] гіперболічної площини [[орицикл]]ами.

Будь-які два круги Форда [[Конгруентність (геометрія)|конгруентні]] в гіперболічній геометрії.<ref>{{Книга
|автор = [[Джон Конвей|Конвей Дж.]]
|заголовок = Квадратичные формы, данные нам в ощущениях
|місце = М.
|видавництво = МЦНМО
|рік = 2008
|ISBN = 978-5-94057-268-8
|тираж = 1000
|сторінок = 144
|посилання = http://biblio.mccme.ru/node/1931
|назва = 
|archivedate = 6 серпня 2021
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20210806183533/https://biblio.mccme.ru/node/1931
}}</ref> Якщо <math>C[p/q]</math> і <math>C[r/s]</math>&nbsp;— дотичні круги Форда, то півколо що проходить через точки <math>(p/q,0)</math> і <math>(r/s,0)</math> і перпендикулярне до осі абсцис&nbsp;— це гіперболічна пряма, що проходить також через точку дотику двох кругів Форда.

Круги Форда утворюють підмножину кругів, з яких складається [[сітка Аполлонія]], задана прямими <math>y=0</math> і <math>y=1</math> і кругом <math>C[0/1]</math>.<ref>{{Стаття|author=Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H.|title=Apollonian circle packings: number theory|language=en|видання=[[Journal of Number Theory]]|date=2003|том=100|номер=1|pages=1–45|arxiv=math.NT/0009113|doi=10.1016/S0022-314X(03)00015-5}}, {{MathSciNet|1971245}}.</ref>

== Загальна площа кругів ==
Є зв'язок між загальною площею кругів Форда, [[Функція Ейлера|функцією Ейлера]] <math>\varphi</math>, [[Дзета-функція Рімана|дзета-функцією Рімана]] і [[Стала Апері|сталою Апері]] <math>\zeta(3)</math>.<ref>{{Стаття|author=Marszalek W.|title=Circuits with oscillatory hierarchical Farey sequences and fractal properties|language=en|видання=Circuits, Systems and Signal Processing|date=2012|том=31|номер=4|pages=1279–1296|doi=10.1007/s00034-012-9392-3}}.</ref> Оскільки ніякі два круги Форда не перетинаються по внутрішніх точках, то негайно отримуємо, що сумарна площа кругів

: <math>\left\{ C[p,q]: 0 \leqslant \frac{p}{q} \leqslant 1 \right\}</math>

менша від 1. Ця площа дається збіжною сумою, яку можна обчислити аналітично. За визначенням, шукана площа дорівнює

: <math> A = \sum_{q\geqslant 1} \sum_{ (p, q)=1 \atop 1 \leqslant p < q }\pi \left( \frac{1}{2 q^2} \right)^2.</math>

Спрощуючи цей вираз, отримуємо

: <math> A = \frac{\pi}{4} \sum_{q\geqslant 1} \frac{1}{q^4}
\sum_{ (p, q)=1 \atop 1 \leqslant p < q } 1 =
\frac{\pi}{4} \sum_{q\geqslant 1} \frac{\varphi(q)}{q^4} =
\frac{\pi}{4} \frac{\zeta(3)}{\zeta(4)},</math>

де остання рівність використовує формулу для [[Ряд Діріхле|ряду Діріхле]] [[Функція Ейлера|з коефіцієнтами, що даються функцією Ейлера]]. Оскільки <math>\zeta(4)=\pi^4/90</math>, в результаті отримуємо

: <math> A = \frac{45}{2} \frac{\zeta(3)}{\pi^3}\approx 0.872284041.</math>

== Див. також ==
* [[Поризм Штейнера]]
* [[Поризм Понселе]]
* [[Ряд Фарея]]
* [[Сітка Аполлонія]]
* [[Ланцюг Паппа Александрійського]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Посилання ==
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/fords.shtml Ford's Touching Circles] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210806183518/http://www.cut-the-knot.org/proofs/fords.shtml |date=6 серпня 2021 }} {{Ref-en}}
* {{mathworld|urlname=FordCircle|title=Круги Форда}}

[[Категорія:Кола]]
[[Категорія:Дискретна геометрія]]
[[Категорія:Теорія чисел]]