Перегляд вихідного коду сторінки Критерій узгодженості Пірсона

[[Файл:Критерій Пірсона.jpg|thumb| right|450px |]]
'''Критерій узгодженості [[Карл Пірсон|Пірсона]]'''&nbsp;— один з найвідоміших критеріїв <math>\chi^2</math>, тому його часто і називають просто «[[критерій хі-квадрат]]». Використовується для [[Перевірка статистичних гіпотез|перевірки гіпотези]] про закон [[розподіл випадкової величини|розподілу]].

Ґрунтується на групованих даних. [[Область значень]] передбачуваного [[розподіл ймовірностей|розподілу]] <math>\digamma_1</math> ділять на деяке число інтервалів.<br/> Після чого будують функцію відхилення '''ρ''' по різницях теоретичних імовірностей потрапляння в інтервали групування й емпіричних частот.

Нехай '''X=(X<sub>1</sub>,…, X<sub>n</sub>)'''&nbsp;— вибірка з розподілу <math>\digamma</math>. Перевіряється проста [[статистична гіпотеза|гіпотеза]] <math>H_1={\digamma = \digamma_1}</math> проти складної альтернативи <math>H_2={\digamma \ne \digamma_1}</math>.<br/>
Нехай '''A<sub>1</sub>,…, A<sub>k</sub>'''&nbsp;— інтервали групування в області значень [[випадкова величина|випадкової величини]] з розподілом <math>\digamma_1</math>. <br/>Позначимо для '''j=1,…,k''' через <math>\nu_j</math> число елементів вибірки, що потрапили в інтервал <math>A_j</math>:<br/>
<math>\nu_j=(X_i \in A_j) = \sum_{i=1}^{n} I(X_i \in A_j)</math>,

і через <math>p_j>0</math>&nbsp;— теоретичну [[ймовірність]] <math>P_{H1}(X_1 \in A_j)</math> попадання в інтервал <math>A_j</math> випадкової величини з розподілом <math>\digamma_1</math>. <br/>З необхідністю, <math>p_1+...+p_k=1</math>. <br/>Як правило, довжини інтервалів вибирають так, щоб <math>p_1=...=p_k= \frac{1}{k}</math>.<br/>
Нехай <math>\rho(X)=\sum_{j=1}^{k} \frac{(\nu_j-np_j)^2}{np_j}</math> (1). <br/>

== Зауваження ==
Якщо розподіл вибірки <math>\digamma_2 \ne \digamma_1 </math> має такі ж, як в <math>\digamma_1</math>, імовірності <math>p_j</math> попадання в кожний з інтервалів <math>A_l</math>, то по даній функції <math>\rho</math>ці розподіли розрізнити неможливо.<br/>
Тому насправді критерій, який ми побудуємо по функції <math>\rho</math>з (1), вирішує зовсім інше завдання. А саме, нехай заданий набір імовірностей <math>p_1,...,p_k</math> такий, що <math>p_1+...+p_k=1</math>. Критерій <math>\chi^2</math> призначений для перевірки складної гіпотези '''H<sub>2</sub><sup>'</sup>={розподіл Х<sub>1</sub> має властивість: Р(Х<sub>1</sub> ∈ А<sub>j</sub>)=p<sub>j</sub> для всіх j=1,…,k}''' проти складної альтернативи '''H<sub>2</sub><sup>'</sup>={H<sub>1</sub><sup>'</sup> невірна}''', тобто '''H<sub>2</sub><sup>'</sup>={хоча б для одного з інтервалів ймовірність P(X<sub>1</sub> ∈ А<sub>j</sub>) відізняється від p<sub>j</sub>}'''
<br/>

== Правило критерію ==
Перед тим, як сформулювати правило прийняття або відкидання гіпотези необхідно врахувати, що ''критерій Пірсона має правобічну критичну область.
{{mbox |backgroundcolor = white |image =[[Файл:Logo_arte.jpg |50px]]| text=Правило.<br/>Якщо  отримана статистика перевищує квантиль [[розподіл хі-квадрат|розподілу <math>\chi^2\!</math>]] заданого рівня значимості <math>\alpha\!</math> з <math>(k-1)\!</math> або з <math>(k-p-1)\!</math> [[ступені вільності|ступенями вільності]], де k — число спостережень або число інтервалів (для випадку інтервального варіаційного ряду), а p — число оцінюваних параметрів закону розподілу, то гіпотеза <math>H_0\!</math> відкидається. А якщо ні, то гіпотеза приймається на заданому рівні значимості <math>\alpha\!</math>.}}
<br/>

== Теорема Пірсона ==
Якщо вірна гіпотеза '''H<sub>1</sub><sup>'</sup>''', то при фіксованому '''k''' й при <math>n \to \infty</math>: <math>\rho(X)=\sum_{j=1}^{k} \frac{(\nu_j-np_j)^2}{np_j} \Rightarrow H_{k-1},</math>

де, нагадаємо,<math>H_{k-1},</math> є <math>\chi^2</math>-розподіл зі <math>k-1</math> ступенем вільності.

== Зауваження ==
Насправді критерій <math>\chi^2</math> застосовують і для розв'язку первісного завдання про перевірку гіпотези <math>H_1={\digamma=\digamma_1}</math>. Необхідно тільки пам'ятати, що цей критерій недостатній для альтернатив з тими ж імовірностями попадання в інтервали розбиття, що й в <math>\digamma_1</math>. Тому беруть велику кількість інтервалів розбиття&nbsp;— чим більше, тим краще, щоб «зменшити» число альтернатив, нерозрізнених з передбачуваним розподілом.<br />

== Критерій Пірсона для перевірки параметричної гіпотези ==
Критерій <math>\chi^2</math> часто застосовують для перевірки гіпотези про вид розподілу, тобто про приналежність розподілу вибірки деякому параметричному сімейству. Є вибірка <math>X=(X_1,...,X_n)</math> з невідомого розподілу<math>\digamma</math> . <br/>Перевіряється складна гіпотеза: <math>H_1={\digamma \in {\digamma_\theta}}</math>,

де <math>\theta \epsilon \Theta \subseteq \mathbb{R}^l</math>&nbsp;— невідомий параметр (скалярний або векторний), '''l'''- його розмірність.<br/>
Нехай <math>\mathbb{R}</math> розбите на '''k>l'''інтервалів <math>A_1 \cup ... \cup A_k</math>, і <math>\nu_j</math>&nbsp;— число елементів вибірки, що потрапили в<math>A_j</math>. Але ймовірність <math>p_j=P_{H1}(X_1 \in A_j)=p_j(\theta)</math> тепер залежить від невідомого параметра .<br/>
Функція відхилення (1) також залежить від невідомого параметра, і використовувати її в критерії Пірсона не можна&nbsp;— ми не можемо обчислити її значення:
<math>\rho(X,\theta)=\sum_{j=1}^{k} \frac{(\nu_j-np_j(\theta))^2}{np_j(\theta)}</math>(2.)<br/>
Нехай <math>\hat \theta=\hat \theta(X)</math>- значення параметра <math>\theta</math>, що доставляє мінімум функції <math>\rho(X,\theta)</math> при даній [[вибірка|вибірці]] '''X''' .<br/> Підставивши замість дійсних імовірностей '''p<sub>j</sub>'''їх оцінки <math>p_j(\hat \theta)</math> , одержимо функцію відхилення:<math>\rho(X, \hat \theta)=\sum_{j=1}{k} \frac{(\nu_j-np_j( \hat \theta))^2}{np_j( \hat \theta)}</math>.

== Див. також ==
* [[Критерій узгодженості Колмогорова]]

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}
* ''Кендалл М., Стюарт А.'' Статистические выводы и связи.&nbsp;— М.: Наука, Физматлит.&nbsp;— 1973.&nbsp;— 899 с. {{ref-ru}}

{{Статистика}}

[[Категорія:Статистичні критерії для таблиць спряженості|Узгодженості Пірсона]]
[[Категорія:Критерії нормальності|Узгодженості Пірсона]]
[[Категорія:Статистичні наближення]]