Перегляд вихідного коду сторінки Конус (алгебрична геометрія)

В [[Алгебрична геометрія|алгебричній геометрії]] '''конус'''&nbsp;— узагальнення [[Векторне розшарування|векторного розшарування]]. Зокрема, для даної схеми ''X'', [[Спектр кільця|відносну Spec]]

: <math>C = \operatorname{Spec}_X R</math>

квазікогерентної градуйованої {{Нп|Пучок алгебр|O<sub>X</sub>-алгебри|en|Sheaf of algebras}} ''R'' називають '''конусом''' або '''афінним конусом''' у ''R''. Подібно, [[Конструкція Proj|відносну Proj]]

: <math>\mathbb{P}(C) = \operatorname{Proj}_X R</math>

називають '''проєктивним конусом''' у ''C'' або ''R''.

'''Примітка''': конус має <math>\mathbb{G}_m</math>-дію завдяки [[Градуйована алгебра|градуйованості]] ''R''; ця дія є частиною даних конуса (звідки й назва).

== Приклади ==

* Якщо ''X'' = Spec ''k''&nbsp;— точка і ''R''&nbsp;— {{Нп|однорідне координатне кільце|3=en|4=Homogeneous coordinate ring}}, то афінний конус у ''R'' є (зазвичай) [[Опуклий конус|афінним конусом]] над відповідним ''R'' проєктивним многовидом.
* Якщо <math>R = \bigoplus_0^\infty I^n/I^{n+1}</math> для деякого пучка ідеалів ''I'', то <math>\operatorname{Spec}_X R</math>&nbsp;— {{Нп|нормальний конус|3=en|4=Normal cone}} до замкнутої схеми, визначеної ''I''.
* Якщо <math>R = \bigoplus_0^\infty L^{\otimes n}</math> для деякого лінійного розшарування ''L'', то <math>\operatorname{Spec}_X R</math>&nbsp;— повний простір у двоїстому до ''L''.
* Загальніше, для даного векторного розшарування (локально вільний пучок скінченного рангу) ''E'' на ''X'', якщо ''R''=Sym(''E''<sup>*</sup>)&nbsp;— симетрична алгебра, згенерована для двоїстого до ''E'', то конус <math>\operatorname{Spec}_X R</math> є повним простором у ''E'', який часто позначають просто ''E'', а проєктивний конус <math>\operatorname{Proj}_X R</math> є {{Нп|проєктивне розшарування|проєктивним розшаруванням|en|projective bundle}} ''E'', яке позначають <math>\mathbb{P}(E)</math>.
* Нехай <math>\mathcal{F}</math>&nbsp;— когерентний пучок на {{Нп|Стек Деліня — Мамфорда|стеку Деліня — Мамфорда|en|Deligne–Mumford stack}} ''X'', а <math>C(\mathcal{F}) := \operatorname{Spec}_X(\operatorname{Sym}(\mathcal{F})).</math><ref>{{Harvnb|Behrend|Fantechi|1997}}</ref> Для будь-якого <math>f: T \to X</math>, оскільки глобальний Spec є правим сполученням з функтором прямого зображення, маємо: <math>C(\mathcal{F})(T) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\operatorname{Sym}(\mathcal{F}), f_* \mathcal{O}_T)</math>; зокрема, <math>C(\mathcal{F})</math> є комутативною груповою схемою над ''X''.
* Нехай ''R''&nbsp;— градуйована <math>\mathcal{O}_X</math>-алгебра, така що <math>R_0 = \mathcal{O}_X</math> і <math>R_1</math> є когерентним і локально породжує ''R'' як <math>R_0</math>-алгебру. Тоді існує замкнене вкладення

:: <math>\operatorname{Spec}_X R \hookrightarrow C(R_1)</math>,
: задане <math>\operatorname{Sym}(R_1) \to R</math>. Тому <math>C(R_1)</math> називають абелевою оболонкою конуса <math>\operatorname{Spec}_X R.</math> Наприклад, якщо для деякого пучка ідеалів <math>I</math> <math>R = \oplus_0^{\infty} I^n/I^{n+1}</math>, то це вкладення є вкладенням нормального конуса в нормальне розшарування.

=== Обчислення ===
Розглянемо ідеал повного перетину <math>(f,g_1,g_2,g_3) \subset \mathbb{C}[x_0,\ldots,x_n]</math> і нехай <math>X</math>&nbsp;— проєктивна схема, визначена пучком ідеалів <math>\mathcal{I} = (f)(g_1,g_2,g_3)</math>. Тоді ми маємо ізоморфізм <math>\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}</math>-алгебр, заданий як{{Джерело}}

: <math>
\bigoplus_{n\geq 0 } \frac{\mathcal{I}^n}{\mathcal{I}^{n+1}} \cong \frac{\mathcal{O}_X[a,b,c]}{(g_2a - g_1b, g_3a - g_1c, g_3b - g_2c)}
</math>

== Властивості ==
Якщо <math>S \to R</math>&nbsp;— градуйований гомоморфізм градуйованих ''O''<sub>''X''</sub>-алгебр, то маємо індукований морфізм між конусами:

: <math>C_R = \operatorname{Spec}_X R \to C_S = \operatorname{Spec}_X S</math>.

Якщо гомоморфізм сюр'єктивний, то виходять замкнені вкладення <math>C_R \hookrightarrow C_S,\, \mathbb{P}(C_R) \hookrightarrow \mathbb{P}(C_S).</math>

Зокрема, припускаючи, що ''R''<sub>0</sub> = ''O''<sub>''X''</sub>, побудову застосовують до проєкції <math>R = R_0 \oplus R_1 \oplus \cdots \to R_0</math> (яка є {{Нп|Приріст (алгебра)|доповнювальним відображенням|en|Augmentation (algebra)}}), що дає

: <math>\sigma: X \hookrightarrow C_R</math>.

Це перетин; тобто, <math>X \overset{\sigma}\to C_R \to X</math> є тотожністю і називається вкладенням нульового перетину.

Розглянемо градуйовану алгебру ''R''[''t''] зі змінною ''t'', що має степінь один: явно частина ''n''-го степеня буде

: <math>R_n \oplus R_{n-1} t \oplus R_{n-2} t^2 \oplus \cdots \oplus R_0 t^n</math>.

Тоді її афінний конус позначають <math>C_{R[t]} = C_R \oplus 1</math>. Проєктивний конус <math>\mathbb{P}(C_R \oplus 1)</math> називають '''проєктивним доповненням''' ''C''<sub>''R''</sub>. Дійсно, {{Прояснити|нульове місце|англ. zero-locus}} ''t''&nbsp;=&nbsp;0 точно дорівнює <math>\mathbb{P}(C_R)</math>, а доповненням є відкрита підсхема ''C''<sub>''R''</sub>. Локус ''t''&nbsp;=&nbsp;0 називають гіперплощиною на нескінченності.

== ''О''(1) ==
Нехай ''R''&nbsp;— квазікогерентна градуйована ''O''<sub>''X''</sub>-алгебра, така що ''R''<sub>0</sub>&nbsp;= ''O''<sub>''X''</sub> і ''R''&nbsp;— локально породжена ''R''<sub>1</sub> як ''O''<sub>''X''</sub>-алгебра. Тоді, за визначенням, проєктивний конус ''R'' є:

: <math>\mathbb{P}(C) = \operatorname{Proj}_X R = \varinjlim \operatorname{Proj}(R(U))</math>

де кограниця проходить через відкриті афінні підмножини ''U'' в ''X''. За припущенням ''R''(''U'') має скінченну кількість генераторів степеня один ''x''<sub>''i''</sub>. Отже,

: <math>\operatorname{Proj}(R(U)) \hookrightarrow \mathbb{P}^r \times U.</math>

Тоді <math>\operatorname{Proj}(R(U))</math> має лінійне розшарування ''O''(1), задане {{Нп|Тавтологічний пучок|пучком гіперплощин|en|Tautological bundle}} <math>\mathcal{O}_{\mathbb{P}^r}(1)</math> з <math>\mathbb{P}^r</math>; склеювання таких локальних ''O''(1), які узгоджуються локально, дає лінійне розшарування ''O''(1) у <math>\mathbb{P}(C)</math>.

Для будь-якого цілого числа ''n'' позначення ''O''(''n'') означає ''n''-ий степінь тензора ''O''(1). Якщо конус ''C'' =Spec<sub>''X''</sub>''R'' є повним простором векторного лінійне розшарування ''E'', то ''O'' (-1) є {{Нп|Тавтологічне розшарування|тавтологічним лінійним розшаруванням|en|Tautological bundle}} на {{Нп|проєктивне розшарування|проєктивному розшаруванні|en|Projective bundle}} '''P'''(''E'').

'''Примітка''': коли (локальні) генератори ''R'' мають степінь, відмінний від одиниці, побудова ''O''(1) все ще проходить, але зі {{Нп|Зважений проєктивний простір|зваженим проєктивним простором|en|Weighted projective space}} замість проєктивного простору; тому отримане ''O''(1) не обов'язково є лінійним розшаруванням. Мовою [[Дивізор (алгебрична геометрія)|дивізорів]] це ''O''(1) відповідає '''Q'''-дивізору Картьє.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{Citation|last=Fantechi|first=Barbara|title=An introduction to Intersection Theory|url=http://www.cmi.ac.in/~asengupta/Intersection_Theory.pdf}}
* {{Cite journal|last=Behrend|first=K.|last2=Fantechi|first2=B.|date=1997-03-01|title=The intrinsic normal cone|journal=Inventiones Mathematicae|language=en|volume=128|issue=1|pages=45–88|doi=10.1007/s002220050136|issn=0020-9910}}
* {{Citation|title=Intersection theory|publisher=[[Springer-Verlag]]|place=Berlin, New York|series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]]. 3. Folge.|isbn=978-3-540-62046-4|mr=1644323|year=1998|volume=2|edition=2nd|last=William Fulton.}}
* §&nbsp;8 у {{EGA | book=II}}
[[Категорія:Алгебрична геометрія]]