Перегляд вихідного коду сторінки Комутант

{{Теорія груп|expanded=Basics}}
'''Комутант групи''' (також ''похідна підгрупа'')&nbsp;— [[підгрупа]] [[Породжуюча множина групи|породжена]] усіма [[Комутатор (математика)|комутаторами]] групи. Комутант є найменшою [[нормальна підгрупа|нормальною підгрупою]] [[факторгрупа]] по якій є [[абелева група|абелевою]]. Комутатор групи ''G'', позначається [''G'',''G''].

== Визначення ==

=== Комутатори ===

Комутатор елементів <math>g \in G</math> і <math>h \in G</math>&nbsp;— елемент <math>[g, h]</math>, що визначається за формулою:
: <math>[g,h]= g h g^{-1} h^{-1}\, </math>.

=== Комутант групи ===

[[Множина]] комутаторів є [[замикання (математика)|замкнутою]] щодо взяття [[обернений елемент|оберненого елемента]], проте не обов'язково щодо множення. Тобто загалом вона не є підгрупою ''G''. Підгрупа породжена комутаторами і називається комутантом групи [''G'',''G''].
: <math>  [G,G] = < \{ [g,h] \, | \, (g,h) \in G^2 \} > </math>
* Довільний елемент комутанта є добутком скінченної кількості комутантів групи ''G'', тобто елементів виду:
: <math>[g_1,h_1] \cdots [g_n,h_n] </math>
* Комутант є [[характеристична підгрупа|характеристичною]] і, відповідно, нормальною підгрупою.

== Абелізація ==

Оскільки [''G'',''G''] є нормальною підгрупою групи ''G'', можна визначити факторгрупу ''G'' по підгрупі [''G'',''G'']. Дана факторгрупа є абелевою і називається абелізацією групи ''G'' :
: <math>Ab(G)=G^{ab}=G/[G,G]\,</math>

: Якщо ''H''&nbsp;— нормальна підгрупа ''G'', і факторгрупа ''G''/''H'' є абелевою, то [''G'',''G''] є підгрупою ''H''.

== Похідні ряди ==

Конструкцію використану у визначенні комутанта можна далі використати ітеративно:
: <math>\ G^{(0)} := G</math>
: <math>G^{(n)} := [G^{(n-1)},G^{(n-1)}] \quad n \in \N</math>
Групи <math>G^{(2)}, G^{(3)}, \ldots</math> називаються '''другою похідною підгрупою''', '''третьою похідною підгрупою''', і&nbsp;т.&nbsp;д., і спадний [[Ряд підгруп|ряд нормальних підгруп]]:
: <math>\cdots \triangleleft G^{(2)} \triangleleft G^{(1)} \triangleleft G^{(0)} = G</math>
називається '''похідним рядом'''. Якщо для якогось [[натуральне число|натурального числа]] ''n'' виконується <math>\ G^{(n)}=\{e\},</math> то група ''G'' називається [[розв'язна група|розв'язною]].

== Властивості ==
* Комутант групи є [[характеристична підгрупа|характеристичною підгрупою]], а будь-яка підгрупа, що містить комутант є нормальною.

== Див. також ==
* [[Комутатор (математика)]]

== Література ==

=== Українською ===
* {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
* {{книга
 |автор          = Ганюшкін О. Г., Безущак О. О.
 |назва          = Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко–математичного факультету
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2018/03/group_l.pdf
 |місце          = Київ
 |видавництво    = ВПЦ "Київський університет"
 |рік            = 2005
 |сторінок       = 
 |ref            =
}}

=== Іншими мовами ===
* {{Курош.Теорія груп}}

[[Категорія:Властивості підгруп]]