Перегляд вихідного коду сторінки Коефіцієнти Клебша — Ґордана

'''Коефіцієнти Клебша&nbsp;— Ґордана'''&nbsp;— набір чисел, що виникають у квантовій механіці при описі взаємодії [[оператор кутового моменту|кутових моментів]], і позначаються <math> (j_1 j_2 m_1 m_2|jm) </math> або <math>C^{jm}_{j_1m_1j_2m_2} </math>. З математичної точки зору, коефіцієнти Клебша&nbsp;— Ґордана виникають у [[Теорія представлень|теорії представлень]] (зокрема [[Компактна група|компактних груп Лі]]) при розкладі [[Тензорний добуток|тензорного добутку]] двох незвідних представлень у пряму суму незвідних представлень, якщо відомі їх кількість та форма. Коефіцієнти названі на честь німецьких математиків [[Альфред Клебш|Альфреда Клебша]] (1833–1872) та [[Пауль Ґордан|Пауля Ґордана]] (1837–1912), які розв'язали аналогічну задачу в [[Теорія інваріантів|теорії інваріантів]].

== Означення ==
Вектори стану багатьох квантових систем можна вибрати таким чином, щоб вони були [[власна функція|власними функціями]] квадрата оператора кутового момента і його проєкції на певну вісь. Такі вектори стану характеризуються двома квантовими числами j та m, відповідні власні значення:
: <math> \hat{J^2} |jm\rangle = \hbar^2 j(j+1) |jm\rangle </math>
: <math> \hat{J}_z |jm\rangle = \hbar m|jm\rangle </math>,

де <math> \hbar </math>&nbsp;— [[зведена стала Планка]].

Систему, що складається із двох незалежних підсистем, кожна з яких має власний кутовий момент, можна характеризувати чотирма квантовими числами: <math> j_1 </math>, <math> m_1 </math> та <math> j_2 </math>, <math> m_2 </math>. Вектор стану такої системи можна записати як <math> |j_1m_1\rangle |j_2m_2\rangle </math>.

Однак, такий вибір власних векторів стану не єдиний. Квадрат оператора суми операторів кутових моментів
: <math> \hat{\mathbf{J}}^2 = (\hat{\mathbf{J}}_1+ \hat{\mathbf{J}}_2)^2 </math>.

[[комутатор (математика)|комутує]] з операторами <math> \hat{\mathbf{J}}^2_1 </math> та <math> \hat{\mathbf{J}}^2_2 </math>. Те ж саме стосується проєкції оператора сумарного моменту:
: <math> \hat{\mathbf{J}}_z = \hat{\mathbf{J}}_{1z} + \hat{\mathbf{J}}_{2z} </math>.

Тому сумарну систему можна характеризувати чотирма квантовими числами: <math> j_1 </math>, <math> j_2 </math>, <math> j </math>, <math> m </math>, де числа без індексів відносяться сумарної системи. Відповідний вектор стану позначається
<math> |j_1j_2jm\rangle </math>. Нові, сумарні, вектори стану можна подати, як лінійну комбінацію старих, індивідуальних, векторів стану <math> |j_1m_1\rangle |j_2m_2\rangle </math>. Коефіцієнти цієї лінійної комбінації називаються ''коефіцієнтами Клебша&nbsp;— Ґордана'':
: <math> |j_1j_2jm\rangle = \sum_{m_1,m_2} (j_1j_2m_1m_2|jm)|j_1m_1\rangle |j_2m_2\rangle </math>.

== Властивості ==
Коефіцієнти Клебша&nbsp;— Ґордана відмінні від нуля тільки тоді, коли
: <math> m = m_1 + m_2 \,</math>.

Крім того, квантове число сумарного орбітального моменту задовольняє ''умові трикутника'':
: <math> |j_2 - j_1| \le j \le |j_1 + j_2| </math>.

Справедливі умови ортогональності та нормування:
: <math> \sum_{jm} (j_1 j_2 m_1 m_2|jm) (j_1 j_2 m_1^\prime m_2^\prime|jm) = \delta_{m_1, m_1^\prime} \delta_{m_2, m_2^\prime} </math>
: <math> \sum_{m_1, m_2} (j_1 j_2 m_1 m_2|jm)(j_1 j_2 m_1 m_2|j^\prime m^\prime)= \delta_{j,j^\prime}\delta_{m,m^\prime}  </math>,

де <math> \delta_{ij} </math>&nbsp;— [[символ Кронекера]].

== Див. також ==
* [[Оператор повного моменту]]
* [[Сферичні гармоніки]]
* [[Теорема Вігнера — Еккарта]]
* [[3j-символи]]
* [[6j-символи]]
* [[9j-символи]]
* [[12j-символи]]
* [[15j-символи]]

== Джерела ==
* {{книга
|автор        = [[Голод Петро Іванович|Голод П. І.]], [[Клімик Анатолій Улянович|Клімик А. У.]]
|назва        = Математичні основи теорії симетрії
|рік          = 1992
|видавництво  = Наукова думка
|місто        = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок     = 368
}}
* {{книга
|автор        = [[Давидов Олександр Сергійович|Давидов О. С.]]
|назва        = Квантова механіка
|рік          = 2012
|видавництво  = Академперіодика
|місто        = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок     = 706
}}
* {{книга
|автор        = [[Блохінцев Дмитро Іванович|Блохинцев Д. И.]]
|назва        = Основы квантовой механики
|рік          = 1976
|видавництво  = Наука
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 664
}}
* {{книга
|автор        = [[Юджин Пол Вігнер|Вигнер Е.]]
|назва        = Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров
|оригінал     = Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren
|рік          = 1961
|видавництво  = ИЛ
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 444
}}
* {{книга
|автор        = Зар Р.
|назва        = Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|оригінал     = Angular Momentum: Understanding Spatial Aspects in Chemistry and Physics
|видавництво  = Мир
|рік          = 1993
|сторінок     = 352
}}
* {{книга
|автор        = Хамермеш М.
|назва        = Теория групп и её применение к физическим проблемам
|оригінал     = Group Theory and Its Application to Physical Problems
|рік          = 1966
|видавництво  = Наука
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 588
}}

[[Категорія:Квантова механіка]]
[[Категорія:Теорія представлень]]