Перегляд вихідного коду сторінки Кирпатий куб

{{Поліедр
| name          = Кирпатий куб
| image         = Snubhexahedronccw.jpg
| caption       = «Правий» варіант
| type          = 
| euler         = 
| faces         = 38,<br/>32 трикутники,<br/>6 квадратів
| edges         = 60
| vertices      = 24
| cell          = 
| vertex_config = 3<sup>4</sup>.4
| schläfli      = 
| wythoff       = 
| coxeter       = 
| symmetry      = ''O'' (хіральна октаедрична)
| surface_area  = 
| volume        = 
| angle         = 
| dual          = [[пентагональний ікосітетраедр]]
| properties    =
| vertex_figure = 
| net           = Snub cube flat.svg
}}
[[Файл:Snub cube.stl|thumb|Тривимірна модель кирпатого куба]]
'''Кирпатий куб'''{{Sfn|Веннинджер|1974|с=20, 41}}, або '''плосконосий куб'''{{Sfn|Энциклопедия элементарной математики|1963|с=437, 435}}{{Sfn|Люстерник|1956|с=183}},&nbsp;— [[Напівправильний многогранник|напівправильний багатогранник]] ([[архімедове тіло]]) з 38 гранями, складений з 6 [[Квадрат|квадратів]] і 32 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]]. У кожній з його 24 однакових вершин сходяться одна квадратна грань і чотири трикутні. Трикутні грані діляться на дві групи: 8 з них оточені тільки іншими трикутними, решта 24&nbsp;— квадратною і двома трикутними.

Має 60 ребер рівної довжини.

Назву «кирпатий куб» ({{Lang-la|cubus simus}}) дав цьому багатограннику [[Йоганн Кеплер]] у трактаті 1619 року [[Harmonices Mundi|«Гармонія світу»]]. [[Гарольд Коксетер]], зазначивши, що багатогранник споріднений з [[Октаедр|октаедром]] тою ж мірою, що і з [[Куб|кубом]], пропонував називати його «кирпатим [[Кубооктаедр|кубооктаедром]]<nowiki/>».

На відміну від більшості інших архімедових тіл, кирпатий куб (поряд з [[Кирпатий додекаедр|кирпатим додекаедром]]) є [[Хіральність (математика)|хіральним]] і існує в двох різних дзеркально-симетричних (енантіоморфних) варіантах&nbsp;— «правому» і «лівому».
[[Файл:A5-A7.gif|ліворуч|міні|160x160пкс|Перетворення [[Ромбокубооктаедр|ромбокубооктаедра]] на «лівий» і «правий» кирпаті куби.]]

== Метричні характеристики і кути ==
При визначенні метричних властивостей кирпатого куба доводиться розв'язувати [[Кубічне рівняння|кубічні рівняння]] і користуватися [[Кубічний корінь|кубічними коренями]]&nbsp;— тоді як для ахіральних архімедових тіл і для [[Правильний многогранник|платонових тіл]] не потрібно нічого складнішого від [[Квадратне рівняння|квадратних рівнянь]] і [[Квадратний корінь|квадратних коренів]]. Тому кирпатий куб, на відміну від платонових і ахіральних архімедових тіл, не допускає [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|евклідової побудови]]<ref>У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения.&nbsp;— М.: Мир, 1986.&nbsp;— Стр. 153.</ref>. Це стосується і кирпатого додекаедра, а також двоїстих їм [[Напівправильний многогранник|каталанових тіл]].

При описі метричних властивостей і кутів кирпатого куба важливу роль відіграє [[Числа трибоначчі|константа трибоначчі]]:

: <math>t = \frac{1}{3}\left(1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right) \approx 1{,}8392868.</math>.

Якщо кирпатий куб має ребро довжини <math>a</math>його [[площа поверхні]] та [[об'єм]] виражаються як

: <math>S = \left(6+8\sqrt{3}\right)a^2 \approx 19{,}8564065a^2,</math>
: <math>V = \sqrt{\frac{613t+203}{9(35t-62)}}\;a^3 \approx 7{,}8894774a^3.</math>

Радіус [[Описана сфера|описаної сфери]] (що проходить через усі вершини багатогранника) при цьому дорівнює

: <math>R = \sqrt{\frac{3-t}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}3437134a;</math>

радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]] (дотичної до всіх ребер в їх серединах) —

: <math>\rho = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}2472232a.</math>

Вписати в кирпатий куб сферу&nbsp;— так, щоб вона дотикалася до всіх граней,&nbsp;— неможливо. [[Радіус]] найбільшої сфери, яку можна помістити всередині кирпатого куба з ребром <math>a</math> (вона буде дотикатися тільки до всіх квадратних граней в їх центрах), дорівнює

: <math>r_4 = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{t-1}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}1426135a.</math>

Відстань від центра багатогранника до центра будь-якої трикутної грані перевищує <math>r_4</math> і дорівнює

: <math>r_3 = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{t+1}{12(2-t)}}\;a \approx 1{,}2133558a.</math>

[[Двогранний кут|Двогранні кути]] між двома суміжними трикутними гранями кирпатого куба рівні <math>\alpha_{33} = \arccos \, \frac{1-2t}{3} \approx 153{,}23^\circ,</math> між суміжними квадратною і трикутною гранями <math>\alpha_{43} = \arccos\left(-\sqrt{1-\frac{2}{3t}}\right) \approx 142{,}98^\circ.</math>

[[Тілесний кут]] при вершині дорівнює <math>3\alpha_{33}+2\alpha_{43}-3\pi \approx 1{,}14\pi.</math>

== В координатах ==
«Лівий» кирпатий куб можна розмістити у [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] так, щоб координати 12 його вершин були всіма [[Перестановка|парними перестановками]] тих трійок чисел <math>(\pm t;\pm1;\pm t^{-1}),</math> серед яких парне число від'ємних, а координати решти 12 вершин&nbsp;— всіма непарними перестановками тих трійок, серед яких непарна кількість від'ємних.

Якщо вчинити навпаки&nbsp;— взяти парні перестановки трійок з непарним числом мінусів і непарні перестановки трійок з парним числом мінусів&nbsp;— отримаємо «правий» варіант кирпатого куба.

Початок координат <math>(0;0;0)</math> в обох випадках буде центром описаної і напіввписаної сфер багатогранника.

== Пов'язані многогранники та мозаїки ==
{{Таблиця кирпатих фігур}}

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=SnubCube|title=Кирпатий куб}}

== Література ==
* {{книга-ру
 |автор = [[Маґнус Веннінґер|М. Веннинджер]]
 |заглавие = Модели многогранников
 |издательство = [[Мир (видавництво)|Мир]]
 |год = 1974
 |ref = Веннинджер
}}
* {{книга-ру
 |заглавие = Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия
 |издательство = {{нп|Физматлит|Государственное издательство физико-математической литературы|ru|Физматлит}}
 |место = {{М.}}
 |год = 1963
 |ответственный = Под ред. [[Александров Павло Сергійович|П. С. Александрова]], {{нп|Маркушевич Олексій Іванович|А. И. Маркушевича|ru|Маркушевич, Алексей Иванович}}, {{нп|Хінчин Олександр Якович|А. Я. Хинчина|ru|Хинчин, Александр Яковлевич}}
 |часть = Многоугольники и многогранники
 |страницы = 382—447
 |ref = Энциклопедия элементарной математики
}}
* {{книга-ру
 |автор = [[Люстерник Лазар Аронович|Л. А. Люстерник]]
 |заглавие = Выпуклые фигуры и многогранники
 |место = {{М.}}
 |издательство = {{нп|Физматлит|Государственное издательство технико-теоретической литературы|ru|Физматлит}}
 |год = 1956
 |ref = Люстерник
}}
{{Багатогранники}}
[[Категорія:Архімедові тіла]]
[[Категорія:Однорідні многогранники]]
[[Категорія:Хіральні многогранники]]